第4节　基本不等式.doc

第4节基本不等式【选题明细表】知识点、方法题号基本不等式的理解1,2利用基本不等式求最值3,4,5,8,11,12基本不等式的实际应用7,10基本不等式的综合应用6,9,13,14,15基础巩固(时间:30分钟)1.下列不等式一定成立的是(C)(A)lg(x2+14)lg x(x0)(B)sin x+1sinx2(xk,kZ)(C)x2+12|x|(xR)(D)1x2+10时,x2+142x12=x,A正确;sin x的正负不定,B不正确;选项C正确;当x=0时,有1x2+1=1,故选项D不正确.故选C.2.几何原本卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有如图所示图形,点F在半圆O上,点C在直径AB上,且OFAB,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为(D)(A)a+b2ab(a0,b0)(B)a2+b22ab(a0,b0)(C)2aba+bab(a0,b0)(D)a+b2a2+b22(a0,b0)解析:由AC=a,BC=b,可得圆O的半径r=a+b2,又OC=OB-BC=a+b2-b=a-b2,则FC2=OC2+OF2=(a-b)24+(a+b)24=a2+b22,再根据题图知FOFC,即a+b2a2+b22.故选D.3.(2017安徽马鞍山模拟)设x0,y0,且2x+y=6,则9x+3y有(D)(A)最大值27 (B)最小值27(C)最大值54 (D)最小值54解析:因为x0,y0,且2x+y=6,所以9x+3y29x3y=232x+y=236=54,当且仅当x=32,y=3时,9x+3y有最小值54.故选D.4.已知ab,且ab=1,则a2+b2a-b的最小值是(D)(A)3(B)2+2(C)2(D)22解析:由ab=1可得a2+b2a-b=a2+b2-2ab+2aba-b=a-b+2a-b2(a-b)2a-b=22.(当a-b=2时取等号).故选D.5.(2017江西省抚州市临川一中4月模拟)直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相切,则a+b+ab的最大值为(C)(A)1 (B)-1(C)2+12 (D)2+1解析:由直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相切,可知1a2+b2=1,即a2+b2=1,因为a+b2a2+b22=22,aba2+b22=12(当且仅当a=b时取等号),所以a+b+ab2+12.故选C.6.导学号 94626180(2017四川雅安三诊)对一切实数x,不等式x2+a|x|+10恒成立,则实数a的取值范围是(B)(A)(-,-2)(B)-2,+)(C)-2,2(D)0,+)解析:当x=0时,aR,当x0时,a-x2-1|x|=-|x|-1|x|,又-|x|-1|x|-2,当且仅当|x|=1时取得等号,故a-2.故选B.7.(2017江西五市八校第二次联考)中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,边长分别为a,b,c,三角形的面积S可由公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式,现有一个三角形的边长满足a+b=12,c=8,则此三角形面积的最大值为(B)(A)45 (B)85(C)415(D)815解析:由题意可得p=a+b+c2=10,p-c=2,三角形的面积:S=102(p-a)(p-b)20(p-a)+(p-b)22=2020-(a+b)22=85,当且仅当a=b=6时等号成立,此三角形面积的最大值为85.故选B.8.(2017安徽省淮南市二模)已知正数x,y满足x+2y-2xy=0,那么2x+y的最小值是.解析:由x+2y-2xy=0得1y+2x=2,所以(2x+y)=(2x+y)(1y+2x)12=52+xy+yx52+2=92(当x=y=32时取等号).答案:92能力提升(时间:15分钟)9.(2017河南平顶山一模)若对于任意的x0,不等式xx2+3x+1a恒成立,则实数a的取值范围为(A)(A)15,+)(B)(15,+)(C)(-,15)(D)(-,15解析:由x0,xx2+3x+1=1x+1x+3,令t=x+1x,则t2x1x=2,当且仅当x=1时,t取得最小值2,xx2+3x+1取得最大值15,所以对于任意的x0,不等式xx2+3x+1a恒成立,则a15.故选A.10. (2017山西三区八校二模)为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求ACB=60,BC的长度大于1米,且AC比AB长0.5米,为了稳固广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为(D)(A)(1+32)米(B)2米(C)(1+3)米(D)(2+3)米解析:由题意设BC=x(x1)米,AC=t(t0)米,依题设AB=AC-0.5=(t-0.5)米,在ABC中,由余弦定理得:AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 60,即(t-0.5)2=t2+x2-tx,化简并整理得t=x2-0.25x-1(x1),即t=x-1+0.75x-1+2,因x1,故t=x-1+0.75x-1+22+3(当且仅当x=1+32时取等号),此时t取最小值2+3.故选D.11.(2017福建南平一模)已知x,y都是非负实数,且x+y=2,则8(x+2)(y+4)的最小值为(B)(A)14(B)12(C)1(D)2解析:因为x,y都是非负实数,且x+y=2,所以x+2+y+4=8.所以82(x+2)(y+4),化为1(x+2)(y+4)116,当且仅当x=2,y=0时取等号.则8(x+2)(y+4)816=12.其最小值为12.故选B.12.已知x2+4xy-3=0,其中x0,yR,则x+y的最小值是.解析:由x2+4xy-3=0,得y=3-x24x,即有x+y=x+3-x24x=34(x+1x),因为x0,所以x+1x2,即x+y32,当且仅当x=1x,即x=1,y=12时,x+y取到最小值32.答案:3213.若两个正实数x,y满足1x+4y=1,且不等式x+y44,解之得m4或m0,所以t=xy=32是方程t2-2at-6=0的根,所以a=2.答案: