几何入门训练1

几何入门训练【概述】 要学好几何，首先要在理解的基础上完全掌握各项知识点，包括各种概念和原理，在此基础上，掌握好“识图”、“推理”和“表达”三大能力，几何就不会难学了。 现在，我们就从上述几个方面着手，大家共同努力，渐入“几何之门”。【知识点】 必须了解的基本概念 直线、射线、线段、角（周角、平角、直角、钝角、锐角） 相交、平行、垂直、垂线段、角平分线、中点 同位角、内错角、同旁内角、余角、补角、邻补角、互余、互补、对顶角 两点间的距离（连接两点的线段的长度）、点到直线的距离、平行线间的距离以上概念，教科书上都有详细的解说，请同学们自己去查找，这里不再解释。 必须掌握的基本原理所谓原理，就是用来解、证几何题的依据。在几何里，我们每一步分析推理、每一个结论的得出，都必须有一个相应的“原理”作为依据。比如说，当我们看到题目中有两条直线平行，我们就可以得出同位角相等的结论，这是因为我们知道有一条原理就是“两直线平行，同位角相等”。 下面，我们按内容将要学习的原理分为“几何基本原理（9条）”、“平行线性质原理（4条）”、“平行线判定原理（5条）”三类共18条来学习。几何基本原理【原理1】 过两点有且只有一条直线。（或：两点确定一条直线） 原理解说经过两点作直线，只能作出一条，此原理为公理，不用证明。应用举例用两颗钉子就可以将一根木条固定在墙上，是因为 。图1-1 【原理2】 两点之间，线段最短。原理解说如图1-1，在A、B两点之间，有各种连接方法，其中最短的就是线段AB，此原理可用来证明“三角形基本原理1” 【原理3】 同角（或等角）的补角相等；同角（或等角）的余角相等。原理解说此原理在应用上的格式如下： （已知） （同角的补角相等） （已知） （等角的补角相等）“同角（或等角）的余角相等”的应用只要将上式中的180o改为90o即可。应用举例如图1-2， RtABC中，ACB=90o，CDAB于D，（图1-2）求证：1=B，2=A 证明： CDAB （已知） BDC=90o （垂直定义） 2+B=90o （三角形内角和定理） 又 ACB=90o （已知） 即 1+2=90o 1=B （同角的余角相等） 同理可得：2=A （在学习原理的同时，注意模仿证题的格式） 练习如图1-3，点E在BD上，ABBD于B，DCBD于D，且AECE（图1-3）求证：1=C，2=A 证明： （图1-4）【原理4】对顶角相等。 原理解说如图1-4，这是个很简单的原理， 1=2，可用“同角的补角相等” 原理来证明。 已知：直线a、b相交 求证：1=2证明： 【原理5】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。原理解说此原理在解证题中用得较少，只要理解即可。不过要注意二者的区别：前面一句有“过直线外”而无“在平面内”，后面一句正好相反。【原理6】直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。原理解说P是直线外一点，A、B、C都在直线上，且PA。那么在线段PA、PB、PC中，PA最短。此原理应用也少。 【原理7】平移不改变图形的形状和大小；平移把直线变成与它平行的直线； 像与原像对应点的连线平行且相等。 原理解说平移的性质比较简单，所以不多加说明。【原理8】平面内如果一条直线垂直于两平行线中的一条，则必垂直于另一条。（图1-5）原理解说如图1-5，试说明 【原理9】等量加（或减）等量，仍是等量（等式性质）； 等量可代换（简称“等量代换” ） 原理解说此原理本是数学中的基本原理,非几何专有。 其常见格式如下： 1=2 3=4 1=2 1=3 13=24 （等式性质） 2=3 （等量代换）（图2-1） 平行线性质原理 【平行线性质原理1】两直线平行，同位角相等； 【平行线性质原理2】两直线平行，内错角相等；【平行线性质原理3】两直线平行，同旁内角互补。 （注：以上原理将在“识图训练”中加强，此处略过） 【平行线性质原理4】平行线间的距离处处相等。 原理解说 如图2-1，ab，A、B两点在直线a上， C、D、E在直线b上，则有SABC=SABD=SABE，其理由是“同底等高”。 略证：依据“平行线性质原理4”，ABC、ABD、ABE的高都是h， SABC= SABD =SABE =1/2 AB h 平行线判定原理 【平行线判定原理1】同位角相等，两直线平行； a【平行线判定原理2】内错角相等，两直线平行； b【平行线判定原理3】同旁内角互补，两直线平行； c （注：以上原理将在“识图训练”中加强，此处略过） （图2-2）【平行线判定原理4】平行于同一条直线的两条直线互相平行；原理解说如图2-2，若ab，bc，则 ac ；【平行线判定原理5】在平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 a b 原理解说如图2-3，若ac，bc，则ab。 c （图2-3）【能力训练】 一道几何题，通常是通过观察图形（识图）来进行分析（推理），然后用规定的格式写出来（表达），这是一般的解题过程，说明“识图”、“推理”、“表达”这三大能力是紧密联系、缺一不可的。但这三大能力也有一定的独立性，下面我们就先从“识图”着手，逐渐学习几何的解题能力。一、基本识图能力训练（包括基本作图能力） 如图4-1，直线a、b被c所截，形成8个角（此即所谓的“三线八角图”，）请找出图中所有的同位角、内错角和同旁内角。（注意，a、b并不一定要平行） （图4-1） 如图4-2，ab，在图中找出所有相等的角、互补的角 （图4-3）（图4-2） 如图4-3，三条直线两两相交（即每两条都相交），则： 1与2是 角，2与3是 角 6与7是 角，2与4是 角 4与5是 角，3与6是 角 如图4-4，ab，cd，则： 若1=3 ；3=4 ； 2+5=180o ；2+3=180o ； 4=5 ；4=6 ； 若ab1= 3+ =180o cd1= 2+ =180o 如图4-5，ABCD，ADBC，则： （图4-4） ABCD2= ， = ADBC1= ， = 6=8 ；4=2 ； ABC+BCD=180o ； ADC+BCD=180o ； （图4-5） 如图4-6，线段AB之间有5个点，则图中共有多少条线段？ 解法 若直接数，则先以A为一个端点，有AC、AD、AE、AF、AG、AB共6条线段；再以C为一个端点，有CD、CE、 （图4-6）CF、CG、CB共5条线段，（CA已数过，不要再往前重复）依此类推，共有6+5+4+3+2+1=21条线段。 换一种思路：以A为端点的线段共有6条（共7个点，A与其它6个点分别组成），同样，以B为端点的线段也有6条，但与A点重复1条，其实每两个点之间都会重复一次，所以共有762=21条。按第种思路，若线段上共有n个点，则共有条线段。 练习若线段AB之间有9个点，则共有 条线段。 推广 如图4-7，图中共有 个三角形； 某校初三年级共有6个班，准备举行一次蓝球赛，采取单循环赛制，即每两个班只比赛一场，则此次比赛共要安排 场。 如图4-8，如果不计平角和周角，则图中共有 个角； （图4-7） A、B两个火车站之间有4个小站， 每两个站之间的距离都不相同，那 么共有 种不同的票价，要准备 种不同的车票。 如图4-9，1=A，可判定 根据是 ；3+GFE=180o, 可判定 ，根据 （图4-8） （图4-9）是 ； 三条直线交点的个数有4种可能，即0、1、2、3个交点，请分别画出这4种图。 （0个交点图） （1个交点图） （2个交点图） （3个交点图） 平面内有三个点，过每两个点作直线，可做多少条？四个点呢？分别画出图形说明。 如图，平面内A、B、C、D四点，按要求作图： 作直线AC、BC； 作线段AB； 作射线AD； 连结BD、CD 如图，已知线段、（），求作： 线段+ 线段- 线段2- 已知线段AB=10，在直线AB上有一点C，且BC=4；M是AC中点，求线段AM长。 （提示：先画图，再求解） 二、识图、推理、表达综合能力基础训练 如图5-1，线段AB上有C、D两点，若AC=BD， 试证明AD=BC 证明：AC=BD （已知） （图5-1）AC+CD=BD+CD （等式性质） 即：AD=BC 变化1如图5-1，线段AB上有C、D两点，若AD=BC，试证明AC=BD变化2如图5-1，线段B上有C、两点，若AD=BC=7，CD=2，求AB的长。变化3如图5-2，已知AOD=BOC，求证：1=2 （图5-2）变化4如图5-2，已知1=2，求证：AOD=BOC变化5如图5-2，已知AOD=BOC=70o，DOC=20o，求AOB的度数： 如图5-3，已知直线、被所截，1=2， 求证：3=2，4+2=180o说明本题是由同位角相等证内错角相等、同旁内角互补， 所以不要由1=2得来证。 （图5-3）变化1如图5-4，已知直线、被所截，1=2， 求证：说明本题可用同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 三种方法来证。 证法一： （图5-4）证法二： 证法三：变化2如图5-5，已知直线、被所截，1+2=180o， 求证：说明本题也可用同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 三种方法来证。 证法一： （图5-5）证法二： 证法三：（图5-6）变化3如图5-6，已知，1=2， 求证： （提示：找一个中间量） 如图5-7，A=1，CE平分BCD，试证CEAB（图5-7） （图5-8） 变化1如图5-8，已知EFCD，1=2， 证明：CD平分ACB （图5-9） 变化2如图5-9，已知ABC=ACB，BD平分ABC，CE平分ACB，DBF=F，证明：CEDF（图5-10） 求证：邻补角的角平分线互相垂直 如图5-10，已知OE平分AOC，OF平分BOC， 证明：OEOF（图5-11）变化求证：两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直如图5-11，已知ABCD，EP平分BEC，FP平分EFD， 证明：EPFP （1） 如图5-12中的三个图，已知ABCD，试探究1、2与3的关系并加以证明。 在（1）图中， = + 证明： （2）在（2）图中， + + = 证明： （3）在（3）图中， = + 证明：三、常用几何（数学）解题思想（思路） 转化思想转化思想就是将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题，是数学中最常用、最基本的思想之一。例如解二元一次方程组就是将二元一次方程转化成一元一次方程来解；P6第题的几个变化题型都是运用转化思想，将已知条件转化成同位角或内错角等相等来证。分类讨论思想当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各种情况进行分类讨论。例如的取值就需要讨论；P5第题也需要讨论C点的位置。数形结合思想 利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。把代数和几何相结合，例如对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答。 例：如右图，P是AC中点，M是AB中点，N是BC中点， 则下列式子不成立的是（ ） AMN=PC BMP=1/2（AP-PB）CPN=1/2（PC+PB） DMN=1/2（AC+PB） 本题若直接识图除A选项外很难看清其中的等量关系，我们可以设AM=BM=，BN=NC=，则有： AP=CP=1/2（2+2）=+ PB=PC-BC=+-2=- MP=AP-AM=+-= （AP-PB）=（+）-（-）=2 1/2（AP-PB）= 选项B成立。 下面大家使用这种方法可以自己判定选项C、D是否成立：PN= - = = 1/2（PC+PB）= 选项C 。（填“成立”或“不成立”） MN= 1/2（AC+PB）= 选项D 。（填“成立”或“不成立”）方程思想当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。不关是代数中的应用题要用到方程思想，几何中的一些题型也可用方程思想解决。 例：点C、D将线段AB分成2:3:4三部分，M、N分别是第一、第三部分的中点，MN=4.2，求AB的长度。 分析：本题本无图，我们可以根据题意先画图。如右图： 依题意可设AC、CD、DB分别为2、3、4，识图 可得MN=6=4.2，则=0.7，AB=9=6.3 整体思想从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改