2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题一第一讲 集合与简易逻辑.docx

教学资料范本2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题一第一讲 集合与简易逻辑编 辑：_时 间：_推理与证明、不等式及线性规划第一讲集合与常用逻辑用语高考考点考点解读集合的概念及运算1.以函数的定义域、值域、不等式的解集为背景考查集合的交、并、补的基本运算2利用集合之间的关系求解参数的值或取值范围3以新定义集合及集合的运算为背景考查集合关系及运算命题及逻辑联结词1.命题的四种形式及命题的真假判断2复合命题的真假判断.常与函数、三角、解析几何、不等式相结合考查充要条件的判断1.充要性的判定多与函数、不等式、三角、直线间关系、平面向量等易混易错的概念、性质相结合考查2利用充要性求参数值或取值范围备考策略本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1)紧紧抓住集合的代表元素的实际意义.掌握集合问题的常见解法.活用数学思想解决问题(2)明确命题的条件和结论之间的关系.关注逻辑联结词和命题.明确命题的否定和否命题的区别(3)掌握必要条件、充分条件与充要条件的概念及应用预测2020年命题热点为：(1)集合的基本性质以及集合之间的基本关系与运算.与不等式的解集、函数的定义域、值域、方程的解集等知识结合在一起考查(2)与函数、数列、三角函数、不等式、立体几何、解析几何、概率统计等知识结合在一起考查Z 1集合的概念、关系及运算(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.(2)集合与集合之间的关系：AB.BCAC(3)空集是任何集合的子集.(4)含有n个元素的集合的子集有2n个.真子集有2n1个.非空真子集有2n2个(5)重要结论：ABAAB.ABABA.2充要条件设集合Ax|x满足条件p.Bx|x满中条件q.则有从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分不必要条件(pq.q/ p)ABp是q的必要不充分条件(qp.p/ q)BAp是q的充要条件(pq)ABp是q的既不充分也不必要条件(p/ q.q/ p)A与B互不包含3.简单的逻辑联结词(1)命题pq.只要p.q有一真.即为真；命题pq.只有p.q均为真.才为真；綈p和p为真假对立的命题(2)命题pq的否定是(綈p)(綈q)；命题pq的否定是(綈p)(綈q)4全(特)称命题及其否定(1)全称命题p：xM.p(x)它的否定綈p：x0M.綈p(x0).(2)特称命题p：x0M.p(x)它的否定綈p：xM.綈p(x).,Y 1忽略集合元素互异性：在求解与集合有关的参数问题时.一定要注意集合元素的互异性.否则容易产生增根2忽略空集：空集是任何集合的子集.是任何非空集合的真子集.在分类讨论时要注意“空集优先”的原则3混淆命题的否定与否命题：在求解命题的否定与否命题时.一定要注意命题的否定是只对命题的结论进行否定.而否命题既对命题的条件进行否定.又对命题的结论进行否定.1(文)(20xx全国卷.1)已知集合A0,2.B2.1,0,1,2.则AB( A )A0,2B1,2C0 D2.1,0,1,2解析AB0,22.1,0,1,20,2故选A(理)(20xx全国卷.2)已知集合Ax|x2x20.则RA( B )Ax|1x2Bx|1x2Cx|x2Dx|x1x|x2解析 x2x20. (x2)(x1)0. x2或x2或x8”是“|x|2”的( A )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析由x38x2|x|2.反之不成立.故“x38”是“|x|2”的充分不必要条件故选A(理)(20xx天津卷.4)设xR.则“”是“x31”的( A )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析由“”得0x1.则0x31.即“”“x31”；由“x31”得x1.当x0时.即“x31”/“”所以“”是“x31”的充分而不必要条件故选A4(20xx浙江卷.6)已知平面.直线m.n满足m.n.则“mn”是“m”的( A )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析 若m.n.且mn.则一定有m.但若m.n.且m.则m与n有可能异面. “mn”是“m”的充分不必要条件故选A5(文)(20xx北京卷.4)设a.b.c.d是非零实数.则“adbc”是“a.b.c.d成等比数列”的( B )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析a.b.c.d是非零实数.若a0.d0.b0.c0.且adbc.则a.b.c.d不成等比数列(可以假设a2.d3.b2.c3)若a.b.c.d成等比数列.则由等比数列的性质可知adbc.所以“adbc”是“a.b.c.d成等比数列”的必要而不充分条件故选B(理)(20xx北京卷.6)设a.b均为单位向量.则“|a3b|3ab|”是“ab”的( C )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析由|a3b|3ab|.得(a3b)2(3ab)2.即a29b26ab9a2b26ab.又a.b均为单位向量.所以a2b21.所以ab0.能推出ab.由ab得|a3b|.|3ab|.能推出|a3b|3ab|.所以“|a3b|3ab|”是“ab”的充分必要条件故选C6(文)(20xx全国卷.1)已知集合Ax|x0.则( A )AABx|xBABCABx|x0.得x.Bx|x.ABx|x2x|xx|x.故选A(理)(20xx全国卷.1)已知集合Ax|x1.Bx|3x1.则( A )AABx|x1 DAB解析由3x1.得x0.Bx|3x1x|x0ABx|x1x|x0x|x0.故选A7(20xx全国卷.2)设集合A1,2,4.Bx|x24xm0.若AB1.则B( C )A1.3B1,0C1,3D1,5解析AB1.1B.1是方程x24xm0的根.14m0.m3.由x24x30.得x11.x23.B1,38(文)(20xx山东卷.5)已知命题p：xR.x2x10；命题q：若a2b2.则ab.下列命题为真命题的是( B )Apq Bp(綈q)C(綈p)q D(綈p)(綈q)解析一元二次方程x2x10的判别式(1)24110恒成立.p为真命题.綈p为假命题当a1.b2时.(1)22.q为假命题.綈q为真命题根据真值表可知p(綈q)为真命题.pq.(綈p)q.(綈p)(綈q)为假命题故选B(理)(20xx山东卷.3)已知命题p：x0.ln(x1)0；命题q：若ab.则a2b2.下列命题为真命题的是( B )Apq Bp(綈q)C(綈p)q D(綈p)(綈q)解析x0.x11.ln(x1)ln 10.命题p为真命题.綈p为假命题ab.取a1.b2.而121.(2)24.此时a2b2.命题q为假命题.綈q为真命题pq为假命题.p(綈q)为真命题.(綈p)q为假命题.(綈p)(綈q)为假命题故选B 例1 (1)(文)设集合Mx|x2x60.Nx|1x3.则MN( A )A1,2)B1,2C(2,3 D2,3解析Mx|3x2.Nx|1x3.MNx|1x2.Bx|x2m.且ARB.那么m的值可以是( A )A1 B2C3 D4解析Bx|x2m.RBx|x2m.又ARB.有2m2.即m1.由选项可知选A(2)(文)已知集合A1,2,3,4.B2,4,6,8.则AB中元素的个数为( B )A1 B2C3 D4解析AB1,2,3,42,4,6,82,4.AB中共有2个元素.故选B(理)已知集合A(x.y)|x2y21.B(x.y)|yx.则AB中元素的个数为( B )A3 B2C1 D0解析集合A表示以原点O为圆心.半径为1的圆上的所有点的集合.集合B表示直线yx上的所有点的集合结合图形可知.直线与圆有两个交点.所以AB中元素的个数为2.故选B(3)已知集合A(x.y)|x2y21.x.yZ.B(x.y)|x|2.|y|2.x.yZ.定义集合AB(x1x2.y1y2)|(x1.y1)A.(x2.y2)B.则AB中元素的个数为( C )A77 B49C45 D30解析由题得A(1,0).(0,0).(1,0).(0,1).(0.1).如下图所示：因为B(x.y)|x|2.|y|2.x.yZ.由AB的定义可得.AB相当于将A集合中各点上下平移或左右平移0,1,2个单位.如下图所示：所以AB中的元素个数为77445.故选C规律总结(1)对于集合问题.抓住元素的特征是求解的关键.要注意集合中元素的三个特征的应用.要注意检验结果(2)对集合的新定义问题.要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征.将问题转化为熟悉的知识进行求解.也可利用特殊值法进行验证G 1(文)设集合Ax|2x2.Z为整数集.则集合AZ中元素的个数是( C )A3B4C5D6解析由集合Ax|2x2.易知AZ2.1,0,1,2.故选C(理)设集合Mx|2x1.故MRNx|1x3故选D2(文)已知集合UR.Ax|x1.Bx|x2.则集合U(AB)( A )Ax|1x2 Bx|1x2Cx|x2 Dx|x1解析ABx|x1x|x2x|x1或x2.所以U(AB)x|1x2(理)已知集合A2.1,0,1,2.Bx|(x1)(x2)0.则AB( A )A1,0 B0,1C1,0,1 D0,1,2解析由题意知Bx|2x1.所以AB1,0.故选A3(文)已知Ma|a|2.Aa|(a2)(a23)0.aM.则集合A的子集共有( B )A1个 B2个C4个 D8个解析|a|2a2或a2.又aM.(a2)(a23)0a2或a(舍).即A中只有一个元素2.故A的子集只有2个(理)已知集合Ax|x23x2.则( D )AAB BBACARBR DAB解析因为x23x20.所以1xlog42.所以x2.所以AB. 例2 (1)原命题为“若z1.z2互为共轭复数.则|z1|z2|”.关于其逆命题.否命题.逆否命题真假性的判断依次如下.正确的是( B )A真.假.真B假.假.真C真.真.假 D假.假.假解析若z1abi.则z2abi.|z1|z2|.故原命题正确、逆否命题正确其逆命题为：若|z1|z2|.则z1.z2互为共轭复数.若z1abi.z2abi.则|z1|z2|.而z1.z2不为共轭复数逆命题为假.否命题也为假(2)已知命题p：xR.使sinx；命题q：xR.都有x2x10.给出下列结论：命题“pq”是真命题；命题“p(綈q)”是假命题；命题“(綈p)q”是真命题；命题“(綈p)(綈q)”是假命题其中正确的结论是( A )A BC D解析1.命题p是假命题x2x1(x)20.命题q是真命题.由真值表可以判断“pq”为假.“p(綈q)”为假.“(綈p)q”为真.“(綈p)(綈q)”为真.所以只有正确.故选A规律总结(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别(2)四种命题真假的判断依据：一个命题和它的逆否命题同真假.而与它的其他两个命题的真假无关(3)形如pq.pq.綈p命题的真假根据真值表判定(4)全称命题与特称(存在性)命题真假的判定：全称命题：要判定一个全称命题为真命题.必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立.要判定其为假命题时.只需举出一个反例即可；特称(存在性)命题：要判定一个特称(存在性)命题为真命题.只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0.使得p(x0)成立即可.否则.这一特称(存在性)命题就是假命题G 1设a.b.c是非零向量已知命题p：若ab0.bc0.则ac0；命题q：若ab.bc.则ac.则下列命题中真命题是( A )ApqBpqC(綈p)(綈q) Dp(綈q)解析由题意知命题p为假命题.命题q为真命题.所以pq为真命题故选A2以下四个命题中.真命题的个数是( C )“若ab2.则a.b中至少有一个不小于1”的逆命题；存在正实数a.b.使得lg(ab)lgalgb；“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”；在ABC中.AB是sinAsinB的充分不必要条件A0 B1C2 D3解析对于.原命题的逆命题为：若a.b中至少有一个不小于1.则ab2.而a2.b2满足a.b中至少有一个不小于1.但此时ab0.故是假命题；对于.根据对数的运算性质.知当ab2时.lg(ab)lgalgb.故是真命题；对于.易知“所有奇数都是素数”的否定就是“至少有一个奇数不是素数”.故是真命题；对于.根据题意.结合边角的转换.以及正弦定理.可知ABab(a.b为角A.B所对的边)2RsinA2RsinB(R为ABC外接圆的半径)sinAsinB.故AB是sinAsinB的充要条件.故是假命题.选C3(20xx北京卷.1)已知集合Ax|x|2.B2,0,1,2.则AB( A )A0,1 B1,0,1C2,0,1,2 D1,0,1,2解析 Ax|x|2x|2x2. AB0,1故选A 例3 (1)设R.则“|”是“sin”的( A )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析|.即0.显然0时.sin成立但sin时.由周期函数的性质知0不一定成立故0是sin的充分而不必要条件故选A(2)若p是q的充分不必要条件.则下列判断正确的是( C )A綈p是q的必要不充分条件B綈q是p的必要不充分条件C綈p是綈q的必要不充分条件D綈q是綈p的必要不充分条件解析由p是q的充分不必要条件可知pq.q / p.由互为逆否命题的两命题等价可得綈q綈p.綈p / 綈q.綈p是綈q的必要不充分条件.故选C(3)设an是首项为正数的等比数列.公比为q.则“q0”是“对任意的正整数n.a2n1a2n0”的( C )A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件解析设数列的首项为a1.则a2n1a2na1q2n2a1q2n1a1q2n2(1q)0.即q1.故q0是qk”是“1”的充分不必要条件.则k的取值范围是( A )A2.) B1.)C(2.) D(.1解析由1.可得10.所以x2.因为“xk”是“1”的充分不必要条件.所以k2.规律总结1判定充分条件与必要条件的3种方法(1)定义法：正、反方向推.若pq.则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若pq.且q/ p.则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)(2)集合法：利用集合间的包含关系例如.若AB.则A是B的充分条件(B是A的必要条件)：若AB.则是B的充要条件(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题2提醒：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A.且A不能推出B.而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B.且B不能推出AG 1(文)(20xx娄底二模)“a1”是“直线axy30的倾斜角大于”的( A )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析设直线axy30的倾斜角为.则tana.若a1.或a0即a0.(理)“a21”是“函数f(x)lg(a)为奇函数”的( B )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析a21a1.f(x)lg(a)为奇函数等价于f(x)f(x)0.即lg(a)lg(a)0(a)(a)1化简得a1.故选B2(文)若集合Ax|x2x20.Bx|2x2Ba2Ca1 Da1解析由x2x20知1x2.即Ax|1x2又Bx|2x1.(理)设a.b都是不等于1的正数.则“3a3b3”是“loga33b3.知ab1.所以log3alog3b0.所以.即loga33b3”是“loga3logb3”的充分条件；但是取a.b3也满足loga3b1.所以“3a3b3”是“loga3logb3”的充分不必要条件A组1(文)(20xx天津卷.1)设集合A1,2,3,4.B1.0,2,3.CxR|1x2.则(AB)C( C )A1,1B0,1C1,0,1 D2,3,4解析 A1,2,3,4.B1,0,2,3. AB1,0,1,2,3,4又CxR|1x2. (AB)C1,0,1故选C(理)(20xx天津卷.1)设全集为R.集合Ax|0x2.Bx|x1.则A(RB)( B )Ax|0x1 Bx|0x1Cx|1x2 Dx|0x2解析全集为R.Bx|x1.则RBx|x1集合Ax|0x1.函数f(x)的定义域为A.则UA( A )A(0,1 B(0,1)C(1.) D1.)解析全集Ux|x0.f(x)的定义域为x|x1.所以UAx|0x13命题“x0.).x3x0”的否定是( C )Ax(.0).x3x0Bx(.0).x3x0Cx00.).xx00Dx00.).xx00解析全称命题“x0.).x3x0”的否定是特称命题“x00.).xx00,2x0ex0.则下列命题是真命题的是( C )Apq Bp綈qCpq Dp綈q解析命题p是假命题.因为当等差数列an是常数列时显然不成立.根据两个函数的图象可得命题q是真命题.pq是真命题.故选C6设集合Mx|x23x21Cx|x1 Dx|x2解析因为Mx|x23x20x|2x1.N2.).所以MN2.).故选A7设a.b是向量.则“|a|b|”是“|ab|ab|”的( D )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析取ab0.则|a|b|0.|ab|0|0.|ab|2a|0.所以|ab|ab|.故由|a|b|推不出|ab|ab|.由|ab|ab|.得|ab|2|ab|2.整理得ab0.所以ab.不一定能得出|a|b|.故由|ab|ab|推不出|a|b|.故“|a|b|”是“|ab|ab|”的既不充分也不必要条件故选D8下列四个命题中正确命题的个数是( A )对于命题p：xR.使得x2x10；m3是直线(m3)xmy20与直线mx6y50互相垂直的充要条件；已知回归直线的斜率的估计值为1.23.样本点的中心为(4,5).则线性回归方程为1.23x0.08；若实数x.y1,1.则满足x2y21的概率为.A1 B2C3 D4解析错.应当是綈p：xR.均有x2x10；错.当m0时.两直线也垂直.所以m3是两直线垂直的充分不必要条件；正确.将样本点的中心的坐标代入.满足方程；错.实数x.y1,1表示的平面区域为边长为2的正方形.其面积为4.而x2y21所表示的平面区域的面积为.所以满足x2y21的概率为.9(文)已知全集UR.集合Ax|0x9.xR和Bx|4x4.xZ关系的Venn图如图所示.则阴影部分所求集合中的元素共有( B )A3个 B4个C5个 D无穷多个解析由Venn图可知.阴影部分可表示为(UA)B由于UAx|x0或x9.于是(UA)Bx|4x0.xZ3.2.1,0.共有4个元素(理)设全集UR.Ax|x(x2)0.Bx|yln(1x).则图中阴影部分表示的集合为( B )Ax|x1 Bx|1x2Cx|0x1 Dx|x1解析分别化简两集合可得Ax|0x2.Bx|x1.故UBx|x1.故阴影部分所示集合为x|1x.则UAx|x.集合By|1y1.所以(UA)Bx|xy|1y11.12给定命题p：函数yln(1x)(1x)为偶函数；命题q：函数y为偶函数.下列说法正确的是( B )Apq是假命题 B(綈p)q是假命题Cpq是真命题 D(綈p)q是真命题解析对于命题p：yf(x)ln(1x)(1x).令(1x)(1x)0.得1x1.所以函数f(x)的定义域为(1,1).关于原点对称.因为f(x)ln(1x)(1x)f(x).所以函数f(x)为偶函数.所以命题p为真命题；对于命题q：yf(x).函数f(x)的定义域为R.关于原点对称.因为f(x)f(x).所以函数f(x)为奇函数.所以命题q为假命题.所以(綈p)q是假命题13已知命题p：x1.命题q：1.则綈p是q的既不充分也不必要条件解析由题意.得綈p为x1.由1或x1或x0.a1.函数f(x)axxa有零点.则綈p：a00.a01.函数f(x)axa0没有零点.解析全称命题的否定为特称命题.綈p：a00.a01.函数f(x)axa0没有零点15已知集合AxR|x1|2.Z为整数集.则集合AZ中所有元素的和等于3.解析AxR|x1|2xR|1x3.集合A中包含的整数有0,1,2.故AZ0,1,2故AZ中所有元素之和为0123.16已知命题p：xR.x2a0.命题q：x0R.x2ax02a0.若命题“p且q”是真命题.则实数a的取值范围为(.2.解析由已知条件可知p和q均为真命题.由命题p为真得a0.由命题q为真得a2或a1.所以a2.00B组1设集合Ax|x2x20.Bx|x1.且xZ.则AB( C )A1 B0C1,0 D0,1解析本题主要考