初探中学生数学解题能力的培养

初探中学生数学解题能力的培养海南省琼海市加积中学分校 符海妹在教学中，要提高学生的解题能力，除了抓好基础知识、基本能力的学习与培养外，更重要的培养途径就是解题实践，下面围绕解题的一般程序，讨论如何培养学生的解题能力。一、养成仔细、认真审题的习惯仔细、认真地审题是解题的前提。因为审题为探索解题途径提供方向，为选择解法提供思路。审题的基本要求是：（1）全面了解题目的文字叙述，理解全部条件和结论，画出必要的准确图形或示意图；（2）整体考虑题目，挖掘条件内涵和相互联系，必要时，要对条件或结论进行化简或转化，以利于解法的探索；（3）挖掘隐蔽条件；（4）判明题型，预见解题的策略。例1、如图，在ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，M、N分别是DE、BC的中点，求证：MNDE。分析：本题可利用添置的两条辅助线EN、DN把题中隐含的直角三角形斜边上中线转化为直接条件EN=DN=BC。证明：分别连结DN、EN，N是BC的中点，CEAB，DBAC，EN是RtBEC斜边BC上的中线，EN=BC（直角三角形斜边上中线的性质）.同理，DN=BC，EN=DN（等量代换），又M是ED的中点（已知），MNDE（等腰三角形底边上的中线就是底边上的高线）。例2、在实数范围内解方程： 。审查题意就要从题目的特征含有绝对值和算术根符号中，发现隐含条件：1-x0， 即x1。有了这一条件，就可以将原方程转化为：，这样问题就不难解决了。由此可见，要提高解题能力，就要在平时教学中有意识地培养学生具有认真审题的习惯。二、掌握常用的解题思想方法数学题目繁多，内容变化万千，常令许多学生解题不知从何入手，在解题中，我们必须教会学生常用的几种解题方法。下面通过举例，介绍中学数学常用的几种解题思想方法：例3：试比较3x-1与5-2x的大小。解：3x-1-（5-2x）=3x-1-5+2x=5x-6当5x-6=0，即x=时，3x1=52x当5x-60，即x时，3x152x当5x-6”，“ ， ， ，=。一般结论是：如果 a，b是两个实数，则有a2+b22ab。（a-b）20, a2-2ab+b20,a2+b22ab。此题是“探索型”例题，虽重在探索，难在探索，但却有其规律可寻，解例4类题目，常常是先考虑特殊情况，由特殊情况的结果，猜想出一般情况的结果。这里用了归纳推理的方法和化归思想方法。例5：已知直角三角形的面积为504，勾股之差为47，求弦长。分析：设直角三角形的两直角边分别为x和y(xy)，则本题的求解目标是。 xy=47由已知列出方程组 xy=504若解这个方程组分别求出x、y的值，再代入求值是比较复杂的。我们可以从整体分析，无需求出x、y的值，直接根据已知条件，求出的值。解：设直角三角形的两直角边分别为x和y（xy）。由已知得：xy=47xy=504所以=65所以，弦长为65。此例包含着整体思想和化归思想方法。例6：如图，已知ABC中，ACD=90，AC=BC，P是ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求BPC的度数。分析：由于直接计算BPC比较困难，所以考虑把BPC分割成特殊角，如通过作CEPC，取CE=CP，取得CPE=45，问题就转化到PEB中，通过计算三边，判断是否为Rt。易得PE2=8，PB=1，那么BE呢？考虑PA的作用。解：过C作CECP，并截取CE=CP=2，连结BE、PE，则BCE+PCB=PCA+PCB=90， BCE=PCA。又CE=CP，BC=AC，CBECAP（S.A.S）。BE=PA=3在RtCPE中，CPE=45,且PE2=PC2+EC2=8。在PBE中，PB2+PE2=BE2,EPB=90，BPC=90+45=135。本题分角的策略是常用策略，但分出什么特殊角，这就需要经过一番探索，常常分出30、45、60等角。三、理顺解题思路，严格规范解题过程怎样把数学问题解答过程严谨地叙述出来？这对学生来说不是件容易的事，这有着较高的能力要求。总的来说，叙述要正确、合理、严密、简洁。把运算、推理、作图与所得正确无误地加以叙述，是解题的一项基本要求。叙述要合理、对列式、计算、推理、作图都要有充分的理由，遵循严格的思维规律，做到言必有据，理由充足，合乎逻辑性。严密就是周密地考虑问题中的全部内容，不能遗漏，也不能重复。一般来说，各种形式的数学习题都有一定的解答格式，无论哪种格式，叙述都应层次分明，条理清楚，表述规范。这样做，可以培养和提高学生逻辑思维能力和表达能力，同时，也有助于学生解题能力的提高。四、回顾与探讨解题过程，加强解后反思解数学题绝不能解一题丢一题，这样无助于解题能力提高。解题后的反思是提高解题能力的一种重要途径。1、善于进行总结解题后可以从解题方法、解题规律、解题策略等多方面进行多角度、多侧面总结，这样才能举一反三、触类旁通，提高解题能力。例7：等腰三角形腰上的高与腰之比为 ，求此等腰三角形的底角。错解：如图BD为等腰ABC腰上的高，由 ， SinA= ,A=45。等腰ABC的底角为67.5。 总结教训， 提高辨析错误的能力，也是提高解题能力的有效方法。本例构图过程中，应对等腰三角形是锐角三角形还是钝角三角形进行分类讨论，这里仅考虑了顶角是锐角的情形导致了漏解，当顶角A是钝角时，由 ，得SinA= ,A=135。 等腰ABC中的底角为22.5。本题的正确答案为67.5。或22.5。2、注意一题多变与一题多解解完一道题后，教师要善于把它“改头换面”，变成多个与原题内容或形式不同但解题类似或相似的题目，这样可以扩大视野，深化知识，从而提高解题能力。例8：如图，梯形ABCD中，ABCD，AE、DE分别为DAB、CDA的平分线，求证：AED=90。.变式1：如图，梯形ABCD中，ABDC，AB+DC=AD，E为BC的中点，求证：AED=90。 变式2：如图，梯形ABCD中，ABCD，B=C=90。，CE=DE， 求证：AED=90。本例是通过结论不变，改变题设来加强思维的训练。通常改变条件或改变结论，或条件和结论互换等，都是一题多变的好形式。例9 求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高，如图，已知ABC中，AB=AC，D为BC上任意一点，DEAB，DFAC，F、E分别垂足，BG为AC边上的高，求证：DE+DF=BG。分析：本例为三条线段的和差问题，学生对此类问题习惯将三条线段化归为两条线段而用“截长补短法”，如果教师善于将学生从定向思维中解脱出来，培养学生从多角度、多方面分析问题的习惯.本题可有如下几种新思路和新解法。（1）面积法：连AD，由SABC=SABDSACD得BGAC=DEAB+DFAC，因为AB=AC，所以，BG=DE+DF。（2）利用相似三角形的知识，易证BEDCFDCGB，得=，=，所以=1，即DE+DF=BG。（3）利用解直角三角形知识，由题设易知，DE=BDsinABC，DF=DCsinC，又ABC=C，所以DE+DF=BDsinABC+DCsinC=（BD+DC）sinC=BG。同一道题，同样的条件，可以考虑多种不同的解法.强调一题多解，有利于提高学生综合运用数学知识解题的能力。总之，学生解题能力的提高是一个潜移默化的过程，是