数学人教版九年级上册一元二次方程的解法复习.doc

第二十一章 一元二次方程一、内容和内容解析1、内容 复习一元二次方程的解法，通过比较不同解法，体会如何根据方程特点选择适当的解法。同时对解方程的思想方法进行归纳整理，从而建立初中阶段解方程的知识结构。2、内容解析一元二次方程是中学数学的主要内容，是学生在学习了一元一次方程、二元一次方程组以及分式方程之后，初中阶段最后一个学习的方程，它在初中的代数中占有重要的地位。本节课属于阶段性复习课，是在学生学习了一元二次方程解法的基础上，由于对直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法都只是初步了解，解方程的基本技能还需进一步提高，灵活选择合适的方法更为重要，因此，选择适当的方法将“二次”降为“一次”，从而简洁有效的解一元二次方程，是本节课的主线，这同时也是本章的主线。一元二次方程是本套初中教学教科书所学习的最后一种方程，所以，对解方程的知识进行系统梳理和重新建构，也有对初中阶段方程学习的总结作用。基于以上分析，确定本节课的教学重点是：根据一元二次方程的特点选择恰当的解法解一元二次方程。二、目标和目标解析1、目标（1）进一步掌握直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的步骤。（2）会根据不同的方程特点选择不同的解法，提高灵活运用知识的能力。（3）通过各种解法的本质联系，形成有关方程的知识体系，体会降次、化归的思想方法。2、目标解析达成目标（1）的标志：能够说出直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的步骤和依据，能够熟练并且准确的写出解题过程和结果。达成目标（2）的标志：能够探索总结出各种一元二次方程的特点，并能根据不同方程的特点选择恰当解法。达成目标（3）的标志：深入思考几种解法之间的联系，对比之前学习过的一元一次方程、二元一次方程组、分式方程的解法，总结解题思想和化归过程，理解解方程的基本思想是通过消元、降次、分式化整式等，使方程转化为x=a的形式。3、 教学问题诊断分析我校学生学习习惯较好，自主探究能力较强，教师平时也比较重视语言表达能力的培养。所以本节课不仅仅是对一元二次方程的解法进行复习，还要联系学生在初中阶段学习的各种方程，让学生在本节课对整个初中阶段解方程的知识进行系统梳理和重新建构，这就需要建立不同知识间的内在联系，对解方程的思想方法进行归纳整理，还需要学生有较强的系统思维能力，因此，这就成为本节课的一个难点。针对不同方程特点，选用不同的解法，简洁有效地解出方程，这也是本节课的另一个难点。4、 教学过程设计（一）课前热身 解法回顾 解一元二次方程 师生活动：教师课前出示问题，要求学生用已学的尽可能多的解法解该方程，学生独立完成该题，该环节由于会出现不同的解法，此时就会出现质量和速度上的差异，此时，教师可在不同时间询问学生完成情况？引起学生对解题速度的关注。（二）知识梳理 温故知新教师：前面我们学习了一元二次方程的概念和解法，一元二次方程是初中阶段我们学习的最后一个方程，它占据着非常重要的地位，今天，我们就重点复习一下一元二次方程的解法。回顾课前热身：教师提问：对于本方程你能给出哪些解法？教师追问：:你认为本方程最适合哪种解法？师生活动：一生回答，其他学生可发表自己的不同意见。教师不给出明确评价，为后文埋下伏笔。设计意图：从一道解一元二次方程的题入手，既让学生对一元二次方程的四种方法进行巩固练习，同时通过在做题质量和速度上的比较，初步体会灵活选择解题方法的重要性，教师的追问2，必将得到学生不同的答案，引发学生的讨论，这个环节不应过长，教师也不必给出明确的评价，这样就为本节课的学习埋下伏笔，带着疑问，从而引入本节复习课的学习目标： （1）进一步掌握直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的步骤。（2）会根据不同的方程特点选择不同的解法，提高灵活运用知识的能力。（3）通过各种解法的本质联系，形成有关方程的知识体系，体会降次、化归的思想方法。同教师追问3：同学们来说说一元二次方程有哪些解法？下面我们将逐一进行复习。说明：学生基本都能够回答出直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种方法。（三）理解应用 归纳总结问题1：运用合适的解法解下列方程 教师提示：注意审题“选择合适的方法”教师提问：你选择的哪种解法解这四个方程？教师追问1：你能简述解题步骤吗？教师追问2：观察这四个方程具备何种特征？师生活动：学生思考、解答，一学生用投影展示，其他学生点评。简述步骤之后，教师引导学生归纳总结：当方程满足左边是一个数的完全平方，或易于变形为一个数的完全平方的形式，方程右边是一个非负常数，这样的一元二次方程就可以运用直接开平方法解答。设计意图：该组练习教师带领学生复习直接开平法解方程的步骤：方程左右两边开平方，从而将一个一元二次方程转化成两个一元一次方程，再解一元一次方程。这个环节让学生感受解方程中将二次降成一次的解题策略，以及存在的化归转化思想。另一方面，教师通过两个追问，密铺台阶，让学生易于发现结论：当方程满足何种特征时，可以选择直开法解答。问题:2：运用合适的解法解下列方程 教师问题：观察这个方程，还符合直接开平方法的特征码？你想用哪种解法解答？师生活动：学生完成解方程，一学生板演，其他学生点评，师生共同复习配方法的一般步骤。变式：教师追问1：观察变式，若方程左边有常数项，怎么用配方法解答？变式：教师追问2：观察变式，若二次项系数不为1，还能用配方法解答吗？【注意】：大部分同学都会想到用配方法来解方程，也可能有部分学生会想到运用公式法，此时教师可顺势说出公式法中的求根公式也是由配方法推导得到的，所以运用配方法和公式法都能够解答该方程！若学生没有提出公式法，教师可在问题4中继续引导学生探究。教师追问3：你能概括对于一般形式的一元二次方程，运用配方法的一般解题步骤吗？教师追问4：思考当方程具备何种特征时？我们选择配方法。设计意图：该组练习主要复习运用配方法解一元二次方程。通过追问1、2、3，学生对配方法解方程的步骤进行了复习巩固，也感受到了配方法与直接开平方法之间的联系。两个变式练习，让学生又一次感受数学中的化归转化思想。通过追问4，学生会发现对于二次项系数为1，一次项系数是偶数，这样的一元二次方程就比较适合运用配方法解答。师生活动：师生共同归纳总结，所有一元二次方程都可以运用配方法解答，也就是说配方法是解方程中的万能公式。问题:3：你能用其他方法来解答方程吗？写出你的解答过程？师生活动：学生解答，一学生用投影展示，其他学生点评，并简述公式法解方程的一般步骤。设计意图：学生必然会想到公式法，这个环节可因问题2学生的回答随时调整。若问题2学生没有提出公式法，在这个环节教师再和学生共同分析配方法和公式法的联系，同时师生共同发现公式法也是解一元二次方程的万能公式。若已经提过，可直接复习公式法的解题步骤即可。公式法中也蕴含着降次的解题策略。问题4：运用合适的解法解下列方程 教师追问1：观察这三个方程，可不可以用配方法和公式法解答？教师追问2：配方法和公式法虽是万能公式，但解题步骤和计算量都较大，你能想到更为简便的解答方法吗？教师追问3：因式分解法显然只对于特殊形式的方程适用，你能说出因式分解法适用于哪些形式的方程吗？师生活动：学生思考，回答，然后解答。配方法适用于一边为0，另一边可以进行因式分解的一元二次方程。一学生用投影展示，并说出因式分解法解方程的一般步骤，其他学生点评。最后，师生共同回忆因式分解常见的方法：提公因式法、公式法（平方差公式和完全平方公式）、十字相乘法。设计意图：学生会想到因式分解法，并且通过思考、比较，可以发现选择因式分解法，这种方法更为简便。这个环节同时也带领学生进一步巩固和复习运用因式分解法解一元二次方程的一般步骤，因式分解法更加体现了降次的解题策略，以及化归转化的数学思想。师生归纳总结：通过以上探究活动，我们下次在解方程的时候，应该先观察方程，根据方程的特征选择合适的方法来解答。对于同一个方程，每个同学选择的解法也不一定完全相同，只要简便就达到了目的。也正因为如此才会出现上课之初同学们对这个方程有不同的看法。整体设计意图：问题2到问题4的探究，是本节课的重点，也是学生学习中的难点。一方面，对各种解法进行了进一步的巩固练习，学生今后应用起来会更加灵活。对各种解法的一般步骤进行总结归纳，培养了学生的语言表达能力，有不断的积累解题经验的意识。另一方面，通过探究比较能够清楚的了解如何根据不同的方程特征，选择更为合适的解法，从而达到能够简洁有效的解方程的目的。这样的探究活动帮助学生较容易的突破了学习的难点。最后一句话，也解决了学生在课前热身环节对这个方程出现的争议，整节课也做到了前后呼应。（4） 知识拓展 能力提升问题5：运用合适的解法解方程 师生活动：学生解答，小组讨论，一学生用投影展示，其他学生点评。设计意图：“整体”和“换元”思想在解方程时经常出现，同时也是一个难点，所以，安排在复习阶段作为一个能力提升，对学生来说既是一个知识的递进升华，同时也激发了学生的探索欲。方程（2）作为对比，让学生不要看到括号就认为一一定要运用整体思想。即：当方程中有括号时，应首先用“整体思想”考虑有没有简便方法，若没有，则去括号，转化为一般形式进行解答。（5） 归纳总结 形成体系思考：一元二次方程的四种解法在基本思想、基本解题策略上有何共同特点？师生活动：小组内讨论、交流、展示。教师评价、反馈，师生归纳总结：解方程的过程就是通过不断地变形，把一个一元二次方程运用降次的基本解题策略，转化成与之等价的两个一元一次方程，从而求出方程的解。“化归转化”这一数学思想是解方程过程中思维活动的主导思想，是本章的精髓之一。教师追问1：我们原来还学习过哪些方程？教师追问2：在解方程过程中都运用了何种思想和方法？师生活动：生独立思考、回答，师总结。师生共同列出知识网 二元一次方程 消元 整式方程 一元一次方程 去 降次 分 一元二次方程 母 分式方程设计意图：学生在初中阶段学习了各种方程的解法，该环节对解方程的知识进行了系统梳理和重新建构，让学生深入体会知识间的内在联系，总结各种已学方程的解题思想和划归过程，形成有关方程的知识体系，理解解方程的基本思想是通过消元、降次、分式化整式等，使方程转化为x=a的形式。（六）反思总结 积累经验知识与能力数学活动经验数学思想方法谈谈你在本节课的收获？师生活动：个别学生单独回答，其他同学补充，教师引导、点评设计意图：教师与学生共同反思，加深对所学内容的理解，知识性的小结，可把课堂教学传授的知识，尽快转化为学生的素质，本章的重点就是根据一元二次方程的特点选择恰当的解法解一元二次方程，让学生重视对基本活动经验的总结与积累，可使学生的综合能力得到提高。关于方程知识的总结归纳通过图示的形式帮学生进行梳理，让学生掌握消元、降次、分式化整式等数学思想方法，从而建立初中阶段解方程的知识结构。同时，化归转化思想是非常重要的一种数学思想，（七）达标测评 查漏补缺1、口答：为下列方程选择合适的解法 2、选择适当的方法解下列方程 设计意图：及时的进行测试，检验学生本节课的收获，教师能够第一时间掌握学生的课堂反馈信息，可以随时的调整教学进度，及时的对有问题的学生给予个别指导。该环节设计