关于优化的数学知识.ppt

1 第2讲 关于优化的数学知识 2 优化数学 许多经济理论基于经济参与人寻求某个函数的最优值这个假定消费者寻求最大化效用厂商寻求最大化利润本讲介绍对于这些问题的一些共同的数学知识 3 优化数学 新古典 模型方法与优化数学偏好 目标函数约束 选择变量需要满足的条件最优选择 一阶条件和二阶条件行为变化 包络定理 4 单变量函数的优化 简单例子 管理者希望最大化利润 f q 数量 在q 获得最大化利润 5 单变量函数的优化 管理者尝试改变q寻找最大利润的位置q1到q2的上升导致 的上升 f q 数量 q 1 q1 6 单变量函数的优化 如果产出增加超过q 利润将会下降q 到q3的增加导致利润 下降 f q 数量 q 7 最大值的一阶条件 对于一个单变量函数 为了获得某个最大值点 这点的导数一定是0 8 二阶条件 一阶条件 d dq 是最大值的必要条件 但不是充分条件 数量 如果利润函数是u型的 一阶条件会导致选择q 将会最小化 9 二阶条件 这意味着 为了q 是最优值 并且 因此 在q d dq一定是递减的 10 二阶导数 局部 最大值的二阶条件是 11 利润最大化的例子 假定利润和产量的关系是 1 000q 5q2最大值的一阶条件是d dq 1 000 10q 0q 100因为二阶导数总是 10 q 100是一个全局最大值点 12 多变量函数 经济参与人的大多数目标依赖于多个变量必须进行权衡一个变量 y 依赖于一系列其他变量 x1 x2 xn 可以记做 13 y对于x1的偏导数记做 偏导数 在计算偏导数的时候 所有其他的x保持不变偏导数是其他条件不变假设的数学表达表明了当其他影响保持不变的时候 一个变量的变化如何影响某个结果 14 偏导数 我们必须关注变量的单位如果q代表汽油需求数量 单位是十亿加仑 p代表了每加仑的美元价格 那么 q p测量了每加仑汽油价格变化一元 需求数量的改变量 十亿加仑每年 15 弹性 弹性测量了一个变量变化对于其他变量的比率效应无单位y对于x的弹性是 16 弹性和函数形式 假设y a bx 其他项在这种情况下 ey x不是一个常数必须注意到是在哪点计算的弹性 17 弹性和函数形式 假设y axb在这种情况下 18 弹性和函数形式 假设lny lna blnx在这种情况下 弹性可以通过对数微分计算 19 二阶偏导数 偏导数的偏导数被称作二阶偏导数 20 young s定理 在一般条件下 计算二阶偏导数的偏微分顺序不重要 21 利用二阶偏导数 二阶偏导数在许多经济定理中起到了重要作用一个最重要的是一个变量自身的二阶偏导数 fii表明xi对于y的边际影响 y xi 如何随着xi增加而变化fii 0表明了边际效应递减 22 全微分 假设y f x1 x2 xn 如果所有的x改变很小的单位 对于y的总效应将会是 23 最大值 或最小值 的一阶条件 函数f x1 x2 xn 最大值 或者最小值 的必要条件是对于x微小变化的任意组合都有dy 0这个成立的唯一条件是 满足这个条件的点称为驻点 24 寻找最大值 假定y是x1和x2的函数y x1 1 2 x2 2 2 10y x12 2x1 x22 4x2 5一阶条件意味着 或者 25 隐函数定理 不是总可以从隐函数形式g x y 0解出唯一的显函数形式y f x 数学家推导了必要条件在许多经济应用中 这些条件和最大值 或最小值 的二阶条件相同 26 包络定理 包络定理关注一个函数的参数改变之后 函数的最优值如何改变利用一个例子可以很容易地了解这点 27 包络定理 假定y是x的函数y x2 ax对于a的不同取值 这个函数代表了一族抛物线如果a取定一个值 那么y变成仅仅是x的函数 同时可以计算使得y最大的x的取值 28 包络定理 对于不同的a x和y的最优值 29 包络定理 随着a增加 y y 的最大值上升 a和y的关系是二次的 30 包络定理 假定我们感兴y 如何随着a变化我们有两种方法可以做到这点直接计算y的斜率保持x在最优值不变 直接计算 y a 31 包络定理 为了计算函数的斜率 我们必须对于任意的a解出x的最优值dy dx 2x a 0 x a 2替代 得到y x 2 a x a 2 2 a a 2 y a2 4 a2 2 a2 4 32 包络定理 因此 dy da 2a 4 a 2 x 但是 我们可以利用包络定理节约时间对于a的微小变化 dy da可以通过保持x在x 不变 直接从y计算 y a 33 包络定理 y a x保持x x y a x a 2这和前面的结果相同 34 包络定理 包络定理表示了 函数最优值对于参数的变化可以通过保持x 或者几个x 在最优值不变 偏微分目标函数获得 35 包络定理 包络定理可以扩展到y是多变量的函数y f x1 xn a 寻找y的最优值包括求解n个一阶条件方程 y xi 0 i 1 n 36 包络定理 x的最优值将是a的函数x1 x1 a x2 x2 a 37 包络定理 替代进原目标函数获得了y y 最优值的表达式y f x1 a x2 a xn a a 求导 可得 38 包络定理 考虑一阶条件 如果x在它们的最优值 那么所有项 除了 f a 都等于0因此 39 约束最优化 如果不是所有的x取值都是可行的会怎么样 x的值可能都需要是正的消费者的选择被购买力所限制求解约束最大化问题的一种方法是拉各朗日乘子法 40 拉各朗日乘子法 假定我们希望找到x1 x2 xn的取值最大化y f x1 x2 xn 服从约束 仅仅一些特定的x可以使用g x1 x2 xn 0 41 拉各朗日乘子法 拉各朗日乘子法开始于建立表达式l f x1 x2 xn g x1 x2 xn 其中 是一个附加变量 称作拉各朗日乘子当约束起作用的时候 因为g x1 x2 xn 0 l f 42 拉各朗日乘子法 一阶条件 l x1 f1 g1 0 l x2 f2 g2 0 l g x1 x2 xn 0 43 拉各朗日乘子法 可以利用一阶条件解出x1 x2 xn和 这些解具有两个性质 x遵守约束这些x使得l 因此f 的值最大 44 拉各朗日乘子法 拉各朗日乘子 具有重要的经济解释一阶条件意味着f1 g1 f2 g2 fn gn 分子衡量了xi增加一单位对于函数f的边际益处分母反映了xi增大对于约束的负担 45 拉各朗日乘子法 在x的最优选择 增加xi的收益与边际成本的比率应该对于所有的x都相同 是所有x共同的成本收益比率 46 拉各朗日乘子法 如果稍微放松约束 哪个x改变并不重要拉各朗日乘子衡量了约束放松如何影响y的值 为约束提供了一个 影子价格 47 拉各朗日乘子法 一个较高的 值意味着放松约束那么y将会上升较大幅度每个x具有较高的成本收益比率一个较低的 值意味着放松约束不会有很大收益 0意味着约束没有起作用 48 对偶 任何约束最大值问题都伴随着一个对偶问题 此问题是一个带约束的最小化问题 目标函数是原问题的约束 49 对偶 参与人在预算约束下最大化效用对偶问题 参与人最小化可以达到给定效用水平的支出厂商为了生产一定的产出最小化要素投入成本对偶问题 给定要素投入成本的条件下 厂商最大化产出 50 约束最大化 假定一个农民有一个长度确定 p 的篱笆 希望圈成一个最大的矩形令x表示一个边的长度令y表示另一条的长度问题 选择x和y最大化面积 a x y 服从约束是周长确定p 2x 2y 51 约束最大化 建立拉各朗日乘子方程l x y p 2x 2y 最大值的一阶条件是 l x y 2 0 l y x 2 0 l p 2x 2y 0 52 约束最大化 因为y 2 x 2 x一定等于y这个区域一定是正方形x和y应该这样选择 使得边际收益与边际成本的比率相同因为x y并且y 2 我们可以利用约束获得x y p 4 p 8 53 约束最大化 对于拉各朗日乘子的解释如果农民希望知道增长一码篱笆可以增加多少面积 表明是现在周长 p 的八分之一因此 拉各朗日乘子表示了约束隐含的价值 54 约束最大化 对偶问题 选择x和y最小化能围起一定区域的篱笆的长度最小化p 2x 2y约束a x y建立拉各朗日函数 ld 2x 2y d a x y 55 约束最大化 一阶条件 ld x 2 d y 0 ld y 2 d x 0 ld d a x y 0求解得到x y a1 2拉各朗日乘子 d 2a 1 2 56 包络定理和约束最大化问题 假设我们希望最大化y f x1 xn a 服从约束g x1 xn a 0一种求解方式是建立拉各朗日函数 求解一阶条件 57 包络定理和约束最大化问题 另外 可以证明dy da l a x1 xn a 为了获得参数a的改变导致y的最大值的变化可以对于l在最优值点偏微分 58 二阶条件 单变量函数 令y f x 最大值点的必要条件dy dx f x 0为了保证这个点是最大值点 y必须在离开这个点的时候递减 59 二阶条件 单变量函数 全微分衡量了y的变化dy f x dx在最大值点 对于x的微小增加dy一定会减小为了看到dy的变化 我们必须利用y的二阶导数 60 二阶条件 单变量函数 注意d2y 0意味着f x dx2 0因为dx2一定是正的 f x 0这意味着函数f在驻点一定是凹的 61 二阶条件 双变量函数 假定y f x1 x2 最大值点的一阶条件 y x1 f1 0 y x2 f2 0为了保证这个点是最大值点 从任何方向离开驻点y必须减小 62 二阶条件 双变量函数 x1方向的斜率 f1 必须在驻点减小x2方向的斜率 f2 必须在驻点减小但是 交叉导数 f12 f21 也必须满足约束 以保证dy对于任何方向离开驻点的运动都会减少 63 二阶条件 双变量函数 y的全微分dy f1dx1 f2dx2这个函数的微分是d2y f11dx1 f12dx2 dx1 f21dx1 f22dx2 dx2d2y f11dx12 f12dx2dx1 f21dx1dx2 f22dx22根据young定理 f12 f21并且d2y f11dx12 2f12dx1dx2 f22dx22 64 二阶条件 双变量函数 d2y f11dx12 2f12dx1dx2 f22dx22为了使得这个方程对于x的任何方向都是负的 f11和f22必须是负的如果dx2 0 那么d2y f11dx12为了d2y 0 f11 0如果dx1 0 那么d2y f22dx22为了d2y 0 f22 0 65 二阶条件 双变量函数 d2y f11dx12 2f12dx1dx2 f22dx22如果dx1和dx2都不是 那么d2y是负的仅当f11f22 f122 0二阶导数 f11和f22 负的足够大使得它们足以超过来自交叉导数 f12 f21 的逆效应 66 约束最大化问题 假定我们希望选择x1和x2最大化y f x1 x2 服从线性约束c b1x1 b2x2 0我们可以建立拉各朗日函数l f x1 x2 c b1x1 b2x2 67 约束最大化问题 一阶条件是f1 b1 0f2 b2 0c b1x1 b2x2 0为了保证我们有一个最大值 我们必须使用 二阶 全微分d2y f11dx12 2f12dx1dx2 f22dx22 68 约束最大化问题 仅当x1和x2的值满足约束的时候 可以被看成不同于驻点的可行解因此 我们可以计算约束的全微分 b1dx1 b2dx2 0dx2 b1 b2 dx1x1和x2可行的相对变化 69 约束最大化问题 因为一阶条件意味着f1 f2 b1 b2 我们可以得到dx2 f1 f2 dx1因为d2y f11dx12 2f12dx1dx2 f22dx22我们可以替代dx2得到d2y f11dx12 2f12 f1 f2 dx12 f22 f12 f22 dx12 70 约束最大化问题 合并同类项得到d2y f11f22 2f12f1f2 f22f12 dx12 f22 因此 为了使得d2y 0 一定满足f11f22 2f12f1f2 f22f12 0这个方程刻画了一系列函数 称为拟凹函数集合中两点的连线还在集合中 71 凹和拟凹函数 凹函数和拟凹函数的差别可以利用下面这个函数说明y f x1 x2 x1 x2 k其中x取值为正 k为正数 72 凹和拟凹函数 无论k取什么值 这个函数都是拟凹的这个函数是否是凹函数依赖于k的值如果k0 5 函数是凸的 73 y f x1 x2 x1 x2 0 3 74 y f x1 x2 x1 x2 0 3 75 y f x1 x2 x1 x2 1 5 76 y