不定积分03253.doc

精品不定积分2.1 不定积分的直接积分法直接积分法通常也可以称之为凑微分法。直接积分法是建立在不定积分基本积分公式和不定积分线性运算法则（）之上的，求解不定积分的一般思路是：先将被积函数转化为若干简单函数的和，然后应用不定积分的线性运算法则和不定积分基本积分公式来求解，这样做就是为了把复杂的不定积分化为简单的不定积分，把未知的不定积分化为已知的不定积分。例题 1 求下列不定积分： ； .解 分析：对于例题1中的，只要对要求的不定积分进行变形，直到可以简单地利用基本积分公式。 从上面两道例题看，用直接积分法求解不定积分，除了必须牢记基本积分公式，还要熟练掌握中学数学中的一些常用公式。在实际解题中要注意灵活运用基本积分公式，充分运用化归的思想方法。2.2 不定积分的换元积分法换元积分法分为第一换元积分法、第二换元积分法，第一换元积分法和第二换元积分法在数学形式上互成逆反，在实际使用时则以新得的积分比原来的积分更易“积分”作为选择方式的原则。例题 2 求不定积分：.解 分析：对于例题2，理论上可以用直接积分法来求解，但其计算过程显然是非常繁琐的。这里采用换元积分法，计算过程就变得相对简单得多。因为,所以令得另外，要记住在结果中把原变量换回去。例题 3 求不定积分：解 分析：对于例题3，若采用第二换元积分法，新得出的积分，比原来的积分显然更易“积出”，而若采用第一换元积分法则过程相对复杂。令， .解题时应该选择更适合、更简单、更明确的方法，不要拘泥于某种方法。2.3 不定积分的分部积分法分部积分法适用的情形是被积函数是两类完全不同类型函数的乘积。在以往的学习中，笔者总结出了两种类型的分部积分法：“降幂”分部积分法和“升幂”分部积分法。解不定积分时，通常以新得的积分比原来的积分更易“积分”作为选择方式的原则。“降幂”分部积分法 一般地，对于形如、的不定积分（其中是一个关于的次多项式），作如下处理：“令，再把被积函数中出现的指数函数、三角函数选为分部积分公式中的，进行分部积分，这样就能使多项式因式的次数逐渐降低。”这里不妨称之为“降幂”分部积分法。例题 4 求下列不定积分：； .解 令 . .“升幂”分部积分法一般地，对于形如、的不定积分（其中是一个关于的次多项式，为正整数），作如下处理：“令，为被积函数中的另一超越函数因子，进行分部积分，这样做后，在新的积分中，升幂为次的多项式，就变为无理根式或有理分式。”这里不妨称之为“升幂”分部积分法。例题 5 求下列不定积分： ; 解 3 结 论由于积分的灵活性，求解不定积分切不可拘泥于某种解题方法，在任何时候积分的三个基本方法都是适用的，特别是直接积分法提供了简捷明快的直观方法，譬如：对于就需要直接积分而不能再用换元法或分步积分法（否则会变得更困难），而例题2中采用换元积分法就使计算过程变得相对简单。有时候一道题目可以采用这三种方法中的多种方法求解，有时候一道题目要同时运用多种方法求解。譬如：例题 6 求不定积分：.解 方法1 .方法1中采用了直接积分法. 方法2 .方法2中综合采用了直接积分法和换元积分法，这里换元的过程：“”是一种非常实用的换元技巧. 方法3 .方法3中采用了分部积分法.不管采用何种方法，运用何种解题技巧，都是希望能更简单、更准确地求出所要求的不定积分，笔者在此所探讨的技巧，就是要充分体现化繁为简、化未知为已