【立体设计】高考数学 第8章 第7节 抛物线知识研习课件 文 （福建版）.ppt

1 抛物线的定义平面内与一个定点f和一条定直线l的距离的点的轨迹叫做抛物线 点f叫做抛物线的 直线l叫做抛物线的 相等 焦点 准线 2 抛物线的标准方程 3 抛物线的简单几何性质 x 0 x 0 y 0 y 0 x轴 x轴 y轴 y轴 0 0 e 1 2p 答案 d 2 抛物线y2 8x的焦点到准线的距离是 a 1b 2c 4d 8解析 抛物线y2 8x的焦点 2 0 准线为x 2 所以焦点到准线的距离为4 答案 c 3 设a 0 a r 则抛物线y 4ax2的焦点坐标为 答案 c 4 抛物线y2 24ax a 0 上有一点m 它的横坐标是3 它到焦点f的距离是5 则抛物线的方程为 答案 y2 8x 1 抛物线只有一种定义形式 在定义中 焦点f不在直线l上 否则它将表示一条直线 2 抛物线没有中心 只有一个顶点 一个焦点 一条准线 一条对称轴且离心率e 1 所以与椭圆 双曲线相比 它有许多特殊性质 可以借助几何知识来解决 3 抛物线的标准方程有四种形式 要掌握抛物线的方程与图形的对应关系 将抛物线y2 2px关于y轴 直线x y 0与x y 0对称变换可以得到抛物线的其他三种形式 或者将抛物线y2 2px绕原点旋转 90 或180 也可得到抛物线的其他三种形式 这是它们的内在联系 4 求抛物线标准方程的方法 1 根据条件判断抛物线标准方程的类型 把握顶点 对称轴 开口方向与方程式的对应关系 2 抛物线的标准方程 焦点坐标 准线方程三者相依并存 知道其中一个 就可求其他两个 即时巩固详解为教师用书独有 考点一抛物线定义的应用 案例1 已知抛物线y2 2x的焦点是f 点p是抛物线上的动点 又有点a 3 2 求 pa pf 的最小值 并求出取最小值时p点的坐标 解 由定义知 抛物线上点p到焦点f的距离等于点p到准线l的距离d 由图可知 求 pa pf 的问题可转化为求 pa d的问题 即时巩固1 设p是抛物线y2 4x上的一个动点 1 求点p到点a 1 1 的距离与点p到直线x 1的距离之和的最小值 2 若b 3 2 点f是抛物线的焦点 求 pb pf 的最小值 2 如图所示 过b作bq垂直准线于q 交抛物线于p 连结pf bf 此时 pq pf 那么 pb pf pb pq bq 4 即最小值为4 考点二求抛物线的标准方程 案例2 2011届 深圳高中月考 已知抛物线的顶点在原点 焦点在y轴上 且抛物线上一点 3 m 到焦点的距离为5 求抛物线的方程 关键提示 应分焦点在y轴正半轴 负半轴两种情况 考虑利用抛物线的定义 结合待定系数法求抛物线方程 即时巩固2 已知直线l过抛物线y2 2px p 0 的焦点 且与抛物线交于a b两点 若线段ab的长是8 ab的中点到y轴的距离是2 求抛物线的方程 考点三抛物线的几何性质 案例3 如图 ab是过抛物线y2 2px p 0 焦点f的弦 m是ab的中点 l是抛物线的准线 mn l n为垂足 求证 1 an bn 2 fn ab 3 若mn交抛物线于q 则q平分mn 证明 1 作ac l bd l 垂足分别为c d 在直角梯形abdc中 因为 af ac bf bd 2 因为 am nm 所以 man mna 因为ac nm 所以 can mna 所以 man can 在 acn和 afn中 an an ac af 且 can fan 所以 acn afn 所以 nfa nca 90 即fn ab 3 在rt mfn中 连结qf 由抛物线的定义及 2 的结论得 qn qf qnf qfn 且 qfn 90 qfm qmf 90 qnf 所以 qfm qmf 所以qf qm 所以 qn qm 即q平分mn 将其与y2 2px联立 消去x 得 ky2 2py kp2 0 k 0 设a x1 y1 b x2 y2 则y1 y2 p2 点评 1 本例主要考查利用抛物线方程和平面几何性质得出有关抛物线焦点弦问题的一些结论 各题证明都可用抛物线的定义结合平面几何知识来证明 对 4 也可用代数方法完成 由抛物线的焦点弦 准线以及根据定义所作的弦端点到准线的垂线段构成的直角梯形 有很多有趣的结论 借助抛物线的定义及平面几何知识可以一一证明 对于与焦点弦有关的抛物线几何性质的证明 一般用几何法证明比用代数法证明更简单 所以对于一些解析几何问题 可以灵活运用平面几何性质并辅助代数运算进行 这就使我们的解析几何问题有了 双翼 解决问题思路将更开阔 2 抛物线的几何性质 只要与椭圆 双曲线加以对照 很容易把握 但因为抛物线的离心率等于1 所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质 而且应用广泛 例如 即时巩固3 过抛物线y 4x2的焦点作直线交抛物线于a x1 y1 b x2 y2 两点 若y1 y2 5 则 ab 考点四抛物线几何性质的应用 案例4 一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成 尺寸如图 单位 m 一辆卡车空车时能通过此隧道 现载一集装箱 箱宽3m 车与箱共高4 5m 此车能否通过隧道 并说明理由 关键提示 先依题意建立坐标系 求出抛物线的方程 将实际问题转化为抛物线的相关问题来解决 解 如图 建立坐标系 则a 3 3 b 3 3 设抛物线方程为x2 2py p 0 即时巩固4 如图 一水渠的横断面是抛物线形 o是抛物线的顶点 上口宽ef 4米 高3米 1 建立适当的直角坐标系 求抛物线的方程