【学海导航】高考数学第一轮总复习 12.5导数的应用（第2课时）课件 理 （广西专版）.ppt

第十二章极限与导数 导数的应用 第讲 5 第二课时 题型4利用导数求函数的极值和最值 1 求函数的极值 解 令f x 0 则x 1或x 2 所以当x 1时 f x 0 当 1 x 1时 f x 0 当x 1且x 2时 f x 0 因为x 1时函数无意义 根据极值点的特点知x 1是f x 的极大值点 即 f x 极大值 f 1 34 且f x 无极小值 点评 利用导数求函数的极值的步骤是 求导函数 解方程f x 0 判断f x 在f x 0的根x0左右的符号 若左负右正 则此点为极小值点 若左正右负 则此点为极大值点 若左右同号 则非极值点 若是求函数在闭区间上的最值 则先求极值 然后与两端点值进行比较可得最值 题型5利用导数转化极值与最值条件 2 设a为实常数 已知函数f x x2 ax a e x有极小值0 求a的值 解 f x 2x a e x x2 ax a e x e x x2 a 2 x 令f x 0 则x2 a 2 x 0 所以x 0或x 2 a 1 当a 2时 f x e x x2 0 所以f x 无极值 2 当a 2时 在 0 上 f x 0 在 0 2 a 上 f x 0 在 2 a 上 f x 0 所以 f x 极小值 f 0 a 由已知 a 0 3 当a 2时 在 2 a 上 f x 0 在 2 a 0 上 f x 0 在 0 上 f x 0 所以 f x 极小值 f 2 a 由已知 f 2 a 0 所以 2 a 2 a 2 a a 0 解得a 4 综上分析 a 0或a 4 点评 函数有极值的必要条件是 f x 0 由此可转化得到相应的等式或方程 再进一步转化为所需要的条件 需要注意的是在此条件下得到的结论要检验一下是否为极值 已知函数f x x3 ax2 bx c 曲线y f x 在点x 1处的切线为l 3x y 1 0 若x 时 y f x 有极值 1 求a b c的值 2 求y f x 在 3 1 上的最大值和最小值 解 1 由f x x3 ax2 bx c 得f x 3x2 2ax b 当x 1时 切线l的斜率为3 可得2a b 0 当x 时 y f x 有极值 则f 0 即4a 3b 4 0 由 解得a 2 b 4 由于切点的横坐标为x 1 所以f 1 3 1 1 4 所以1 a b c 4 所以c 5 2 由 1 可得f x x3 2x2 4x 5 所以f x 3x2 4x 4 令f x 0 得x 2 x 当x变化时 y y 的变化情况如下表 所以y f x 在 3 1 上的最大值为13 最小值为 1 函数的极值是一个局部性概念 它反映出函数在某个局部的最大值和最小值情况 一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值 且极大值与极小值之间没有必然的大小关系 即某个极大值可能小于另一个极小值 2 若函数f x 在区间 a b 内连续 且有有限个极值点 则f x 在这个区间内的极大值点与极小值点是交替出现的 如正弦曲线 3 可导函数在极值点的导数一定为0 但导数为0的点 称为驻点 不一定是极值点 例如 函数f x x3在x 0处的导数是0 但它不是极值点 不可导的点可能是极值点 例如 函数f x x 在x 0处不可导 但它是极小值点 因此 函数的极值点只能在导数为0的点和不可导的点中产生 4 函数的最值是一个整体性概念 它反映函数在整个区域 或定义域 内的最大值和最小值情况 函数f x 有极值未必有最值 反之亦然 极值与最值是两个不同的概念 5 若f x 在闭区间 a b 上连续且单调 则f x 的最大值和最小值分别在区间的两个端点处取得 若连续函数f x 在开区间 a b 内只有一个极值点 则该点也是一个最值点 6 求可导函数在定义域内的极值的一般步骤是 1 求f x 令f x 0 求此方程在定义域内的所有实根 2 检查f x 在方程f x 0的根左右取值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 7 求可导函数在闭区间上的最值 只要在求