八年级（下）数学第2课时平行四边形对角线的性质

第2课时平行四边形对角线的性质1.(2015福建)如图,在ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,下列结论错误的是(C)(A)ABCD(B)AB=CD(C)AC=BD(D)OA=OC2.如图,四边形ABCD和四边形AEFC是两个平行四边形,点B在EF边上,若平行四边形ABCD和平行四边形AEFC的面积分别是S1,S2,则它们的大小关系是(D)(A)S1S2 (B)2S1S2 (C)S1S2(B)S1S2(C)S1=S2(D)2S1=S25.如图,已知ABC的面积为24,点D在线段AC上,点F在线段BC的延长线上,且BC=4CF,四边形DCFE和ADEM是平行四边形,则图中阴影部分的面积为(C)(A)3(B)4(C)6(D)86.(2016十堰)如图,在ABCD中,AB=2 cm,AD=4 cm,ACBC,则DBC比ABC的周长长4 cm.7.如图,在平行四边形ABCD中,EF过对角线的交点O,交AD于E,交BC于F,AB=4 cm,BC=5 cm,OE=1.5 cm,四边形ABFE的周长为12 cm.8.(2016湖北模拟)如图,若ABCD的周长为36 cm,过点D分别作AB,BC边上的高DE,DF,且DE=4 cm,DF=5 cm,ABCD的面积为40 cm2.9.如图,ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与AB,CD分别交于点E,F,求证:AOECOF.证明:因为四边形ABCD为平行四边形,所以ABCD,OA=OC,所以EAO=FCO,在AOE和COF中,EAO=FCO,AO=CO,AOE=COF,所以AOECOF(ASA).10.如图,在ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,BEAC,DFAC,垂足分别为E,F.(1)写出图中的全等三角形;(2)OE与OF是否相等?为什么?解:(1)ADCCBA,ABDCDB,AODCOB,AOBCOD,ADFCBE,ABECDF,DOFBOE.(2)OE=OF.理由如下:因为四边形ABCD是平行四边形,所以OB=OD.又因为BEAC,DFAC,所以OFD=OEB.又DOF=BOE,所以BOEDOF.所以OE=OF.11.如图,ABCD中,对角线AC,BD交于点O,OEBD,交BC于E,若ADAB=32,AOD的周长比AOB的周长多4 cm.求ECD的周长.解:因为四边形ABCD为平行四边形,所以OB=OD,AB=CD,AD=BC.因为AOD的周长比AOB的周长多4 cm,所以AD-AB=4 cm.因为ADAB=32,所以设AD=3x,AB=2x,则3x-2x=4.解得x=4.所以AB+AD=5x=20 cm.因为OEBD,OB=OD,所以EB=ED.所以ECD的周长=ED+EC+CD=BC+CD=AB+AD=20 cm.12.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,ACAB,AB=2,且ACBD=23.(1)求AC的长;(2)求AOD的面积.解:(1)因为ACAB,所以BAO=90,因为ACBD=23,所以设AC=2a,BD=3a,因为四边形ABCD是平行四边形,所以AO=12AC=a,BO=12BD=1.5a,在RtBAO中,由勾股定理得22+a2=(1.5a)2,得a=455,AO=CO=455,AC=2a=855.(2)因为四边形ABCD是平行四边形,所以OB=OD,又因为AOD和AOB在BD边上的高相等,所以SAOD=SAOB=12OAAB=124552=455,所以AOD的面积是455.13.(2016江阴市月考)如图,ABCD的对角线AC,BD交于点O,AE平分BAD交BC于点E,且ADC=60,AB=12BC,连接OE.下列结论:CAD=30;SABCD=ABAC;OB=AB;OC=32AB,成立的个数有(C)(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个14.(规律探究题)已知:如图,ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O与AD,BC分别相交于点E,F.(1)求证:BF=DE;(2)如图,若题目中的条件都不变,若将EF向两方延长,与BA边的延长线交于点E,与DC边的延长线交于点F,结论BE=DF是否成立?请说明你的理由.(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以OB=OD,ADBC,所以ODE=OBF,在ODE和OBF中,ODE=OBF,OD=OB,DOE=BOF,所以ODEOBF(ASA),所以BF=DE.(2)解:成立.理由:证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以OB=OD,ABCD,所以E=F,在OBE和ODF中,E=F,BOE=DOF,OB=OD,所以OBEODF(AAS),所以BE=DF.15.(拓展探究题)理论探究:已知平行四边形ABCD的面积为100,M是AB所在直线上一点.(1)如图,当点M与B重合时,SDCM=;(2)如图,当点M与B与A均不重合时,SDCM=;(3)如图,当点M在AB(或BA)的延长线上时,SDCM=;拓展推广:如图,平行四边形ABCD的面积为a,E,F分别为DC,BC延长线上两点,连接DF,AF,AE,BE,求出图中阴影部分的面积,并说明理由.实践应用:如图是我市某广场的一平行四边形绿地ABCD,PQ,MN分别平行于DC,AD,它们相交于点O,其中S四边形AMOP=300 m2,S四边形MBQO=400 m2,S四边形NCQO=700 m2,现进行绿地改造,在绿地内部作一个三角形区域MQD(连接DM,QD,QM,图中阴影部分)种植不同的花草,求出三角形区域的面积.解:(1)设点M到CD的距离等于h,则平行四边形ABCD的面积=CDh=100,SDCM=12CDh=12100=50.(2)与(1)同理可得SDCM=12100=50.(3)与(1)同理可得SDCM=12100=50.拓展推广:根据(1)的结论,SABE=12SABCD=12a,SADF=12SABCD=12a,所以阴影部分的面积=12a+12a=a.实践应用:设平行四边形POND的面积为x,则x300=700400,解得x=525