整式的乘除与因式分解复习课件.ppt

一 分组后能直接提公因式 因式分解 分组分解法 2020 4 8 1 前面我们学习了十字相乘法 现在请你用十字相乘法分解下面因式 2020 4 8 2 在这里我们把它的前两项分成一组并提出公因式 把它的后两项分成一组 并提出公因式 分组后能直接提公因式 我们看下面这个多项式 要把这个多项式分解因式 不能提公因式也不能用公式 2020 4 8 3 把下列各式分解因式 1 2 3 4 5 ax ay bx by 2020 4 8 4 整式乘法 a b m n a m n b m n am an bm bn am an bm bn a m n b m n a b m n 因式分解 定义 这种把多项式分成几组来分解因式的方法叫分组分解法 注意 如果把一个多项式的项分组并提出公因式后 它们的另一个因式正好相同 那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式 引例 2020 4 8 5 从而得到 这时候由于 与 又有公因式 于是可以继续提出公因式 从而得到 2020 4 8 6 这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法 从上面的说明可以看出 如果把一个多项式的项分组并提出公因式 它们的另一个因式正好相同 那么这个多项就可以用分组分解法来分解因式 2020 4 8 7 例 把 分解因式 分析 把这个多项式的四项按前两项与后两项分成两组 分别提出公因式 与 后 另一个公因式正好都是 这样就可以继续提公因式 2020 4 8 8 解 解 2020 4 8 9 例 把 分解因式 2020 4 8 10 解 解 2020 4 8 11 练习 把下列各式分解因式 2020 4 8 12 在有公因式的前提下 按对应项系数成比例分组 或按对应项的次数成比例分组 1 分组 2 在各组内提公因式 3 在各组之间进行因式分解 4 直至完全分解 分组规律 分解步骤 2020 4 8 13 例 把 分解因式 分析 如果把这个多项式的四项按前两项与后两项分组 无法分解因式 但如果把第一 三两项作为一组 第二 四两项作为另一组 分别提出公因式 与 后 另一个因式正好都是 2020 4 8 14 解 解 2020 4 8 15 例 把 分解因式 解 2020 4 8 16 解 2020 4 8 17 解 原式 例5x2 x2y xy2 x y y2 x2 y2 x2y xy2 x y x y x y xy x y x y x y x y xy 1 x y x xy y 1 x y x 1 y 1 y x y 1 y x 1 2020 4 8 18 练习 把下列各式分解因式 2020 4 8 19 把下列各式分解因式 2020 4 8 20 本课小结 教学重点 掌握分组分解法的分组规律和步骤 主要内容 学习分组分解法的概念 用分组分解法分组之后 可以用提公因式的多项式进行因式分解 作业 2020 4 8 21 课前小测 1 选择题 1 下列各式能用平方差公式分解因式的是 4X y B 4x y C 4X y D X y 4a 1分解因式的结果应是 4a 1 4a 1 B 2a 1 2a 1 2a 1 2a 1 D 2a 1 2a 1 2 把下列各式分解因式 1 18 2b 2 x4 1 D D 2020 4 8 22 因式分解的基本方法2 运用公式法把乘法公式反过来用 可以把符合公式特点的多项式因式分解 这种方法叫公式法 1 平方差公式 a2 b2 a b a b 2 完全平方公式 a2 2ab b2 a b 2a2 2ab b2 a b 2 2020 4 8 23 平方差公式反过来就是说 两个数的平方差 等于这两个数的和与这两个数的差的积 a b a b a b 因式分解 平方差公式 a b a b a b 整式乘法 2020 4 8 24 将下面的多项式分解因式1 m 162 4x 9y m 16 m 4 m 4 m 4 a b a b a b 4x 9y 2x 3y 2x 3y 2x 3y 2020 4 8 25 例1 把下列各式分解因式 1 16a 1 2 4x m n 3 x y 9 25 1 16 4 9x 4 解 1 16a 1 4a 1 4a 1 4a 1 解 2 4x m n 2x mn 2x mn 2x mn 2020 4 8 26 例2 把下列各式因式分解 x z y z 4 a b 25 a c 4a 4a x y z x y z 5 a 2 1 2 2020 4 8 27 巩固练习 1 选择题 1 下列各式能用平方差公式分解因式的是 4X y B 4x y C 4X y D X y 4a 1分解因式的结果应是 4a 1 4a 1 B 2a 1 2a 1 2a 1 2a 1 D 2a 1 2a 1 2 把下列各式分解因式 1 18 2b 2 x4 1 D D 2020 4 8 28 完全平方公式 2020 4 8 29 现在我们把这个公式反过来 很显然 我们可以运用以上这个公式来分解因式了 我们把它称为 完全平方公式 2020 4 8 30 我们把以上两个式子叫做完全平方式 头 平方 尾 平方 头 尾 两倍中间放 2020 4 8 31 判别下列各式是不是完全平方式 是 是 是 是 2020 4 8 32 完全平方式的特点 1 必须是三项式 2 有两个平方的 项 3 有这两平方 项 底数的2倍或 2倍 2020 4 8 33 下列各式是不是完全平方式 是 是 是 否 是 否 2020 4 8 34 请补上一项 使下列多项式成为完全平方式 2020 4 8 35 我们可以通过以上公式把 完全平方式 分解因式我们称之为 运用完全平方公式分解因式 2020 4 8 36 例题 把下列式子分解因式 4x2 12xy 9y2 2020 4 8 37 请运用完全平方公式把下列各式分解因式 2020 4 8 38 练习题 1 下列各式中 能用完全平方公式分解的是 A a2 b2 abB a2 2ab b2C a2 ab 2b2D 2ab a2 b22 下列各式中 不能用完全平方公式分解的是 A x2 y2 2xyB x2 4xy 4y2C a2 ab b2D 2ab a2 b2 D C 2020 4 8 39 3 下列各式中 能用完全平方公式分解的是 A x2 2xy y2B x2 xy y2C D 4 下列各式中 不能用完全平方公式分解的是 A x4 6x2y2 9y4B x2n 2xnyn y2nC x6 4x3y3 4y6D x4 x2y2 y4 D D 2020 4 8 40 5 把分解因式得 A B 6 把分解因式得 A B B A 2020 4 8 41 7 如果100 x2 kxy y2可以分解为 10 x y 2 那么k的值是 A 20B 20C 10D 108 如果x2 mxy 9y2是一个完全平方式 那么m的值为 A 6B 6C 3D 3 B B 2020 4 8 42 9 把分解因式得 A B C D 10 计算的结果是 A 1B 1C 2D 2 C A 2020 4 8 43 思考题 1 多项式 x y 2 2 x2 y2 x y 2能用完全平方公式分解吗 2 在括号内补上一项 使多项式成为完全平方式 X4 4x2 2020 4 8 44 小结 1 是一个二次三项式 2 有两个 项 平方 而且有这两 项 的积的两倍或负两倍 3 我们可以利用完全平方公式来进行因式分解 完全平方式具有 2020 4 8 45 因式分解 因式分解的定义与提公因式法 2020 4 8 46 复习回顾 口答 2020 4 8 47 问题 630可以被哪些整数整除 解决这个问题 需要对630进行分解质因数 630 2 32 5 7 类似地 在式的变形中 有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式以便于更好的解决一些问题 新课引入 2020 4 8 48 试试看 将下列多项式写成几个整式的乘积 回忆前面整式的乘法 2020 4 8 49 上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式 像这样的式子变形叫做把这个多项式 也叫做把这个多项式 分解因式 因式分解 因式分解 整式乘法 因式分解与整式乘法是逆变形 2020 4 8 50 依照定义 判断下列变形是不是因式分解 把多项式化成几个整式的积 2020 4 8 51 创设情景 学校打算把操场重新规划一下 分为绿化带 运动场 主席台三个部分 如下图 计算操场总面积 2020 4 8 52 a b c m 方法一 S m a b c 方法二 S ma mb mc m m 2020 4 8 53 方法一 S m a b c 方法二 S ma mb mc m a b c ma mb mc 下面两个式子中哪个是因式分解 在式子ma mb mc中 m是这个多项式中每一个项都含有的因式 叫做 公因式 ma mb mc m a b c 2020 4 8 54 ma mb mc m a b c 在下面这个式子的因式分解过程中 先找到这个多项式的公因式 再将原式除以公因式 得到一个新多项式 将这个多项式与公因式相乘即可 这种方法叫做提公因式法 提公因式法一般步骤 1 找到该多项式的公因式 2 将原式除以公因式 得到一个新多项式 3 把它与公因式相乘 2020 4 8 55 8a3b2 12ab3c的公因式是什么 公因式 4 a b2 一看系数二看字母三看指数 观察方向 2020 4 8 56 例1把8a3b2 12ab3c分解因式 解 8a3b2 12ab3c 4ab2 2a2 4ab2 3bc 4ab2 2a2 3bc 2020 4 8 57 例2把2a b c 3 b c 分解因式 分析 b c 是这个式子的公因式 可以直接提出 解 2a b c 3 b c b c 2a 3 2020 4 8 58 做一做 按照提公因式法因式分解 2020 4 8 59 公式法 2020 4 8 60 公式回顾 平方差公式 完全平方公式 立方和公式 立方差公式 考试不会涉及选学 不做统一要求 维度A 2020 4 8 61 复习回顾 还记得学过的两个最基本的乘法公式吗 平方差公式 完全平方公式 计算 2020 4 8 62 999 1 999 1 此处运用了什么公式 新课引入 试计算 9992 1 12 1000 998 998000 平方差公式 逆用 因式分解 1 x2 2 y2 425 2252 x 2 x 2 y 5 y 5 这些计算过程中都逆用了平方差公式即 2020 4 8 63 此即运用平方差公式进行因式分解用文字表述为 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积 尝试练习 对下列各式因式分解 a2 9 49 n2 5s2 20t2 100 x2 9y2 a 3 a 3 7 n 7 n 5 s 2t s 2t 10 x 3y 10 x 3y 2020 4 8 64 y2 4x2 y 2x y 2x x2 2 12 x2 1 x2 1 1 4x2 y2解 原式 2 x4 1解 原式 x2 1 4x2 y2 2x y 2x y x 1 x 1 因式分解一定要分解彻底 例如 1 2020 4 8 65 3 6x3 54xy2解 原式 6x x2 9y2 6x x 3y x 3y 4 x p 2 x q 2解 原式 x p x q x p x q 2x p q p q Y X Y X Y X 例如 2 2020 4 8 66 做一做 利用平方差公式因式分解 2020 4 8 67 公式法 利用完全平方公式进行因式分解 2020 4 8 68 复习回顾 还记得前面学的完全平方公式吗 计算 2020 4 8 69 新课引入 试计算 9992 1998 1 2 999 1 999 1 2 106 此处运用了什么公式 完全平方公式 逆用 就像平方差公式一样 完全平方公式也可以逆用 从而进行一些简便计算与因式分解 即 2020 4 8 70 这个公式可以用文字表述为 两个数的平方和加上 或减去 这两个数的积的两倍 等于这两个数的和 或差 的平方 牛刀小试 对下列各式因式分解 a2 6a 9 n2 10n 25 4t2 8t 4 4x2 12xy 9y2 a 3 2 n 5 2 4 t 1 2 2x 3y 2 2020 4 8 71 完全平方式的特点 1 必须是三项式 或可以看成三项的 2 有两个同号的平方项3 有一个乘积项 等于平方项底数的 2倍 简记口诀 首平方 尾平方 首尾两倍在中央 2020 4 8 72 16x2 24x 9 4x2 4xy y2 4x2 8xy 4y2 4x 3 2 4x2 4xy y2 2x y 2 4 x2 2xy y2 4 x y 2 例如 2020 4 8 73 做一做 用完全平方公式进行因式分解 2020 4 8 74 做一做 用恰当的方法进行因式分解 备选方法 提公因式法平方差公式完全平方公式 2020 4 8 75 因式分解 十字相乘法 2020 4 8 76 一 提公因式法 只需找到多项式中的公因式 然后用原多项式除以公因式 把所得的商与公因式相乘即可 往往与其他方法结合起来用 复习回顾 2020 4 8 77 二 公式法 只需发现多项式的特点 再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解 有时需和别的方法结合或多种公式结合 接下来是一些常用的乘法公式 可以逆用进行因式分解 复习回顾 2020 4 8 78 常用公式1 a b a b a2 b2 平方差公式 2 a b 2 a2 2ab b2 完全平方公式 3 a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc4 a3 b3 a b a2 ab b2 及a3 b3 a b a2 ab b2 立方和 差公式 5 a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 完全立方和公式 6 x p x q x2 p q x pq7 x2 y2 z2 xy xz yz公式推导 复习回顾 2020 4 8 79 这是公式x2 y2 z2 xy xz yz的推导过程不要与 x y z 2 x2 y2 z2 2xy 2xz 2yz混淆 复习回顾 2020 4 8 80 二 公式法 只需发现多项式的特点 再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解 有时需和别的方法结合或多种公式结合 复习回顾 2020 4 8 81 三 十字相乘法 试因式分解6x2 7x 2 这里就要用到十字相乘法 适用于二次三项式 既然是二次式 就可以写成 ax b cx d 的形式 ax b cx d acx2 ad bc x bd所以 需要将二次项系数与常数项分别拆成两个数的积 而这四个数中 两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数 那么因式分解就成功了 2020 4 8 82 17 3x2 11x 10 6x2 7x 2 23 12 4 3 7 6x2 7x 2 2x 1 3x 2 13 52 2 15 11 13 25 5 6 3x2 11x 10 x 2 3x 5 2020 4 8 83 6 5x2 6xy 8y2 试因式分解5x2 6xy 8y2 这里仍然可以用十字相乘法 15 24 4 10 5x2 6xy 8y2 x 2y 5x 4y 简记口诀 首尾分解 交叉相乘 求和凑中 2020 4 8 84 综合训练 2020 4 8 85 精品中考复习方案数学分册 2020 4 8 86 第一章第四课时 因式分解 要点 考点聚焦课前热身典型例题解析课时训练 2020 4 8 87 要点 考点聚焦 2 因式分解的几种常用方法 1 提公因式法 2 运用公式法 平方差公式 a2 b2 a b a b 完全平方公式 a2 2ab b2 a b 2 3 二次三项式型 x2 a b x ab x a x b 4 分组分解法 分组后能提公因式 分组后能运用公式 1 因式分解的定义把一个多项式化为n个整式的积的形式 叫做把这个多项式因式分解式分解因式 2020 4 8 88 3 因式分解的一般步骤可归纳为一 提 二 套 三 分 四 查 1 一 提 先看多项式的各项是否有公因式 若有必须先提出来 2 二 套 若多项式的各项无公因式 或已提出公因式 第二步则看能不能用公式法或用x2 p q x pq型分解 3 三分 若以上两步都不行 则应考虑分组分解法 将能用上述方法进行分解的项分成一组 使之分组后能 提 或能 套 当然要注意其要分解到底才能结束 4 四 查 可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确 要点 考点聚焦 2020 4 8 89 3 下列多项式中 能用提公因式法分解因式的是 A x2 yB x2 2xC x2 y2D x2 xy y2 课前热身 1 2004年 南京 分解因式 3x2 3 2 2004 河北 分解因式 X2 2xy y2 4 3 x 1 x 1 x y 2 x y 2 B 4 2004年 济南 分解因式 a2 4a 4 a 2 2 2020 4 8 90 5 2004年 桂林 分解因式 a3 2a2 a 6 2004年 呼和浩特 将下列式子因式分解x x2 y y2 a a 1 2 x y 1 x y 课前热身 2020 4 8 91 7 2004年 大连试验区 关于x的一元二次方程x2 bx c 0的两根为x1 1 x2 2 则x2 bx c分解因式的结果为 8 2004年 北京市 分解因式 x2 4y2 x 2y x 2y 1 x 2y 课前热身 x 1 x 2 2020 4 8 92 典型例题解析 例1 因式分解 1 4x2y 2xy2 12xy 2 3x2 a b x b a 3 9 x y 2 4 x y 2 解 1 原式 2xy 2x y 6 2 原式 3x2 a b x a b x a b 3x 1 3 原式 3 x y 2 x y 3 x y 2 x y 5x y x 5y 2020 4 8 93 解 4 原式 9a2 2 1 9a2 1 9a2 1 3a 1 3a 1 9a2 1 典型例题解析 例1 因式分解 4 81a4 1 5 x2 2x 2 2 x2 2x 1 6 a2 b2 2 4a2b2 5 原式 x2 2x 1 2 x 1 4 6 原式 a b2 2ab a2 b2 2ab a b 2 a b 2 2020 4 8 94 例2 因式分解 3an 1 12an 12an 1 n 1的正整数 解 原式 3an 1 1 4an n 1 4a n 1 n 1 3an 1 1 4a 4a2 3an 1 2a 1 2 例3 因式分解 1 m3 2m2 9m 18 典型例题解析 解 1 原式 m3 2m2 9m 18 m2 m 2 9 m 2 m 2 m2 9 m 2 m 3 m 3 或者 原式 m3 9m 2m2 18 m m2 9 2 m2 9 m2 9 m 2 m 3 m 3 m 2 2020 4 8 95 解 2 原式 a2 b2 2bc c2 a2 b c 2 a b c a b c 3 原式 x2 2 5 x2 4 x2 4 x2 1 x 2 x 2 x 1 x 1 4 原式 x3 x2 x2 5x 6 x2 x 1 x2 5x 6 x2 x 1 x 6 x 1 x 1 x2 x 6 x 1 x 3 x 2 典型例题解析 例3 因式分解 2 a2 b2 c2 2bc 3 x4 5x2 4 4 x3 2x2 5x 6 2020 4 8 96 例4 求证 对于自然数n 2n 4 2n能被30整除 解 2n 4 2n 2n 2 1 2n 16 1 15 2n 15 2 2n 1 30 2n 1 n为自然数时 2n 1为整数 2n 4 2n能被30整除 例5 分解因式 x3 6x2 11x 6 解 方法一 原式 x3 3x2 3x2 9x 2x 6 x2 x 3 3x x 3 2 x 3 x 3 x2 3x 2 x 3 x 1 x 2 典型例题解析 2020 4 8 97 方法二 原式 x3 2x2 4x2 8x 3x 6 x2 x 2 4x x 2 3 x 2 x 2 x2 4x 3 x 2 x 1 x 3 方法三 原式 x3 x2 5x2 5x 6x 6 x2 x 1 5x x 1 6 x 1 x 1 x2 5x 6 x 1 x 2 x 3 方法四 原式 x3 5x2 6x x2 5x 6 x x2 5x 6 x2 5x 6 x2 5x 6 x 1 x 2 x 3 x 1 典型例题解析 2020 4 8 98 1 因式分解应进行到底 如 分解因式 x4 4 x2 2 x2 2 x2 2 x x 应在实数范围内将它分解到底 又如 分解因式 22 8x 6 2 x2 4x 3 令x2 4x 3 0 则x 2 2x2 8x 6 2 x 2 x 2 方法小结 2020 4 8 99 2 不要将因式分解的结果又用整式的乘法展开而还原 如 a2 b2 4a2b2 a2 b2 2ab a2 b2 2ab a b 2 a b 2 a b a b 2 a2 b2 2 a4 2a2b2 b4实际该题到第2个等于号就分解到底了 不能再向下计算了 方法小结 2020 4 8 100 3 注意解题的技巧的应用 不能死算 如 分解因式 x 1 x 3 x 5 x 7 9 x 1 x 7 x 3 x 4 9 x2 8x 7 x2 8x 15 9 x2 8x 7 x2 8x 15 9 x2 8x 2 22 x2 8x 105 9 x2 8x 2 22 x2 8x 96 x2 8x 6 x2 8x 16 x2 8x 6 x 4 2 方法小结 2020 4 8 101 课时训练 1 2004年 福州市 分解因式 a2 25 2 2004年 陕西 分解因式 x3y2 4x 3 2004年 长沙 分解因式 xy2 x2y x xy 2 xy 2 a 5 a 5 xy y x y x 2 2 4 2004年 青海 分解因式 x2y 4xy 4y 5 2004年 哈尔滨 分解因式 a2 2ab b2 c2 a b c a b c 2020 4 8 102 7 2004年 北京 多项式ac bc a2 b2分解因式的结果为 A a b a b c B a b a b c C a b a b c D a b a b c 8 2004年 宁夏 把多项式1 x2 2xy y2分解因式的结果为 A 1 x y 1 x y B 1 x y 1 x y C 1 x y 1 x y D 1 x y 1 x y A B 课时训练 6 2004年 甘肃 为使x2 7x b在整数范围内可以分解因式 则b可能取的值为 任写一个 2020 4 8 103 2020 4 8 104 基础知识梳理 1 因式分解 就是把一个多项式化为几个整式的的形式 分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止 2 因式分解的方法 眼高手低 矮墙难过 奋力苦战 难关易破 2020 4 8 105 基础知识梳理 3 提公因式法 ma mb mc 4 公式法 a2 b2 a2 2ab b2 a2 2ab b2 眼高手低 矮墙难过 奋力苦战 难关易破 2020 4 8 106 基础知识梳理 5 因式分解的一般步骤 一 提 取公因式 二 用 公式 6 易错知识辨析 1 注意因式分解与整式乘法的区别 2 完全平方公式 平方差公式中字母 不仅表示一个数 还可以表示单项式 多项式 眼高手低 矮墙难过 奋力苦战 难关易破 2020 4 8 107 题型 例1 分解因式 1 08聊城 ax3y axy3 2ax2y2 2 08宜宾 3y2 27 3 08福州 x2 4x 4 4 08宁波 2x2 12x 18 我学习 我收获 我快乐 2020 4 8 108 题型 例2 已知a b 5 ab 3 求代数式a3b 2a2b2 ab3的值 我参与 我成长 我快乐 2020 4 8 109 达标 1 简便计算 7 292 2 712 2 分解因式 2x2 4x 3 分解因式 4x2 9 4 分解因式 x2 4x 4 打下坚实基础 勇攀科学高峰 2020 4 8 110 达标 5 08凉山 分解因式ab2 2a2b a3 6 08泰安 将分解因式的结果是 7 08中山 分解因式am an bm bn 2020 4 8 111 8 08安徽 下列多项式中 能用公式法分解因式的是 A x2 xyB x2 xyC x2 y2D x2 y29 下列各式从左到右的变形中 是因式分解的为 A x a b ax byB x2 1 y2 x 1 x 1 y2C x2 1 x 1 x 1 D ax bx c x a b c 2020 4 8 112 达标 10 如图所示 边长为a b的矩形 它的周长为14 面积为10 求a2b ab2的值 2020 4 8 113 达标 11 计算 1 1012 992 2 打下坚实基础 勇攀科学高峰 2020 4 8 114 归因 1 因式分解应进行到底 如 分解因式 x4 4 x2 2 x2 2 x2 2 x x 应在实数范围内将它分解到底 2020 4 8 115 归因 2 不要将因式分解的结果又用整式的乘法展开而还原 如 a2 b2 4a2b2 a2 b2 2ab a2 b2 2ab a b 2 a b 2 a b a b 2 a2 b2 2 a4 2a2b2 b4实际该题到第2个等于号就分解到底了 不能再向下计算了 2020 4 8 116 强化 行不行试试看 祝你成功 1 248 1可以被60到70之间的某两个整数整除 求这两个整数 2020 4 8 117 强化 行不行试试看 祝你成功 2 在一个大正方形中截取一个小正方形后 剩余的面积为13 且两正方形的边长均为整数 求两正方形的边长 2020 4 8 118 强化 行不行试试看 祝你成功 3 09台州市 若将代数式中的任意两个字母交换 代数式不变 则称这个代数式为完全对称式 如就是完全对称式 下列三个代数式 a b 2 ab bc ca a2b b2c c2a 其中是完全对称式的是 A B C D 2020 4 8 119 初中数学七年级下册 苏科版 2020 4 8 120 因式分解复习 2020 4 8 121 知识梳理 2020 4 8 122 a2 2ab b2 a b 2a2 2ab b2 a b 2 a2 b2 a b a b 一 知识回顾 把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做因式分解 因式分解是整式乘法的逆变形 2 因式分解有哪些方法 1 提公因式法 2 运用公式法 1 什么叫因式分解 2020 4 8 123 先看有无公因式 再看能否套公式 因式分解要彻底 3 因式分解的步骤 2020 4 8 124 二 基础训练 1 下列各式从左到右的变形中 哪些是因式分解 为什么 答 只有第 3 小题是因式分解 想一想 2020 4 8 125 2 下列多项式能分解因式的 B 做一做 2020 4 8 126 3 把下列各式分解因式 基础训练 做一做 2020 4 8 127 1 把下列各式分解因式 做一做 三 能力提升训练 2020 4 8 128 1 计算 四 知识拓展运用 2020 4 8 129 2 求值 1 当 求的值 2 已知 求 的值 2020 4 8 130 3 已知 a b c是 ABC的三边长 且满足 试判断三角形的形状 2020 4 8 131 思考和感悟 因式分解不可怕 简化计算需要它 条件求值应用它 数学问题想到它 我们真的喜欢它 2020 4 8 132 五 本课小结 2020 4 8 133 六 课后巩固1 把下列各式分解因式 2020 4 8 134 2 若多项式x2 ax b因式分解为 x 1 x 2 则a b 3 如果 x y 2 x y 5 2 0 则x2 y2的值是 4 已知a b为有理数 且a2 b2 2a 2b 2 0 试求a b的值 1 2 10 2020 4 8 135 5 n是整数 说明 n 14 2 n2能被28整除 2020 4 8 136 因式分解 五 2020 4 8 137 a2 2ab b2 a b 2a2 2ab b2 a b 2 a2 b2 a b a b 知识回顾 把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做因式分解 2 因式分解有哪些方法 1 提公因式法 2 运用公式法 1 什么叫因式分解 2020 4 8 138 B C D 1 下列从左到右的变形中 是因式分解的是 D 做一做 2020 4 8 139 2 下列多项式能分解因式的 B 做一做 2020 4 8 140 3 把下列各式分解因式 基础训练 做一做 2020 4 8 141 基础训练 4 利用因式分解计算 做一做 2020 4 8 142 综合训练 5 把下列各式分解因式 做一做 2020 4 8 143 提高训练 6 把下列各式分解因式 做一做 2020 4 8 144 运用训练 7 若多项式x2 ax b因式分解为 x 1 x 2 则a b 8 如果 x y 2 x y 5 2 0 则x2 y2的值是 9 已知a b为有理数 且a2 b2 2a 2b 2 0 试求a b的值 1 2 10 2020 4 8 145 运用训练 求 10 已知 的值 2020 4 8 146 求代数式 2020 4 8 147 13 阅读理解 1 计算后填空 2 归纳 猜想后填空 3 根据你的理解 分解下列因式 x2 2x 3 x2 3x 2 a b ab x 5 x 2 x 8 x 1 考考你 2020 4 8 148 小结 1 如何准确地对一个多项式进行因式分解 2 学会检查每一个多项式的因式都不能分解为止 2020 4 8 149 当堂训练 1 把下列各式分解因式 2020 4 8 150 2 分解因式 5m x y 2 10n y x 26a a b 3 12 b a 3 1 m n p q m n p q 2 5a a b 4 10ab b a 3 2020 4 8 151 3 如果n是自然数 那么n2 n是奇数还是偶数 4 分解因式 1 x4 2x2 1 2 81x4 72x2y2 16y4 3 x2 y2 2 4x2y2 4 a2 4 2 16a2 2020 4 8 152 5 知识的灵活运用 1 已知a b 3 a b 2 求a2 b2的值 2 已知4m n 90 2m 3n 10 求 m 2n 2 3m n 2的值 3 利用因式分解简便计算 5352 4652 9 1 22 16 1 42 2020 4 8 153 6 n是整数 说明 n 14 2 n2能被28整除 7 若58 1能被20到30之间的两个整数整除 则这两个数是 2020 4 8 154 8 如图 求圆环形绿地的面积 大圆的半径35米 小圆的半径15米 结果用 表示 2020 4 8 155 2020 4 8 156 因式分解综合运用 2020 4 8 157 一 检测训练 分解因式 1 a 2a2 a3 2 x2 a 1 y2 1 a 3 4a 2x y 2 36a 4 x2 y2 2 4x2y2 2020 4 8 158 5 x2 3 2 3 x2 1 6 m4 2 m2 1 2 7 3a 1 x 2b x 1 1 x 8 8x 2x y 3 12x2 2x y 2 2020 4 8 159 二 用简便方法计算 1 399 401 2 592 18 59 92 3 37 3 14 27 3 14 36 3 14 4 23 1012 992 23 2020 4 8 160 三 在实数范围内分解因式 1 x2 5 2 x4 9 3 x4 10 x2 25 4 x4 4y4 2020 4 8 161 因式分解综合运用 1 已知a b 5 ab 7 先化简再求a2b ab2 a b之值2 已知a b c是三角形ABC三边 且4a2b 8a2c 4abc 8a3 0 判断三角形形状 3 试说明32012 4 32011 10 32010能被7整除 4 设n为整数 试说明 2n 1 2 25能被4整除 5 二次三项式mx2 32x 25 m 0 有一个因式为2x 5 求另一个因式及m的值 6 已知a b 1 2 ab 3 8 求a3b 2a2b2 ab3之值 2020 4 8 162 7 已知a b为实数 且a2 2a b2 1 求的值 8 已知a2 b2 25 a b 7 且a b 求a b的值 9 已知 x y 2 x2 2xy y2 0 求x 2y的值 10 已知x x 1 x2 y 3 求x2 y2 2xy的值 2020 4 8 163 11 已知a 3 b c 求多项式a a b c b a b c c b a c 的值 12 给出三个多项式2a2 3ab b2 3a2 3ab a2 ab 任选两个进行加法 或减法 再将结果分解因式 13已知a2 b2 a 4b 17 4 0 求a b之值 2020 4 8 164 3 手表表盘的外圆直径D 3 2cm 内圆直径d 2 6cm 在外圆与内圆之间涂有黑色材料 如右图 试求涂上材料的圆环的面积 3 14 结果保留两位有效数字 怎样计算比较简便 解 2020 4 8 165 2020 4 8 166 1 平方差公式是什么样子 a b a b a2 b2 2020 4 8 167 2 如何把x2 25因式分解 把平方差公式从右到左地使用 就得出x2 25 x2 52 x 5 x 5 2020 4 8 168 像上述例子那样 把乘法公式从右到左地使用 可以把某些类型的多项式因式分解 这种方法叫做公式法 2020 4 8 169 例1把4x2 y2因式分解 举例 分析可以用平方差公式进行因式分解吗 因为4x2可以写成 2x 2 所以能用平方差公式因式分解 解4x2 y2 2x 2 y2 2x y 2x y 2020 4 8 170 例2把25x2 y2因式分解 举例 2020 4 8 171 例3把 x y 2 x y 1 2因式分解 举例 解 x y 2 x y 1 2 x y x y 1 x y x y 1 2x 1 x y x y 1 2x 1 2y 1 2020 4 8 172 例4把x4 y4因式分解 举例 分析可以用平方差公式进行因式分解吗 可以 因为x4 y4 x2 2 y2 2 解x4 y4 x2 2 y2 2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x y x y 2020 4 8 173 在例4中 第一次用平方差公式因式分解后 得到的一个因式x2 y2还可以再用平方差公式因式分解 在因式分解中 必须进行到每一个因式都不能再分解为止 例4把x4 y4因式分解 解x4 y4 x2 2 y2 2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x y x y 2020 4 8 174 例5把x3y2 x5因式分解 举例 分析第一步做什么 先提出公因式x3 解x3y2 x5 x3 y2 x2 x3 y x y x 2020 4 8 175 要是能把2表示成某个数的平方 那就可以用平方差公式进行因式分解 在系数为实数的多项式组成的集合中 x2 2能表示成两个多项式的乘积的形式吗 上学期学过 2020 4 8 176 因此 x2 2能进行因式分解 2020 4 8 177 本书如果没有特别声明 都是在系数为有理数的多项式组成的集合中进行因式分解 2020 4 8 178 1 填空 1 9y2 2 3y 2020 4 8 179 2 把下列多项式因式分解 答案 3y 2x 3y 2x 1 9y2 4x2 答案 4xy 2 1 25x2 5 a3 ab2 6 x4 16 答案 1 5x 1 5x 4 x y 2 y x 2 答案 a a b a b 答案 x2 4 x 2 x 2 2020 4 8 180 3 手表表盘的外圆直径D 3 2cm 内圆直径d 2 6cm 在外圆与内圆之间涂有黑色材料 如右图 试求涂上材料的圆环的面积 结果保留两位有效数字 怎样计算比较简便 2020 4 8 181 1 完全平方公式是什么样子 a b 2 a2 2ab b2 a b 2 a2 2ab b2 2020 4 8 182 2 如何把x2 4x 4因式分解 由于x2 4x 4 x2 2 x 2 22 因此把完全平方公式从右到左地使用 可得x2 4x 4 x 2 2 2020 4 8 183 例6把x2 3x 因式分解 举例 2020 4 8 184 例7把9x2 12x 4因式分解 举例 解9x2 12x 4 3x 2 2 3x 2 22 3x 2 2 2020 4 8 185 例8把 4x2 12xy 9y2因式分解 举例 解 4x2 12xy 9y2 2x 2 2 2x 3y 3y 2 4x2 12xy 9y2 2x 3y 2 2020 4 8 186 例9把a4 2a2b b2因式分解 举例 解a4 2a2b b2 a2 2 2 a2 b b2 a2 b 2 2020 4 8 187 例10把x4 2x2 1因式分解 举例 解x4 2x2 1 x2 2 2 x2 1 12 x2 1 2 x 1 x 1 2 x 1 2 x 1 2 2020 4 8 188 1 下列多项式是否具有完全平方公式右端的形式 1 x2 2x 4 答案 不具备 2 x2 10 x 5 答案 不具备 2020 4 8 189 2 把下列多项式因式分解 2 16y2 24y 9 4 3x4 6x3y2 3x2y4 2020 4 8 190 2 16y2 24y 9 4y 2 2 4y 3 32 4y 3 2 2020 4 8 191 4 3x4 6x3y2 3x2y4 3x2 x2 2xy2 y4 3x2 x2 2 x y2 y2 2 3x2 x y2 2 2020 4 8 192 本章学习多项式的因式分解 把一个多项式表示成若干个起着 基本建筑块 作用的多项式的乘积的形式 这为解决许多问题架起了桥梁 2020 4 8 193 例如 以后我们要学习的分式的约分 解一元二次方程 解一元二次不等式等 都需要把多项式因式分解 因式分解还可以在许多实际问题中简化计算 2020 4 8 194 这一章我们介绍了因式分解的两种方法 一 提公因式法 关键是找出各项的公因式 步骤如下 1 公因式的系数 如果多项式的系数为整数 那么取各项系数的绝对值的最大公因数作为公因式的系数 如果原来多项式的第1项的系数为负 那么把负号提出 此时括号内的各项要变号 2020 4 8 195 2 公因式含的字母是各项中相同的字母 字母的指数取各项中次数最低的 3 公因式含的式子是各项中相同的式子 该式子的指数取各项中次数最低的 在找出公因式后 把多项式的每一项写成公因式乘以其余因式的形式 这样把公因式提出后 括号内的各项就很容易写出 2020 4 8 196 二 公式法 把平方差公式 完全平方公式从右到左地使用 就可以把某些类型的多项式因式分解 在因式分解中需要注意以下几个问题 1 常常要先提公因式 然后再用公式法进行因式分解 2020 4 8 197 2 因式分解一定要进行到每一个因式都不能再分解为止 至于什么样的多项式不能表示成两个多项式的乘积的形式 这跟多项式的系数在什么数集有关系 2020 4 8 198 例如 在系数为有理数的多项式组成的集合中 x2 2不能表示成两个一次多项式的乘积的形式 但是在系数为实数的多项式组成的集合中 有 2020 4 8 199 结束 2020 4 8 200 复习课 分解因式 2020 4 8 201 练习 小结 定义 方法 步骤 分解因式 2020 4 8 202 把一个多项式化成几个整式的积的形式 叫做多项式的分解因式 也叫做因式分解 即 一个多项式 几个整式的积 注 必须分解到每个多项式因式不能再分解为止 2020 4 8 203 二 分解因式的方法 1 提取公因式法 2 运用公式法 4 分组分解法 3 十字相乘法 2020 4 8 204 如果多项式的各项有公因式 可以把这个公因式提到括号外面 将多项式写成乘积的形式 这种分解因式的方法叫做提公因式法 例题 把下列各式分解因式 6x3y2 9x2y3 3x2y2 p y x q x y x y 2 y y x 2 1 提公因式法 即 ma mb mc m a b c 解 原式 3x2y2 2x 3y 1 解 原式 p y x q y x y x p q 解 原式 x y 2 1 y 2020 4 8 205 2 运用公式法 a2 b2 a b a b 平方差公式 a2 2ab b2 a b 2 完全平方公式 a2 2ab b2 a b 2 完全平方公式 运用公式法中主要使用的公式有如下几个 例题 把下列各式分解因式 x2 4y2 9x2 6x 1 解 原式 x2 2y 2 x 2y x 2y 解 原式 3x 2 2 3x 1 1 3x 1 2 2020 4 8 206 十字相乘法 公式 x2 a b x ab x a x b 例题 把下列各式分解因式 X2 5x 6 a2 a 2 解 原式 x 2 x 3 解 原式 a 1 a 2 2020 4 8 207 分组分解法 分组的原则 分组后要能使因式分解继续下去 1 分组后可以提公因式 2 分组后可以运用公式 例题 把下列各式分解因式 3x x2 y2 3y x2 2x 4y2 1 解 原式 x2 y2 3x 3y x y x y 3 x y x y x y 3 解 原式 x2 2x 1 4y2 x 1 2 2y 2 x 1 2y x 1 2y 2020 4 8 208 对任意多项式分解因式 都必须首先考虑提取公因式 对于二项式 考虑应用平方差公式分解 对于三项式 考虑应用完全平方公式或十字相乘法分解 一提 二套 三分 四查 再考虑分组分解法 检查 特别看看多项式因式是否分解彻底 2020 4 8 209 把下列各式分解因式 x3y3 2x2y2 xy 1 4x2 16y2 2 x2 xy y2 4 81a4 b4 6 x y 2 6x 6y 9 2x y 2 2 2x y 1 x2y2 xy 12 8 x 1 x 5 4 解 原式 4 x2 4y2 4 x 2y x 2y 解 原式 x2 2xy y2 x y 2 解 原式 xy x2y2 2xy 1 xy xy 1 2 解 原式 9a2 b2 9a2 b2 9a2 b2 3a b 3a b 解 原式 2x y 1 2 解 原式 x y 2 6 x y 9 x y 3 2 解 原式 xy 4 xy 3 解 原式 x2 6x 5 4 x 3 2 2020 4 8 210 应用 1 若100 x2 kxy 49y2是一个完全平方式 则k 140 2 计算 2 101 2 100 3 已知 2x 3 0 求代数式x x2 x x2 5 x 9的值 解 原式 2 2 100 2 100 2 100 2 1 2100 1 2100 解 原式 x3 x2 5x2 x3 9 4x2 9 2x 3 2x 3 又 2x 3 0 原式 0 2020 4 8 211 整式的乘法和乘法公式 2020 4 8 212 整式的乘法 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 单项式的乘法 2020 4 8 213 整式的乘法 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 单项式