数学人教版六年级下册抽屉原理——分配问题.doc

抽屉原理分配问题新华小学 徐姗教学目标：1经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。2通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。3通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。教学重、难点：经历“抽屉原理”的探究过程，理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。教学过程：一、生活问题数学化 初步感知抽屉原理模型。师：同学们，你们玩过抢椅子的游戏吗？现在，老师这里准备了3把椅子，请4个同学上来，谁愿来？（学生上来后）1. 师提出游戏要求：(1)听清要求 ，老师开始拍手以后，开始抢凳子, 在停止之前老师会提醒参赛人员喊：“三、二、一、停！”(2)今天我们得”抢凳子游戏可和以往的不一样哦. 听清要求: 请你们4个都坐在椅子上，（强调）每个人必须都坐下，好吗？（好）。这时教师面向全体，背对那4个人。2.师：刚才老师一直面对着你们没看到他们怎么抢椅子，但是我大胆的猜测：“不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐两个同学”我说得对吗？（生：对）生：对！（生不相信还可以再玩抢椅子游戏验证。）师：“总有”是什么意思？“至少”是什么意思？3生尝试解释：“不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐两位同学”这个猜测。4.师揭示课题：你知道老师为什么猜的那么准吗？其实这中间蕴含着一个有趣的数学原理，叫做抽屉原理，这节课我们就一起来研究这个原理。设计意图教师从学生熟悉的“抢椅子”游戏开始，让学生初步体验不管 怎么坐，总有一把椅子上至少坐两个同学，使学生 明确这是现实生活中存在着的一种现象，即是生活问题数学化，不仅激发了学生的学习兴趣，还使学生对数学建模进入跃跃欲试的状态，为后面开展教与学的活动做了铺垫。 二、感悟数学思想，建立数学模型。1.提问引入。 师：你们知道抽屉是做什么用的呢？生：放东西的。有了放东西的,还要有什么？生：要放的东西。我们就假设要放的东西是小棒，下面我们就来研究往杯子里放小棒。同学们可以把杯子当作抽屉。2.教学例一。（课件出示题目）：把4根小棒放入3个杯子，不管怎么放，总有一个杯子至少放2根小棒。问：这句话是什么意思？“总有”什么意思？“至少”呢？（生按照自己的理解说一说）这句话对吗？（1）动手操作。师课件出示活动要求并说明：在判断之前让我们先研究一下“把4根小棒任意放入3个杯子有几种放法？”请同学们用圆圈表示杯子，斜杠表示小棒，动手放一放、画一画，看有有几种摆法，将结果写在记录单上，然后同桌再互相讨论看看有没有各自遗漏的摆法。师：（师巡视，个别指导。）谁上台展示一下自己的摆法？（展示台投影）师：看这位同学是怎么放的！生：第一种方法是第一个杯子里放2根，第二个杯子里放1根，第三个杯子里放1根师：咱们数学讲究简洁，我们可以用2，1，1来表示。板书：（2，1，1）那么其他三种放法也请同学们用这种简便方法表示出来。（根据学生摆的情况，板书：（2，1，1）（2，2，0）（3，1，0）（4，0，0）（2）交流汇报。师：其实就四种放法，我们一起来看看。（课件先出示四种放法，再出示猜测：把4根小棒放入3个杯子，不管怎么放，总有一个杯子至少放2根小棒。这句话对吗？你找到那个能判断出至少放2根小棒的杯子了吗？）师板书：圈出至少数“2”。生交流汇报：对，因为第一种放法（2，1，1）中放的小棒最多的杯子里有2根小棒。第二种放法（2，2，0）中放的小棒最多的杯子里有2根小棒。第三种放法（3，1，0）中放的小棒最多的杯子里有3根小棒。第四种摆法（4，0，0）中放的小棒最多的杯子里有4根小棒。而最多的小棒数中至少有2根小棒。所以把4根小棒任意放入3个杯子，总有杯子比其他杯子放的小棒多，这个杯子里至少有2枝小棒。3.师出题（课件出示）：那5根小棒放进4个杯子，不管怎么放，总有一个杯子至少放几根小棒？学生猜测：2或3。师：还有其他猜测吗？（学生无语）我们验证一下。把5根小棒放入4个杯子，有几种放法？小组合作，将结果写在记录单上，验证你们的猜测对不对。同学们也可以用刚才简便的方法来表示你的放法。小组动手操作，交流汇报。（师巡视，个别指导。）师：谁上台展示一下自己的摆法？（展示台投影）（根据学生摆的情况，板书：（2，1，1，1）（2，2，1，0）（3，1，1，0）（3，2，0，0）（4，1，0，0）（5，0，0，0）生：我们圈出每种放法最多放几根小棒，然后发现最多放的小棒里面至少可以放2根小棒。（师板书：圈出每种放法中最多的放几根小棒，然后让学生发现最多放的小棒里至少可以放2根小棒。）设计意图让学生在经历“抽屉原理”建模形成过程中积累数学经验，感悟数学思想。让学生从动手画图到不用画图直接推理，经历从简单到复杂，从感性到理性的过程。师：同学们真是太厉害了！借助刚才的经验，先找到每组放法里面放的最多的杯子，他们组怎么一下子全找到了？生：他们组是有序思考。师：对啊，有序思考是我们研究数学常用的方法，它能做到不重复、不遗漏。他们组从最多里面再找到最少的，从而发现，不管怎么放，总有一个杯子里至少放2根小棒。不管是把4根小棒放入3个杯子，还是把5根小棒放入4个杯子，我们都是采用了一一列举的方法来研究的，（板书：列举法）列举法是数学研究中一种常用的方法，它非常的直观。4.师：如果这里有100根小棒放进30个抽屉让你用列举法来研究，你觉得怎么样？ 师：太麻烦了！是啊，那有没有更简便的方法让我们很快就找到至少数呢？我们再回头看。请同学们认真观察每一种放法，分别找出哪一种放法最能说明“总有一个杯子里至少放2根小棒呢？” 师：先来看把4根小棒放入3个杯子，哪种放法最能说明至少数？生：（2，1，1）把5根小棒放入4个杯子呢？（生：（2，1，1，1）师：观察这种放法和其他放法相比有什么特点？（生：它放的比较平均，让每一个杯子里都有小棒。）师：均匀的放，在数学的语言上叫什么分？（生：平均分。）师：好了，那我们就以“4根小棒放入3个杯子”为例，来看一看它是怎么平均分的？（课件出示分的过程）哪位同学来说说是怎么分的？（生回答）设计意图：鼓励学生积极的自主探索，寻找不同的证明方法，在枚举法的基础上，学生意识到了要考虑最少的情况，从而引出假设法渗透平均分的思想。师：假设每个杯子放进1根小棒，还剩1根小棒怎么放？生：可以放进第一个杯子；可以放进任意一个杯子。师：对，（课件演示）不管怎么放，总有一个杯子至少放（引导学生说“2根”），这样我们就可以很快的找出至少，平均分确实很简便。师：你们能不能把刚才的平均分用算式表示出来？请写在记录单的横线上。（据生汇报板书：43=11）师：那至少2根，2是怎么来的呢？生：1+1=2。（师板书：1+1=2）师：1+1=2，这两个1的意思一样吗？生：前一个1表示每个杯子里放1根小棒，后一个1表示剩下的1根小棒。师：所以我们要加上剩下的1。那你们能不能把“5根小棒放入4个杯子”的过程也用算式表示出来？写在记录单上。生：54=11，1+1=2。设计意图在这一环节的教学中紧抓假设法最核心的思路就是用“有余数除法” 形式表示出来，使学生学生借助直观，能够很好的理解如果把物品尽量多地“平均分”给各个抽屉里，看每个抽屉里能分到多少个物品，余下的物品不管放到哪个抽屉里，总有一个抽屉里比平均分得的物品数多1。师：看来同学们已经会用有余数的方法来求至少数了。我们来回忆一下我们研究的过程。一开始，我们是先把每种放法都列举出来，然后在每种放法里面找出最多的，再从最多的里面找到最少的，从而发现至少数。而“用有余数的方法来求至少数”，这种方法在数学上叫做假设法（师板书），它里面蕴含着同学们所说的平均分。我们用有余数的算式把平均分的过程简明的表示出来了。现在同学们会用简便方法来求至少数了吗？（生：会。）5.师：还记得我们玩的“抢椅子”游戏吗？谁能用假设法解释：“6个人抢坐5把椅子，不管怎么坐，总有1把椅子上至少坐2个同学”？（师适当引导：谁是抽屉，谁又相当于要放的小棒？）生：5把椅子相当于抽屉，6个人相当于小棒，假设5把椅子上各坐了1个人，还剩1个人不管怎么坐，总有1把椅子上至少坐2人。可以用算式表达：65=11，1+1=2。师：如果把7根小棒任意放入6个杯子里呢？（生：总有1个杯子至少有2根小棒。）请用假设法解释“总有一个杯子至少有2根小棒”的结论。（师可引导学生说：假设剩下的小棒无论怎么放都保证至少）师要求同学继续说，不要停。师：停，你们累不累呀？还要一直说下去吗？能不能用一句话把它概括出来。（生回答）非常棒，你们知道吗，这就是抽屉原理最简单的一种形式：把n+1个物品放进n个抽屉里，如果每个抽屉各放1个物品，那么剩下1个物品，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有2个物品。三、丰满提炼模型。1师：以上研究都是物品数只比抽屉数多1的情况，如果物品数比抽屉数多2，多3等等的时候总有1个抽屉的至少数又是多少呢？你们知道吗，在其他国家是使用鸽笼来研究的，一起看：（课件出示：7只鸽子飞进5个鸽舍，至少有几只鸽子飞进同一个鸽笼？（生独立思考，自主探究，根据学生说理情况，进行课件操作演示。）问：余下2只鸽子应该怎么分？为什么？（生回答：虽然剩下的鸽子有2只，但是这两只鸽子要分别飞进不同的鸽舍才能保证至少的情况，所以结果也是至少有2只鸽子要飞进同一个鸽笼里。师进一步强调“至少”情况：这里鸽子数比鸽笼数多2，但是至少数是1+1=2，而不是1+2=3）问：用一个什么算式表示呢？生：75=121+1=2（师板书）师：刚才我们在不知不觉中把7只鸽子看成了什么？而把鸽笼又看成了什么？所以抽屉原理又被叫做“鸽笼原理”。如果把你们的文具盒看成是抽屉，那会不会创造出文具盒原理呢？（生：会）其实生活中抽屉原理是一种解决问题的“模型”。用这个模型解决问题时只要分清什么是待分物品，什么是抽屉就好了。2. 师：还记得“把100根小棒放进30个杯子里，总有一个杯子至少放几根小棒”这个问题吗？现在你能很快得出至少数了吗？（课件出示：把100根小棒放进30个杯子里，总有一个杯子至少放几根小棒？）生：假设每个杯子平均放3根小棒，还剩下10根小棒，不管怎么放，总有一个杯子至少放4根小棒。 10030=3103+1=4 设计意图在分析这类题的结构中提炼数学模型的精髓，解决一个问题的价值在于建立这样一种解决问题的模型而不在于这个问题本身，达到培养学生思维能力的目的。3.总结抽屉原理的一般形式。师：同学们，放进抽屉的物品既可以是小棒，也可以是人、鸽子（板书：物品）；而抽屉既可以是杯子，也可以是椅子、鸽笼（板书：抽屉）。把物品放进抽屉里，如果平均分后有剩余，无论余数是几，总有一个抽屉里至少数是（引导学生说“商+1”个）。师：（课件出示抽屉原理）如果用m表示物品数，n表示抽屉数，把m个物品放进n个抽屉里，如果mn=kc(c0),那么总有一个抽屉里至少有k+1个物品。这种原理统称为抽屉原理。四、应用扩展。1.课件出示：算命先生说：“5个人中至少有2个人在同一个季节出生的。” 问：这位算命先生算得准吗?为什么?（说明隐藏条件：四季） 这个问题可以用一个什么算式表示呢？ 生54=11 师问并板书：5表示什么？相当于什么？（5表示人数，相当于物品。） 4表示什么？相当于什么？（4表示季节，相当于抽屉。） 两个1分别表示什么？ 问：怎样得到至少几人在同一个季节出生?（生：假设其中4个人在春夏秋冬四个不同的季节出生，剩下的那个人不管是在哪个季节出生，都会出现“5个人中至少2人在同一季节出生”的情况。2.我们班有几位同学？我们班至少有4个人出生在同一个月份，这个结论对吗？ 生用假设法回答解释，然后可现场举手验证。3、小丽从书架上随意拿下了13份报纸，你知道至少有几份报纸是同一个月的吗？4.一盒围棋棋子,黑白子混放,我们任意摸出3个棋子,至少有2个棋子是同颜色的,为什么?5.任意13人中,至少有几个人的属相是相同的?想一想,五、课堂小结。1.话说抽屉：今天我们一起研究了“抽屉原理”，“抽屉原理”又称“鸽笼原理”，最先是由19世纪德国数学家狄利克雷提出的，所以又称“狄利克雷原理”。在应用抽屉原理解决问题时，首先是分清把什么当作“物品”，什么当作“抽屉”。在我国古代文献中，有不少成功地运用抽屉原理来分析问题的例子。例如宋代费衮的梁溪漫志中，就曾运用抽屉原理来批驳“算命”一类迷信活动的谬论,清代钱大昕的潜研堂文集、阮葵生的茶余客话、陈其元的庸闲斋笔记中都有类似的文字。然而，令人不无遗憾的是：我国学者虽然很早就会用抽屉原理来分析具体问题，但是在古代文献中并未发现关于抽屉原理的概括性文字，没有人将它抽象为一条普遍的原理。最后还不得不将这一原理冠以数百年后西方学者狄利克雷的名字。设计意图穿插介绍抽屉原理、鸽笼原理的