空间解析几何(精品课件)PPT课件.ppt

引言 几何与代数间最早的桥梁是由17世纪笛卡尔和费马建立的平面解析几何 解析几何利用代数方法来研究几何图形的性质 解析几何为微积分的出现创造了条件 几何向量是研究空间解析几何的工具 也是研究数学中其它一些分支 力学及三维计算机图形学 三维游戏设计等学科的工具 1715年 瑞士伯努力将平面解析几何推广到空间解析几何 1 1 向量的概念及其表示 1 向量 2 向量的长度或模 3 自由向量 4 相等向量 5 负向量 6 零向量 既有大小又有方向的量 只考虑向量的大小和方向不计较起点位置 长度相等且方向相同 长度相等且方向相反 方向相同或相反 8 平行 共线 向量 7 单位向量 长度为1 一 空间向量的线性运算 2 第三章几何空间 3 1 2空间向量及空间坐标系 2 向量的加法 1 平行四边形法则 2 三角形法则 3 运算性质 结合律 交换律 首尾相接 多边形法则 3 向量的减法 运算性质 三角不等式 减数指向被减数 后项减去前项 第三章几何空间 3 1 2空间向量及空间坐标系 4 3 向量与数量的乘法 数乘 1 定义 m 注 m m 0或 2 运算性质 1 单位向量 长度为1的向量 模 方向 非零向量的单位化 分配律 结合律 向量的伸缩 第三章几何空间 3 1 2空间向量及空间坐标系 5 例1 设P Q分别是 ABC的BC AC边的中点 AP与BQ交于点M 证明 A B C M P Q 往证点S与点T重合 即 证明 可知 第三章几何空间 3 1 2空间向量及空间坐标系 6 1 向量的概念及其表示 方向和大小 2 向量的加法 向量的减法 平行四边形 三角形 多边形法则 3 数乘 向量的伸缩 向量的单位化 一 空间向量的线性运算 3 1 2空间向量及空间坐标系 二 共线 共面向量的判定 三 空间坐标系 四 空间向量线性运算的坐标表示 五 空间向量的数量积 7 第三章几何空间 3 1 2空间向量及空间坐标系 二 共线 共面向量的判定 1 共线 共面向量的定义 点O A1 A2 As在同一直线上 1 2 s共线 点O A1 A2 As在同一平面上 1 2 s共面 8 二 共线 共面向量的判定 2 共线的判定 定理3 1设向量 1 向量 2与 1共线 存在唯一的实数k使得 2 k 1 推论3 1向量 1 2共线 存在不全为零的实数k1 k2使得k1 1 k2 2 注 设向量 1 向量 2与 1共线 2可由 1唯一的线性表示 第三章几何空间 3 1 2空间向量及空间坐标系 1 2共线 存在唯一的实数k使得 2 k 1 当 1 2 时 1 2共线但 2 k 1 k 0 不一定 9 二 共线 共面向量的判定 2 共线的判定 定理3 1设向量 1 向量 2与 1共线 存在唯一的实数k使得 2 k 1 2可由 1唯一的线性表示 推论3 1向量 1 2共线存在不全为零的实数k1 k2使得k1 1 k2 2 存在一个向量可由另一个向量线性表示 第三章几何空间 3 1 2空间向量及空间坐标系 注 向量 1 2不共线 k1 1 k2 2 只有零解 即k1 k2 0 任何一个向量都不能由另一个向量线性表示 10 二 共线 共面向量的判定 推论3 2向量 1 2 3共面 存在不全为零的实数k1 k2 k3 使得k1 1 k2 2 k3 3 注 若向量 1 2不平行 则向量 3与 1 2共面 3可由 1 2唯一的线性表示 1 3 2 3 共面的判定 定理3 2若向量 1 2不平行 则向量 3与 1 2共面 存在唯一的有序实数组 k1 k2 使得 第三章几何空间 3 1 2空间向量及空间坐标系 3 k1 1 k2 2 k1 1 k2 2 11 定理3 2若向量 1 2不平行 则向量 3与 1 2共面存在唯一的有序实数组 k l 使得 3 k 1 l 2 3可由 1 2唯一的线性表示 推论3 2向量 1 2 3共面存在不全为零的实数k1 k2 k3 使得k1 1 k2 2 k3 3 存在一个向量可由其余向量线性表示 注 向量 1 2 3不共面 k1 1 k2 2 k3 3 只有零解 即k1 k2 k3 0 推论3 2向量 1 2 3共面 1 2 3线性无关 3 共面的判定 第三章几何空间 3 1 2空间向量及空间坐标系 1 2 3线性相关 任何一个向量都不能由其余向量线性表示 但不知是哪个向量 12 例2 3 1 2空间向量及空间坐标系 d 13 二 共线 共面向量的判定 2与 1 共线 唯一实数k使得 2 k 1 2可由 1唯一线性表示 2与 1共线 不全为零的k1 k2使得k1 1 k2 2 2与 1线性相关 1 2不平行 3与 1 2共面 3可由 1 2唯一线性表示 重点和难点 在直线上任意一个向量都可以由直线上一个非零向量唯一的线性表示 在平面上任意一个向量都可以由平面上两个不共线向量唯一的线性表示 在空间上任意一个向量都可以由空间上三个不共面向量唯一的线性表示 14 1 线性表示 1 在直线上任意一个向量都可以由直线上一个非零向量唯一的线性表示 2 在平面上任意一个向量都可以由平面上两个不共线向量唯一的线性表示 定理3 3在空间中取定三个不共面的 1 2 3 则对空间中任一向量 都存在唯一的有序实数组 x y z 使得 x 1 y 2 z 3 实数k1 k2 k3 使得 k1 1 k2 2 k3 3 1 2不平行 3与 1 2共面 3可由 1 2唯一线性表示 第三章几何空间 3 1 2空间向量及空间坐标系 3 在空间上任意一个向量都可以由空间上三个不共面向量唯一的线性表示 15 定理3 3在空间中取定三个不共面的 1 2 3 则对空间中任一向量 都存在唯一的有序实数组 x y z 使得 x 1 y 2 z 3 唯一性 第三章几何空间 3 1 2空间向量及空间坐标系 16 右 左 手仿射坐标系 x 1 y 2 z 3 x y z 1 仿射坐标系 O 1 2 3 坐标原点 坐标向量 基 坐标轴 坐标 分量 三 空间坐标系 第三章几何空间 3 1 2空间向量及空间坐标系 17 坐标原点 坐标轴 x轴 横轴 y轴 纵轴 z轴 竖轴 坐标面 卦限 八个 zox面 2 空间直角坐标系 坐标分解式 第三章几何空间 3 1 2空间向量及空间坐标系 18 设 x1 y1 z1 x2 y2 z2 则k1 k2 x2 y2 z2 x1 y1 z1 x2 x1 y2 y1 z2 z1 k1x1 k2x2 k1y1 k2y2 k1z1 k2z2 后项减前项 四 空间向量线性运算的坐标表示 第三章几何空间 3 1 2空间向量及空间坐标系 19 第三章几何空间 3 1 2空间向量及空间坐标系 20 1 两个非零向量之间的夹角 2 投影的概念 五 空间向量的数量积 第三章几何空间 3 1 2空间向量及空间坐标系 21 1 两个非零向量之间的夹角 2 投影的概念 注意投影是一个有正负的数 五 空间向量的数量积 第三章几何空间 3 1 2空间向量及空间坐标系 22 投影的性质 投影的应用 u 与 共面 唯一实数k l使得 k l 当 何时 第三章几何空间 3 1 2空间向量及空间坐标系 C C C C C 且 1 23 物理背景 一物体在常力的作用下 沿直线运动产生的位移为时 则力所做的功是 抽去物理意义 就是两个向量确定一个数的运算 称为数量积 第三章几何空间 3 1 2空间向量及空间坐标系 24 3 两个向量的数量积 点积 内积 1 物理背景 2 两个非零向量之间的夹角 3 数量积的定义 注 0 或 或 第三章几何空间 3 1 2空间向量及空间坐标系 点不能省略 25 4 内积的性质 1 正定性 2 2 0且 2 0 2 对称性 3 m m m 4 分配律 5 线性性 k l k l 6 Schwartz不等式 7 三角不等式 8 2 2 2 2 2 注 数量积不满足消去律 即 应为 0 第三章几何空间 3 1 2空间向量及空间坐标系 26 2 设 x1 y1 z1 x2 y2 z2 则 5 直角坐标系下向量内积的计算 例5 已知 3 6 3 3 2 求 解 3 2 0 3 2 6 2 2 0 3 9 6 cos 3 2 36 0 81 81 0 1 2 x12 y12 z12 第三章几何空间 3 1 2空间向量及空间坐标系 x1x2 y1y2 z1z2 T 27 6 模 夹角 距离公式 2 设非零向量 x1 y1 z1 x2 y2 z2 之间的夹角为 则 x1x2 y1y2 z1z2 3 点P1 x1 y1 z1 与P2 x2 y2 z2 之间的距离为 x1x2 y1y2 z1z2 第三章几何空间 3 1 2空间向量及空间坐标系 28 7 方向角 方向余弦和方向数 1 非零向量与三个坐标轴所成的夹角称为此向量的方向角 方向余弦 cos cos cos 方向角的余弦称为此向量的方向余弦 第三章几何空间 3 1 2空间向量及空间坐标系 29 3 方向数c1 c2 c3 注2 cos2 cos2 cos2 1 2 向量的方向余弦 注1 方向余弦唯一 但方向数不唯一 与方向余弦成比例的一组数 第三章几何空间 3 1 2空间向量及空间坐标系 30 例6 向量 1 1 2 3 2 1 0 0 3 1 1 3 1 2 3 求 的方向余弦 方向数 3 解 1 2 3 3 3 6 的方向数 3 3 6 或者1 1 2 通式为k k 2k k 0 第三章几何空间 3 1 2空间向量及空间坐标系 31 设O为一根杠杆L的支点 力作用于杠杆上P点 力与的夹角为 力对支点O的力矩是向量 则力矩的模为 向量积的物理意义 力矩 力 力臂 32 第三章几何空间 3 3向量的向量积和混合积 一 两个向量的向量积 叉积 外积 1 物理背景 2 向量积的定义 sin 其中 3 模的几何意义 力矩 力 力臂 是一个向量 当 且 不平行时 正弦值等于边长为1菱形的面积 33 4 外积的性质 3 反对称性 1 或 或 规定 sin 4 m m m 第三章几何空间 3 3向量的向量积和混合积 34 4 外积的性质 3 反对称性 4 m m m 5 6 2 2 2 2 例7 已知 3 11 且 30 求 1 sin 第三章几何空间 3 3向量的向量积和混合积 35 5 直角系下外积的坐标计算 2 设 a1 a2 a3 b1 b2 b3 则 a2b3 a3b2 a3b1 a1b3 a1b2 a2b1 1 第三章几何空间 3 3向量的向量积和混合积 36 i j k 注 a1 a2 a3 与 b1 b2 b3 共线 注 为任意值 不共线 第三章几何空间 3 3向量的向量积和混合积 37 例8 求点P 4 4 1 到点A 1 0 1 和B 0 2 3 所在直线的距离 A 分析 P到AB的距离可看作底边AB上的高 解1 解2 第三章几何空间 3 3向量的向量积和混合积 38 例9 已知向量 1 2 1 1 1 1 且 8 其中 1 2 1 求 解法1 设 x y z 由题设知 解法2 解得 x y z 1 2 3 第三章几何空间 3 3向量的向量积和混合积 39 例10 已知向量 有共同起点但不共面 求以它们为棱的平行六面体的体积V V S h 解 第三章几何空间 3 3向量的向量积和混合积 40 二 三个向量的混合积 1 的混合积 2 几何意义 设 为不共面的三个向量 将它们平移到同一起点 若它们符合右手法则 则与 在 与 所成平面的同侧 于是 V 若 与 在 与 所成平面的两侧 则 V 第三章几何空间 3 3向量的向量积和混合积 41 二 三个向量的混合积 1 的混合积 2 几何意义 第三章几何空间 3 3向量的向量积和混合积 共面 0 注 轮换对称性 以 为相对棱的平行六面体的体积 以 为相对棱的四面体体积的6倍 42 i j k 设 a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 4 直角系下混合积的坐标计算 A31c1 A32c2 A33c3 a1a2a3b1b2b3c1c2c3 第三章几何空间 3 3向量的向量积和混合积 43 注 对于向量 a1 a2 a3 b1 b2 b3 和 c1 c2 c3 采用行列式的记号 我们有 三个向量 a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 共面的充分必要条件是 0 第三章几何空间 3 3向量的向量积和混合积 44 3 性质 即行列式的性质 1 0 2 3 1 2 1 2 4 m m m m 5 m 其中m为一实数 注 结合轮换对称性 由这些性质还可派生出更多类似的性质 如 1 2 1 2 m 等等 轮换对称性 第三章几何空间 3 3向量的向量积和混合积 45 例11 试证 2 3 6 证明 2 3 2 3 6 6 6 第三章几何空间 3 3向量的向量积和混合积 46 例12 由定理3 3可知 在空间中任取三个不共面的 后 空间中任一向量 都可以由 唯一的线性表示 即存在唯一的实数组 x y z 使得 x y z 下面我们去求x y z的值 x y z x y z x 不共面 则 0 解 Cramer法则 第三章几何空间 3 3向量的向量积和混合积 47 向量的数量积 向量积和混合积 sin S 正定性 线性性 Schwartz不等式 反对称性 0 a1b1 a2b2 a3b3 V 平行六面体 轮换对称性 行列式的性质 0 共面 第三章几何空间 48 3 4空间的平面和直线 一 平面的方程 1 点法式方程 P A x x0 B y y0 C z z0 0 2 一般方程 Ax By Cz D 0 平面方程是三元一次方程 而三元一次方程必然表示一个平面 P0 x0 y0 z0 P x y z 其中D Ax0 By0 Cz0 第三章几何空间 49 第一章向量代数平面与直线 1 4空间的平面和直线 3 特殊位置的平面方程 1 过原点的平面 Ax By Cz 0 2 平行于x轴的平面 平行于y轴的平面 Ax Cz D 0 平行于z轴的平面 Ax By D 0 3 平行于xoy面的平面 平行于yoz面的平面 Ax D 0 平行于xoz面的平面 By D 0 Ax By Cz D 0 若A 0 则A x D A B y 0 C z 0 0 P0 D A 0 0 By Cz D 0 Cz D 0 50 第三章几何空间 3 4空间的平面和直线 例13 求通过点P0 1 2 3 且 注 确定A B C D的值 作图时应标注一些特殊点 如与坐标轴或坐标平面的交点 1 通过x轴 2 平行于yoz平面 的平面方程 并且分别作出它们的图形 By Cz 0 2B 3C 0 3y 2z 0 Ax D 0 A D 0 x 1 0 51 4 三点式方程 经过不共线三点P1 x1 y1 z1 P2 x2 y2 z2 P3 x3 y3 z3 的平面 的方程 第三章几何空间 3 4空间的平面和直线 52 4 三点式方程 5 截距式方程 第三章几何空间 3 4空间的平面和直线 53 二 空间直线的方程 1 参数方程 P x x0 lt y y0 mt z z0 nt 2 标准 对称 方程 第三章几何空间 3 4空间的平面和直线 54 二 空间直线的方程 1 参数方程 P x x0 lt y y0 mt z z0 nt 2 标准 对称 方程 z R 第三章几何空间 3 4空间的平面和直线 55 3 一般方程 A1x B1y C1z D1 0 A2x B2y C2z D2 0 4 两点式方程 过两点P1 x1 y1 z1 P2 x2 y2 z2 的直线L的方程为 第三章几何空间 3 4空间的平面和直线 56 例14 求过点P 7 6 5 垂直于直线L0 且平行于平面 0 x y z 1 0的直线方程 9 5 1 4 8 4 所求直线L的方程为 P 第三章几何空间 3 4空间的平面和直线 57 例14 求过点P 7 6 5 垂直于直线L0 且平行于平面 0 x y z 1 0的直线方程 x 2y z 3 0 2x 3y 3z 9 0 9 5 1 9 x 7 5 y 6 z 5 0 即 9x 5y z 28 0 过点P 7 6 5 平行于平面 0的平面 2为 x 7 y 6 z 5 0 即 x y z 4 0 故所求直线L的方程为 0 2 1 P 第三章几何空间 3 4空间的平面和直线 58 三平面的相对位置 1 A1x B1y C1z D1 0 2 A2x B2y C2z D2 0 3 A3x B3y C3z D3 0 r A b r A 1 无解 平行或 或 r A b r A 3 交于一点 r A b r A 2 3 交于一线 r A b r A 1 3 三平面重合 第三章几何空间 3 4空间的平面和直线 59 1 x y bz 3 2 2x a 1 y b 1 z 7 3 1 a y 2b 1 z 0 b 0时 r2 r1 1 无公共点 a 1且b 0时 r2 r1 3 交于一点 例15 讨论三个平面的相互位置 其中a b为参数 解 第三章几何空间 3 4空间的平面和直线 60 a 1且b 0时 r2 r1 3 交于一点 b 0时 r2 r1 1 无公共点 当a 1 b 1 2时 r2 r1 1 无公共点 11b300120001 2b r3 br2 当a 1 b 1 2时 r2 r1 2 3 交于一线 11020012 第三章几何空间 3 4空间的平面和直线 61 三 与直线 平面有关的一些问题 1 夹角 1 两条直线的夹角 2 两个平面的夹角 3 直线与平面的夹角 规定夹角的范围0 2 第三章几何空间 3 4空间的平面和直线 62 例16 求直线L 与平面 x 2y z 1 0之间的夹角 解 法2 第三章几何空间 3 4空间的平面和直线 63 2 距离 1 点P到直线L的距离 2 两平行直线之间的距离 第三章几何空间 3 4空间的平面和直线 64 2 距离 3 点P x1 y1 z1 到平面 Ax By Cz D 0的距离 4 两平行平面间的距离 一平面上一点到另一平面距离 第三章几何空间 3 4空间的平面和直线 65 L1 5 异面直线之间的距离 L2 s1 s2 第三章几何空间 3 4空间的平面和直线 66 例18