湖北荆州沙第五中学高中数学1.2.2正、余弦定理在三角形中的应用导学案新人教A必修5

高中数学高一年级必修五第一章 第1.2.2节：正、余弦定理在三角形中的应用导学案学习目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题，掌握三角形的面积公式的简单推导和应用。并结合三角形的有关知识解决三角形面积有关的问题。让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现问题的能力，让学生在归纳探究中体验成功收获的愉悦。学习重点、难点重点：能推导三角形的面积公式并利用面积公式及正弦定理、余弦定理来解决有关三角形面积的题目。 难点：利用正弦定理、余弦定理解决简单的面积问题，并能利用三角形的有关知识及正、余弦定理来证明与三角形边角有关的恒等式。 学法指导教师可放手让学生探究，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能够不拘一格，一题多解。D知识链接回顾我们的探究经历，从初中的直角三角形出发，引入三角形中的某个角，采取将锐角三角形、钝角三角形转化为直角三角形的策略，结果探究出了三角形中的两个重要定理正弦定理和余弦定理，给我们解决三角形问题带来了极大的便利，那么我们不禁要问：利用三角形的有关知识还能推导出什么有用的结果呢？由此展开新课。E自主学习三角形的面积公式提出问题在ABC中，若AC3，BC4，C60.问题1：ABC的高AD为多少？提示：ADACsin C3sin 60.问题2：ABC的面积为多少？提示：SABCBCAD43.问题3：若ACb，BCa，你发现ABC的面积S可以直接用a，b，C表示吗？提示：能Sabsin C.导入新知三角形的面积公式(1)Saha(ha表示a边上的高)(2)Sabsin Cbcsin Aacsin B.化解疑难三角形的面积公式Sabsin C与原来的面积公式Sah(h为a边上的高)的关系为：hbsin C，实质上bsin C就是ABC中a边上的高F.合作探究三角形的面积计算例1在ABC中，已知C120，AB2，AC2，求ABC的面积解由正弦定理知，即，所以sin B，由于ABAC，所以CB，故B30.从而A1801203030.所以ABC的面积SABACsin A22sin 30 .类题通法1求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法，这样不仅能减少一些不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值2事实上，在众多公式中，最常用的公式是SABCabsin Cbcsin Aacsin B，即给出三角形的两边和夹角(其中某边或角需求解)求三角形面积，反过来，给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式活学活用1(1)在ABC中，若A60，b16，SABC64，则c_.(2)在ABC中，若a3，b2，c4，则其面积等于_解析：(1)由已知得SABCbcsin A，即6416csin 60，解得c16.(2)由余弦定理得cos A，所以sin A ，于是SABCbcsin A24.答案：(1)16(2)三角形中的恒等式证明问题例2在ABC中，求证：.解法一：左边右边，其中R为ABC外接圆的半径.法二：左边右边，(cos C0).类题通法解决此类问题，既要用到三角形中特有的恒等变形公式，又要用到任意角三角函数的恒等变形公式，两者要结合，灵活运用三角形边和角的相互转换公式，主要是正弦定理、余弦定理这两个定理，因此这类题型都可用不同的途径求解活学活用2在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证：c.证明：由余弦定理的推论得cos B，cos A，代入等式右边，得右边c左边，c.三角形中的综合问题例3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(BC)16cos Bcos C.(1)求cos A；(2)若a3，ABC的面积为2，求b，c.解(1)由3cos(BC)16cos Bcos C，得3(cos Bcos Csin Bsin C)1，即cos(BC)，从而cos Acos(BC).(2)由于0A，cos A，所以sin A.又SABC2，即bcsin A2，解得bc6.由余弦定理a2b2c22bccos A，得b2c213，解方程组得或类题通法解决三角形的综合问题，除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外，一般还要用到三角函数、三角恒等变换、方程等知识因此，掌握正、余弦定理，三角函数的公式和性质是解题关键活学活用3在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos，3.(1)求ABC的面积；(2)若bc6，求a的值解：(1)cos，cos A2cos21，sin A.又由3，得bccos A3，bc5，SABCbcsin A2.(2)bc5，bc6，b5，c1或b1，c5.由余弦定理，得a2b2c22bccos A20，a2.典例(12分)如图，在四边形ABCD中，ACCDAB1，1，sinBCD.(1)求BC边的长；(2)求四边形ABCD的面积解题流程规范解答(1)ACCDAB1，cosBAC2cosBAC1， cosBAC，BAC60.(3分)在ABC中，由余弦定理有：BC2AB2AC22ABACcosBAC22122213，BC(6分)(2)由(1)知，在ABC中有：AB2BC2AC2，ABC为直角三角形，且ACB90，(7分)SABCBCAC1.(8分)又BCDACBACD90ACD，sinBCD，cosACD，(9分)从而sinACD，(10分)SACDACCDsinACD11.(11分)S四边形ABCDSABCSACD.(12分)名师批注向量数量积运算公式易用错，在ABC中，和夹角有时误认为ABC，从而不得分 利用了诱导公式求cosACD，求解时对取正负号不把握活学活用在ABC，中，AB2，cos C，D是AC上一点，AD2DC，且cosDBC.求：(1)BDA的大小；(2) .解：(1)由已知得cosDBC，cos C，从而sinDBC，sin C，cosBDAcos(DBCC)，BDA.(2)设DCx，则AD2x，AC3x，设BCa，则在DBC中，由正弦定理得，ax.在ABC中，由余弦定理，得4(3x)2(x)223xx.解得x1，3，.cos(C)24.G.课堂小结由学生整理学习了哪些内容？有什么收获？H达标检测一、选择题1在ABC中，已知AB2，BC5，ABC的面积为4，若ABC，则cos 是()A. B.C D解析：选CSABCABBCsinABC25sin 4.sin .又(0，)，cos .2在ABC中，已知A30，a8，b8，则ABC的面积为()A32 B.16C32或16 D32或16解析：选D在ABC中，由正弦定理，得sin B，又ba，B60或120.当B60时，C180306090，SABC8832；当B120时，C1803012030，SABCabsin C8816.3在ABC中，A60，AB2，且ABC的面积SABC，则边BC的边长为()A. B.3C. D7解析：选ASABCABACsin A，AC1由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos A41221cos 603.即BC.4ABC的周长为20，面积为10，A60，则BC的边长等于()A5 B.6C7 D8解析：选C如图由题意得由(2)得bc40.由(3)得a2b2c2bc(bc)23bc(20a)2340a7.5某人从出发点A向正东走x m后到B，向左转150再向前走3 m到C，测得ABC的面积为 m2，则此人这时离开出发点的距离为()A3 mB. mC2 mD. m解析：选D在ABC中，SABBCsin B，x3sin 30，x.由余弦定理，得AC (m)二、填空题6ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为_解析：不妨设b2，c2，cos A，则a2b2c22bccos A9，a3.又sin A ，外接圆半径为R.答案：7一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h，该船实际航程为_解析：如图所示，在ACD中，AC2，CD4，ACD60，AD2124822436，AD6，即该船实际航程为6 km.答案：6 km8在ABC中，ab2，bc2，又知最大角的正弦等于，则三边长为_解析：由题意知a边最大sin A，A120，a2b2c22bccos A.a2(a2)2(a4)2(a2)(a4)a29a140，a2(舍去)，a7.ba25，cb23.答案：a7，b5，c3三、解答题9在ABC中，若c4，b7，BC边上的中线AD的长为，求边长a.解：AD是BC边上的中线，可设CDDBx，则CBa2x.c4，b7，AD，在ACD中，有cos C，在ABC中，有cos C.解得x.a2x9.10(2010浙江高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别