Matlab在《复变函数与积分变换》中的应用.doc

精品Matlab在复变函数与积分变换中的应用摘要：复变函数与积分变换工程是应用必备的基础课，在解决实际问题中也有十分重要的意义。MATLAB是集数值计算、图形处理、图像处理、符号计算文字处理、数字建模、实时控制、动态仿真、信号处理等功能为一体的数学应用软件【1】。将MATLAB应用到复变函数与积分变换的学习中，可以为复变函数与积分变换的计算和应用带来极大的方便。关键字：复变函数 积分变换 MATLAB 应用前言：把复变函数与积分变换的学习和MATLAB结合起来，就可以把复杂繁琐的计算交于计算机,而把主要精力集中在建立和优化数学模型上。可以利用MATLAB可以对一个复常数进行基本的求模，求幅角，求实部、虚部的运算。更进一步地，还可以求复数的指数、对数，对复数进行三角运算。在对于复变函数的研究中，可以求解复变函数的留数，并用来求复变函数的积分，对复变函数进行泰勒级数展开。在积分变换方面，可以对函数进行傅里叶变换、逆变换，进行拉普拉斯变换、逆变换。1. 复数的基本运算1.1复数的实部和虚部real (z) 返回复数z 的实部imag (z) 返回复数z 的虚部1.2共轭复数 conj (z) 返回复数z 的共轭复数1.3复数的模和辐角abs (z) 返回复数z 的模angle (z) 返回复数z 的辐角1.4 复数的乘除法* 乘法：模相乘，辐角相加/ 除法：模相除，辐角相减1.5 复数的平方根sqrt (z) 返回复数z 的平方根值1.7复数的幂运算 zn 返回复数z 的n 次幂1.8 复数的指数运算和对数运算exp(z)返回复数z的以e为底的指数值log(z) 返回复数z的以e为底的对数值1.9 复数的三角运算sin (z)、cos (z)、tan (z)、cot (z)、sec (z)、asin (z)、等函数，返回复数z 的函数值。1.10复数方程求根solve (f (x) = 0) 求方程f (x) = 0 的根例1 求下列复数的实部、虚部、共轭复数、模、辐角【2】。 (1) 1-i1+i7 (2) i1-i+1-ii (3) i5+3i18+i解：编写程序 Z=(1-i)/(1+i)7,i/(1-i)+(1-i)/i ,i5+3*i18+ire=real(Z) %求实部im=imag(Z) %求虚部Z1=conj(Z) %求共轭复数r=abs(Z) %求模theta=angle(Z) %求辐角运行结果为：例2 求z4+1=0的解。解：编写程序solve (z4+1 = 0)运行结果为：2 计算复变函数的极限、微分与积分解析函数是复变函数与积分变换中最主要的研究对象，它在理论和实际问题中有着广泛的作用。2.1 MATLAB求复变函数极限例3 解：编写程序 syms z;f=z/(sin(z)limit(f,z,0)即f(z)在z=0的极限是1 2.2 MATLAB求复变函数微分例4 解：编写程序syms z f=z/(1+z)*(sin(z);diff(f)2.3 MATLAB求复变函数积分例5 解 syms t z z=2*cos(t)+i*2*sin(t);f=1/(z+i)10/(z-2)/(z-5);inc=int(f*diff(z),t,0,2*pi)3 用MATLAB计算留数根据留数的定义，设Z0是解析函数f(z)的孤立奇点，我们把f(z)在Z0处的洛朗展开式中负一次幂项的系数C-1称为f(z)在Z0出的留数，记作Resf(z),z，即Resf(z),z=C-1。【2】 在matlab中利用residue（）函数可以求出任意复变函数的孤立奇点以及在该点处的留数值。格式如下：r,p,k=residueb,a 【3】。例6求下列函数在奇点处的留数 f(z)=z+1z2-2z解：r,p,k=residue(1,1,1,-2,0) 所以 Resf(z),2= 1.5 Resf(z),0=-0.5 。例7 计算积分 Czdzz4-1，其中，C为正向圆周,|Z|=2.解：先求被积函数的留数。r,p,k=residue(1,0,1,0,0,0,-1)可见，在圆周|Z|=2内有四个极点，所以积分值等于2xpix（0.25+0.25-0.25-0.25）=0。4Taylor级数展开 Taylor 级数展开在复变函数中有很重要的地位，如分析复变函数的解析性等。taylor (f) %返回f 函数的5 次幂多项式近似taylor (f, n) 返回n-1 次幂多项式近似taylor (f, a) 返回a 点附近的幂多项式近似taylor (f, x) 对f 中的变量x 展开；若不含x，则对变量x = findsym (f)展开【4】。例 8 求函数sinzz在零点处的泰勒级数展开式。 解：syms x Taylor(sin(x)/x,0)5.Fourier变换及其逆变换在MATLAB中，使用fourier( )函数来实现Fourier变换，Fourier变换的逆变换是使用ifourier( )函数来实现。Fourier(f,u,v) 将返回函数f,该函数以符号u为自变量，代替默认值x，F(v)=int(f(x)*exp(-i*v*u),x,iinf,inf);f=ifourier(F,u,v) 将返回函数f,该函数以符号v为自变量，代替默认值w，f(u)=(int(F(V)*EXP(-i*u*v,w,-inf,inf)/2pi。例9求f(t)=e-(t-x) tx0 tx 的Fourier变换，在此x是参数，t是时间变量【5】。解： syms t x w;ft=exp(-(t-x)*sym(heaviside(t-x); F1=simle(fourier(ft,t,w) F2=simle(fourier(ft) F3=simle(fourier(ft,t) F1= 1/exp(i*x*w)/(1+i*w) F2= 1*exp(-i*t*w)/(1+w) F3= 1*exp(-t*(2+i*t)/(i+t)例10 求Fourier变换的逆变换。解 syms t u v w x Ifourier(w*exp(-3*w)*sym(Heaviside(w) ans= 1/2/(-3+i*x)2/piifourier(1/(1+w2),u)ans=1/2*exp(-u)*Heaviside(u)+1/2*exp(u)*Heaviside(-u)ifourier(v/(1+w2),v,u)ans=-i/(1+w2)*dirac(1,u)ifourier(sym(fourier(f(x),x,w)w,x)ans= f(x) 6. Laplace变换及其逆变换拉普拉斯（laplace）积分变换在工程、应用数学等方面都有重要的作用。用Matlab求解更加方便【6】。6.1 Laplace变换F= laplace(f,t,s) 求时域函数f（t）的laplace变换FF是s的函数，参数s省略，返回结果F默认为s的函数；f为t的函数，当参数t省略，默认自由变量为t。6.2 拉普拉斯（laplace）反变换F=i laplace(f,t,s) 求F的laplace反变换f解： syms t s;syms a b positive f=exp(sin(t)/t);L=laplace(f)解： syms t sF=1/(s*(s-1)2); f=simple(ilaplace(F)7.MATLAB绘图功能在复变函数中的应用 随着计算机处理数据和图形的功能越来越强，复变函数和计算机的结合已经成为必然的选择：比如从定理的推导证明到繁杂的运算，单调乏味。十分影响学习的兴趣一和计算杉瞄合起来就不同了学生可以把复变函数的一些初等厢数利用绘图功能将该幽数用图形直观的表达出来由此可以通过图形来观察出函数图形的一些性质，这使得教学过程直观生动。但由于复变函数的自变量是复数，函数值也是复数，就需要有四个量来表示，而MATLAB表现四位数据的方法是用三个空间坐标再加上颜色。下面将通过一些具体算例来说明通过复变函数的图形可以帮助我仃J理解复变函数课程中一些比较难于理解的抽象的函数概念和性质【7】。例13 绘制z、z3、sinz、4z 的图像。解：subplot(2,2,1)z=cplxgrid(40);cplxmap(z,z);colorbar(vert);title(z);subplot(2,2,2)z=cplxgrid(40);cplxmap(z,z.3);colorbar(vert);title(z3);subplot(2,2,3)z=cplxgrid(40);cplxmap(z,sin(z);colorbar(vert);title(sinz);subplot(2,2,4)subplot(2,2,1)z=cplxgrid(40);cplxmap(z,z);colorbar(vert);title(z);subplot(2,2,2)z=cplxgrid(40);cplxmap(z,z.3);colorbar(vert);title(z3);subplot(2,2,3)z=5*cplxgrid(40);cplxmap(z,sin(z);colorbar(vert);title(sin(z);subplot(2,2,4)z=cplxgrid(40);cplxroot(4);colorbar(vert);title(z1/4);结束语： 以上是复变函数与积分变换中一些问题的MATLAB 解法。我们从中可以看出，利用MATLAB求解这些问题具有规范、简洁、灵活等特点；大大简化了数学问题的求解过程，便于求解一些实际应用中较为复杂的数学问题；对于理解掌握复变函数与积分变换理论知识也具有一定的辅助作用。因此，我们在平时的学习中应该经常把它们结合起来使用，这样会起到意想不到的结果。 参考文献【1】陈静，段振辉Matlab在复变函数与积分变换课程教学中的应用J.河南机电高等专科学校学报。 【2