0317高二数学（3.1.1 数系的扩充和复数的概念）.ppt

第三章数系的扩充与复数的引入 3 1数系的扩充和复数的概念 3 1 1数系的扩充和复数的概念 问题提出 1 数的概念产生和发展的历史进程 n q r r 数系每次扩充的基本原则 第一 增加新元素 第二 原有的运算性质仍然成立 第三 新数系能解决旧数系中的矛盾 2 若 则对此你有什么困惑 3 唯物辨证法认为 事物是发展变化的 事物内部的矛盾运动是推动事物向前发展的根本动力 由于实数的局限性 导致某些数学问题出现矛盾的结果 数学家们预测 在实数范围外还有一类新数存在 还有比实数集更大的数系 数系的扩充和复数的概念 探究 一 虚数单位的引入 思考1 由得 这与矛盾的原因是什么 方程x2 x 1 0无实根 思考2 方程x2 x 1 0无实根的根本原因是什么 1不能开平方 思考3 我们设想引入一个新数 用字母i表示 使这个数是 1的平方根 即i2 1 那么方程x2 x 1 0的根是什么 思考4 若x4 1 利用i2 1 则x等于什么 1 1 i i 思考5 满足i2 1的新数i显然不是实数 称为虚数单位 根据数系的扩充原则 应规定虚数单位i和实数之间的运算满足哪些运算律 乘法和加法都满足交换律 结合律 乘法对加法满足分配律 思考6 设a r 下列运算正确吗 探究 二 复数的有关概念 思考1 虚数单位i与实数进行四则运算 可以形成哪种一般形式的数 a bi a b r 思考2 把形如a bi a b r 的数叫做复数 全体复数所成的集合叫做复数集 记作c 那么复数集如何用描述法表示 c a bi a b r 思考3 复数通常用字母z表示 即z a bi a b r 这一表示形式叫做复数的代数形式 其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部 那么复数z 3i的实部和虚部分别是什么 实部为 虚部为 3 思考4 两个实数可以相等 两个复数也可以相等 并且规定 a bi c di a b c d r 的充要条件是a c且b d 那么a bi 0的充要条件是什么 a b 0 思考5 对于复数z a bi a b r 当b 0时 z为什么数 由此说明实数集与复数集的关系如何 当b 0时z为实数 实数集r是复数集c的真子集 思考6 对于复数z a bi a b r 当b 0时 z叫做虚数 当a 0且b 0时 z叫做纯虚数 那么虚数集与纯虚数集之间如何 纯虚数集是虚数集的真子集 思考7 复数集 实数集 虚数集 纯虚数集之间的关系用韦恩图怎样表示 实数 虚数 思考8 两个实数可以比较大小 一个实数与一个虚数或两个虚数可以比较大小吗 虚数不能比较大小 理论迁移 例1实数m取什么值时 复数z m 1 m 1 i分别是实数 虚数和纯虚数 当m 1时 z是实数 当m 1时 z是虚数 当m 1时 z是纯虚数 例2设复数z1 x y x 3 i z2 3x 2y yi 若z1 z2 求实数x y的值 x 9 y 6 小结作业 1 将实数系扩充到复数系是源于解方程的需要 到十九世纪中叶已建立了一套完整的复数理论 形成一个独立的数学分支 2 虚数单位i的引入解决了负数不能开平方的矛盾 并将实数集扩充到了复数集 它使得任何一个复数都可以写成a bi a b r 的形式 3 复数包括了实数和虚数 实数的某些性质在复数集中不成立 如x2 0 若x