猜想在小学数学教学中的探索与实践.doc

摘要 猜想作为数学思维的一部分,是有效培养学生创造性思维的一种手段.猜想过程是一个人的记忆、理解能力,分析、判断能力,综合推理能力等多种智力因素作用的结果.它使主体积极参与学习的过程,这个过程中学生的实践能力进一步得到开发,有利于主体自主探索精神的培养,也有利于知识系统的进一步确立和完善.猜想意识的培养是让学生敢猜；提供契机,让学生想猜；注重方法的渗透,让学生会猜；加强实践验证,让学生善猜.在教学中运用猜想要选取适当的时机,运用猜想要注意合理有效,要与验证相结合,要对学生的猜想鼓励引导,从而使学生通过猜想积极主动地参与到学习中去,主动地获取知识.关键词 猜想；验证；教学中图分类号 G632 文献标识码 A 猜想在小学数学教学中的探索与实践赵丽丽（0820610038）前言:数学猜想是指依据某些已知的事实和数学知识,对未知的量及其关系所作出的一种似真的推断.它既有一定的科学性,又有某种假定性,其真伪性一般来说难以一时解决,数学猜想是数学研究常用的一种科学方法,又是数学发展的一种重要形式,它常常是数学理论的萌芽和胚胎,有时代表着数学研究的方向.数学猜想丰富了数学理论,也是解决数学理论自身矛盾和疑难问题的一个重要途径.因而,研究数学猜想的来源、类型、解决的主要方法以及它对数学发展的影响有着重要的意义 1.一、数学猜想的提出数学猜想大都是经过对大量特殊事实的观察、验证、归纳、概括而提出数学猜想的背景：一是对特殊事物的考察；二是对重要性质或猜想之间关系的研究.从数学发展史来看,发现提出数学猜想,需要有雄厚的数学知识和行之有效的科学方法.提出数学猜想的方法种多样,表现形式也极其复杂2.数学猜想的提出方法有：1.类比法开普勒说过:“我珍视类比,胜于任何别的东西,它是我最可信赖的老师,它能够揭示自然界的奥秘.”例如,法国数学家威尔在有理有限域上多变量多项式解的问题时,利用方程的情况类比方程组的情况,猜想方程组在有限域上解的个数与复簇(复数解集) 之间可能有联系.这就是著名的威尔猜想.2.归纳法这里主要是指不完全归纳.即在局部试验或计算的基础上,经过归纳整理而提出猜想的.例如,德国数学家哥德巴赫于1742 年经过反复试验发现,对于较小的自然数学来说,当把一个偶数拆成两个奇数之和时,其中至少有一组是两个奇素数；他根据局部试验的结果,大胆地提出猜想: 每个大于4的偶数都是两个奇数之和.3. 观察法著名数学家欧拉曾经说过: “今天人们知道的数的性质,几乎都是观察所发现的,并且是早在使用严格论证确认其真实性之前,就被发现了.甚至到现在还有许多关于数的性质已成为我们所熟悉,但却不能被证明,只有经过观察才能使我们知道这些性质.因此,使我们认识到这种仍然是很不完善的数论中,还得把最大的希望寄托于观察之中,这些观察将导致我们继续获得以后尽力予以证明的新的性质3.”由此可见,观察法对于数学猜想的发现和提出,确实是起着极其重要的作用.二、培养猜想思想的意义猜想过程是一个人的记忆、理解能力,分析、判断能力,综合推理能力等多种智力因素作用的结果.从心理学角度看,它是学生有方向的猜测和判断,包含了学生理性的思考和直觉的推断；从学生的学习过程来看,它是学生有效学习的良好准备,包含了学生从事新的学习或实践的知识准备、积极动机和良好情感.猜想在数学教育和数学研究中具有重要价值.著名教育家G.波利亚认为：“在数学领域中,猜想是合理的,值得尊重的,是负责任的态度4.”为了解决一个著名猜想,往往要构思一系列猜想,有时还要迂回前进,将一个猜想转换成另一个猜想.进行数学猜想、证明数学猜想的过程中,可以提出新思想、预见新性质、揭示新规律.它是发育新理论的胚胎,也是建立和丰富新理论的中介和桥梁.牛顿曾经说过:“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发明5.”引导学生进行积极的猜想,正是培养学生进行知识再发现和再创造的良好开端.学生的合理猜想中融合了直觉思维、联想等要素,是较复杂的思维过程,让学生根据已有的知识或直觉进行猜想,既能调动学生的各种思维能力,在猜想的过程中能更好地获取知识,又能展现他们的创新才智,提高学习的自信心. 三、如何培养猜想意识数学猜想实际上是一种数学想象,是人的思维在探索数学规律、本质时的一种策略.它是建立在已有的事实和经验上,运用非逻辑手段而得到的一种假定,是一种合理推理.数学方法理论的创导者波利亚曾说:在数学领域中,猜想是合理的、值得尊重的,是负责任的态度.他认为,在有些情况下,教猜想比教证明更重要.因此,在小学数学教学中,我们应当重视“猜想验证”这一重要思想方法的渗透与培养3.1.营造和谐民主的氛围,让学生敢猜课堂气氛可以影响学生的学习情绪、学习氛围,使情绪具有动机和知觉作用的积极力量,它组织、维持并指导行为.营造生动的学习气氛能使学生的精神振奋,思维活跃,新奇的猜想才可能出现.当学生出现猜想时,不能因为学生讲不清其中道理而指责学生“瞎猜”,“胡说八道”,而应该充分地表扬和鼓励,耐心地帮助他们思考,容忍学生因一时的“发现”或“成功”而出现的短暂的“忘乎所以”,久而久之,学生就不会有所顾虑,遇到新问题时便敢于猜想.2.提供契机,让学生想猜其实,每个人都有猜想的潜能.当一个人的思维被激活,情绪兴奋,急切地想知道某个问题的答案时,往往先进行猜想,以满足自己求知的需要.所以教师在课堂教学中,应巧妙地构思,精心地设问,创设问题情境,调动学生饱满的热情和积极的思维,激发学生的内驱力,让学生产生猜想的欲望,主动地、创造性地获取知识.3.注重方法的渗透,让学生会猜良好的认知结构是学生猜想的前提条件,学生的每一个猜想都是他们的生活经验与已有的知识的拓展.教师在教学中要帮助学生不断沟通知识间的联系,构建成知识网络.在教学中,教师要有意识地渗透一些数学思想方法,使学生感悟领会灵活运用,引导学生不断总结思维方法,从而丰富学生的思维经验,使学生的猜想合理化.4.加强实践验证,让学生善猜“想象和理智结合就是创造,想象脱离理智就是疯狂.”猜想是否有价值,最终要接受实践的验证6.在鼓励学生大胆猜想的同时,必须引导学生对其进行细心地验证.如果通过验证,发现猜想是错误的,应立即调整思路,重新分析,只有引导学生把猜想和验证有机结合起来,猜想才具有意义.只有教师在教学中利用猜想,为学生创造了更多的自主思考机会,才能激发学生学习的内驱力,发展了学生的潜在能力,使学生不断迸发出创新的火花四、猜想在教学中的运用关于猜想,波利亚有一段精彩的论述：“我想谈一个小小的建议,可否让学生在做题之前猜想该题的结果或部分结果,一个孩子一旦表示出某种猜想,他就把自己与该题连在一起,他会急切地想知道他的猜想是否正确.于是,他便主动地关心这道题,关心课堂的进展,他就不会打盹或搞小动作.”在我们的课堂教学中又该如何去运用猜想呢4？1.导入中诱发猜想良好的开端意味着成功的一半.在新课伊始诱发猜想不仅可以激发学生求知欲望,而且可以发现一些新的结论.课例：除数是整数的小数除法上课开始,教师让学生先计算：做4朵大红花要用28米绸带,平均每朵大红花用绸带几米？接着出示：做4朵小红花要用2.8米绸带,平均每朵小红花用绸带几米？师：2.8除以4得数还是7吗？学生几乎不假思索地回答：不是,是0.7.师：你能证明这个结果对吗？生：因为0.742.8,所以2.840.7师：那怎么算出这个商呢,为什么这样算？竖式应该怎么写？在这个过程中,学生在教师的引导下,先是猜想2.84的计算结果,然后利用已有知识验证自己的猜想.这里,学生的猜想是凭直觉作出判断的,如果老师追问：“为什么？”学生大多会根据被除数缩小10倍,除数不变,商也缩小10倍来解释.严格地来说,它属于猜想的范畴.学生有了这种猜想,并且已验证猜想的正确性,就使接下来的探索过程有了方向和目标,使学生对于发现列竖式计算的方法充满了自信.所以我们要充分挖掘教材中可供猜想的因素,引导学生积极猜想,为学习活动作好良好的准备.许多的数学课都可以在导入处运用猜想,如一些探索计算方法的课,探索图形周长、面积计算公式的课,都可以让学生先猜想再探索.当学生发现自己的猜想与课本相一致时,便能感受到探索知识的情趣,享受到成功的欢乐,能以极大的热情投入到新课的学习中去.2.操作中萌发猜想 小学生的思维特点是以具体思维为主,且有好动好奇的心理特点.因此,教学过程中有目的、有组织地让学生观察、操作,通过摆一摆、量一量等操作活动,一方面可以满足学生好动好奇的要求,另一方面有利于引 导学生在观察操作中进行猜想6.例如,“余数一定比除数小”是一个十分重要的概念.教学中,可先让学生动手操作,分别拿出9根、10根、11根、12根小棒,每4根摆一个囗,可以摆几个囗剩下几根？再让学生列出算式：引导学生观察思考；在除数是4的除法算式中,余数有几种可能？除数与余数的大小有何关系？从中你猜 测出什么结论？为了使学生真正理解”余数一定要比除数小”的道理,此时我们引导学生进一步猜想：当除数 是5时,余数有几种可能？除数是6呢？除数是7呢？为什么？9421 10422 11423 1243通过这样的教学,学生对余数一定要比除数小的道理不仅知其然,而且知其所以然.在观察猜想中探索出 除法中被除数、除数、商、余数之间的关系.从而进一步巩固了有余数除法的概念.3.新授中启发猜想在认知过程中,学生总会产生种种猜想.这些猜想有的正确,有的错误.教学中教师应引导学生对自己的猜想进行检验,克服盲目猜想,引导合理猜想,去探求新知.例如教学“能被3整除的数的特征”时,学生易受能被2、5整除数的特征影响,作出“个位是3的倍数的数能被3整除”的猜想.对此,教师出示如下两列数引导学生观察、验证：113、253、46、176、359、6、89621、342、243、234、75、36、27、18、129提问：第一行6个数的个位都是3的倍数,它们能否被3整除？通过验证,学生意识到原先 的猜想是错误的,心中充满疑惑,顿时探求新知的强烈欲望油然而生.这时教师抓住契机,引导学生观察第二 行数：第二行的数能否被3整除？这十个数的个位有什么特点？你想到什么？接着指出：看来一个数能否被3 整除不能只看个位,也与数的排列顺序无关,那么,究竟与什么有关,具有什么特征呢？在教师的启发下,学生又能重新作出如下猜想：（1）可能与各位数的乘积有关；（2）可能与各位数的差有关（大数减小数）；（3）可能与各位数的和有关对这些猜想,教师可放手让学生自行验证,从而得出能被3整除的数的特征是：一个数的各位上的数的和能被3整除,这个数就能被3整除.这是一个典型的猜想,验证,再猜想,直至论证的过程,学生的猜想是一种合情推理,对于培养学生的创造性思维是不可缺少的.学生在这一过程中获得了学习的满足,体验到成功的喜悦、数学的魅力.在这过程中,学生以主人公的姿态参与新知形成的全过程,不仅培养了学生发现规律的能力,而且学生思维的正确性也得到培养6.4.练习中激发猜想充分发挥学生潜在能力是当今素质教育研究的重点,因此,教师要采取多种手段激活学生学习的内驱力,疏通学生潜能涌动的渠道,以求迸发出创新的火花.而知识巩固阶段无疑是学生潜能发挥的最佳环节.此时有效利用猜想,让学生用猜想的结论去解决实际问题,使学生已有的知识得到巩固、深化和发展,有利于调动学生的思维,激发学生的学习兴趣,培养学生运用知识的能力.如：在教学“异分母分数加减法”时,在巩固练习的最后阶段,我设计了这样的题目：小小观察手:先计算,后观察,再总结.+ = + = + =+ = + =通过计算,让学生主动去猜想规律,在猜想、验证的过程中促使知识的深化和拓展,并由加法过渡到减法,从而进一步激发学生的猜想意识,培养学生主动探索的学习品质.65.总结处拓展猜想一般认为,对新知识的探索结束了,猜想也告一段落了,课堂小结以后就没有猜想存在了吗？应该有,那将是猜想的延伸.学习新内容后,可以让学生猜想以后会学习什么内容,今天学习的内容有什么作用.如学习除数是整数的小数除法后,学生自然会猜想到接下来要学习 除数是小数的小数除法,这样有利于激起学生对后学知识的兴趣.还可以让学生在学习新知识后猜想知识的运用,如学习长方形和正方形的面积之后可以让学生猜想自己住的小房间的面积,吃饭桌子的面积.这样的猜想有利于培养学生将所学知识运用于实际生活的能力.五、有关猜想教学注意点学生的猜想可能是经过周密思考的,符合逻辑性,颇像一个大数学家,但更可能是稚嫩无据的,只是顽童小技；学生的猜想状态可能是积极主动的,但也可能是消极被动的,这都是正常的,教师要在学生的猜想中发挥”主导作用”,引导他们去合理甚至求异地猜想,使学生更具信心地猜想,更好地发展他们的创造性思维.71. 提高猜想的有效度猜想可分为正向猜想与反向猜想.正向猜想就是学生根据已有的知识经验,按照常规有序的思考得到新知识,是学生利用迁移学习新知识的一种重要方法.7如复习平行四边形的面积推导过程以后,让学生猜想三角形或梯形的面积计算方法该怎样推导,学生很容易作出正向猜想.引导学生在已有知识的基础上再作新的猜想,长此以往学生对正向猜想会比较自觉地进行.2.学会修改、筛选猜想培养小学生的猜想与假设,不仅要有强烈的好奇心、求知欲,还应该培养他们大胆的探索和批评精神.古人云：“学贵有疑.”“学则须疑.”疑是思之源,思是智之本.疑是“争论”的起点,有了“疑”而又能独立思考,敢于坚持自己的意见,才有了“敢于争论”的思想基础.教师对学生的质疑要提倡、鼓励,使学生逐步做到敢说、爱说,甚至提出跟教师不同的想法.学生的假设是建立在已有的知识经验和生活经验的基础之上的,是稚嫩的、不成熟的,甚至是错误的.因此,教师要引导学生对自己提出的假设进行反驳、筛选、修改,这是一个质疑的过程,有利于培养学生的怀疑精神和表述能力.3.猜想与验证相结合任何猜想都要经过验证,才能确定其普遍意义,猜想验证的过程,也就是学生主动参与数学知识的探索过程.只有猜想没有验证,那只能是空想,把猜想与验证紧密结合,可以产生猜想的良性循环.有的猜想通过简单计算和操作马上就可以验证.如猜想周长相同的长方形和圆的面积谁大,学生随机举例计算,就可以得出正确的结果.4.强调猜想的表达说是学生把感性的知识通过理性表现的一种有效途径,也是完善认知和猜想的必要过程.猜想是人们依据事实,凭借直觉所做出的合理推测,是一种创造