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8 5抛物线及其标准方程 甘谷一中马虎森 09383327102 回顾 椭圆 双曲线的第二定义 与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹 2 当e 1时 是双曲线 1 当0 e 1时 是椭圆 其中定点不在定直线上 思考 当e 1时 即 mf mn 点m的轨迹是什么 平面内与一个定点f和一条定直线l fl 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 一 抛物线定义 想一想 1 定义中的定点与定直线有何位置关系2 同学们在以前对抛物线有哪些认识 定点f叫做抛物线的焦点定直线l叫做抛物线的准线 点f不在直线l上 即设 fk 则 0 求曲线方程的基本步骤是怎样的 想一想 k 演示 k 设 kf p 设点m的坐标为 x y 由定义可知 mf mn 即 解 设取过焦点f且垂直于准线l的直线为x轴 线段kf的中垂线y轴 把方程y2 2px p 0 叫做抛物线的标准方程 而p的几何意义是 焦点到准线的距离 fk 其中 二 标准方程 一条抛物线 由于它在坐标平面内的位置不同 方程也不同 所以抛物线的标准方程还有其它形式 三 四种抛物线的标准方程对比 练习 填空四种抛物线的标准方程对比 注意 第一 抛物线的焦点 对称轴 在一次项对应的坐标轴上 第二 一次的系数的符号决定了抛物线的开口方向 第三 第四 定性 定量 题组1 分析 练习 回答 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 1 y2 20 x 2 x2 y 3 x ay2 a 0 4 x2 8y 0 5 0 x 5 0 2 y 2 题组2 求过点a 3 2 的抛物线的标准方程 解 当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时 把a 3 2 代入x2 2py 得p 当焦点在x轴的负半轴上时 把a 3 2 代入y2 2px 得p 抛物线的标准方程为x2 y或y2 x 练习 1 根据下列条件 写出抛物线的标准方程 1 焦点是f 3 0 2 准线方程是x 3 焦点到准线的距离是2 y2 12x y2 x y2 4x y2 4x x2 4y或x2 4y 思考题 m是抛物线y2 2px p 0 上一点 若点m的横坐标为x0 则点m到焦点的距离是 n 例3 点m与点f 4 0 的距离比它到直线l x 5 0的距离小1 求点m的轨迹方程 o y x f m 解 如图所示 设点m的坐标为 x y 由已知条件得 点m与点f的距离等于它到直线x 4 0的距离 根据抛物线的定义 点m的轨迹是以f 4 0 为焦点的抛物线 因为 4 所以p 因为焦点在x轴的正半轴上 所以点m的轨迹方程为y2 16x 小结 1 抛物线的定义及活用定义解题 2 抛物线的标准方程 3 已知抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程 求标准方程时应 先 定位 后 定量 小结 1 抛物线的定义 标准方程类型与图象
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