高考数学 专题辅导与训练 2.3《导数的简单应用》课件 文.ppt

热点考向1利用导数解决曲线的切线问题 例1 2011 新课标全国卷改编 已知函数曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为x 2y 3 0 求a b的值 解题指导 解答该题先求f x 再根据f 1 对应为切线x 2y 3 0的斜率 切点 1 f 1 既在切线上又在曲线y f x 上 建立关于a b的方程组 从而求解 规范解答 由于直线x 2y 3 0的斜率为且过点 1 1 故解得a 1 b 1 求曲线切线方程的步骤 第一步 求出函数y f x 在点x x0的导数f x0 即曲线y f x 在点p x0 f x0 处切线的斜率 第二步 已知或求得切点坐标p x0 f x0 由点斜式得切线方程为y f x0 f x0 x x0 1 当曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线平行于y轴 此时导数不存在 时 由切线定义可知 切线方程为x x0 2 当切点坐标未知时 应首先设出切点坐标 再求解 对于函数f x x3 a 1 x a g x xlnx 若y f x y g x 在x 1处的切线相互垂直 求这两个切线方程 解析 f x 3x2 a 1 g x lnx 1 f 1 2 a g 1 1 两曲线在x 1处的切线互相垂直 2 a 1 1 a 3 f 1 1 f 1 0 y f x 在x 1处的切线方程为x y 1 0 同理y g x 在x 1处的切线方程为x y 1 0 热点考向2利用导数研究函数的单调性问题 例2 12分 2011 北京模拟 已知函数f x alnx 2ax 3 a 0 1 求函数f x 的单调区间 2 函数y f x 的图象在x 2处的切线的斜率为若函数 f x m 在区间 1 3 上不是单调函数 求实数m的取值范围 解题指导 1 先求f x 再分a 0 a0 f x 0时 由f x 0可得由f x 0可得 f x 的单调递增区间为单调递减区间为 4分当a0即f x 0即 f x 的单调递增区间为单调递减区间为 6分 2 由得a 1 f x lnx 2x 3 8分 g x x2 4 2m x 1 9分 g x 在区间 1 3 上不是单调函数 则g x 在 1 3 上的值不能恒正或恒负 又g 0 1 11分 即 12分 互动探究 若本例 2 中函数g x 在 1 3 上为单调减函数 试求实数m的取值范围 解析 由例题 2 解析知 g x x2 4 2m x 1 g x 在区间 1 3 上单调递减 所以g x x2 4 2m x 1 0在 1 3 上恒成立 即 在 1 3 上恒成立 又在 1 3 上单调递减 1 利用导数研究函数单调性的步骤 第一步 确定函数f x 的定义域 第二步 求f x 第三步 解方程f x 0在定义域内的所有实数根 第四步 将函数f x 的间断点 即f x 的无定义点 的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来 分成若干个小区间 第五步 确定f x 在各小区间内的符号 由此确定每个区间的单调性 1 当一个函数的递增或递减区间有多个时 不能盲目地将它们取并集 2 当f x 不含参数时 也可以通过解不等式f x 0 或f x 0 直接得到单调递增 或递减 区间 2 根据函数的单调性求参数取值范围的思路 1 求f x 2 将单调性转化为导数f x 在该区间上满足的不等式 再求解 已知函数f x x2 alnx a r 1 若a 2 求证 f x 在 1 上是增函数 2 若f x 在 1 e 上是增函数 求实数a的取值范围 解析 1 当a 2时 f x x2 2lnx 当x 1 时 故函数f x 在 1 上是增函数 2 要使f x 在 1 e 上为增函数 只要在 1 e 上恒成立即可 亦即 2x2 a 0 a 2x2 又在 1 e 上 2x2 min 2 a 2 当a 2时f x 在 1 e 上是增函数 热点考向3利用导数研究函数的极值 最值 问题 例3 12分 2011 南京模拟 已知函数的图象过坐标原点o 且在点 1 f 1 处的切线的斜率是 5 1 求实数b c的值 2 求f x 在区间 1 2 上的最大值 解题指导 1 根据 1 1 求f x x3 x2 bx c的导数 由f 0 0 f 1 5 得b c的值 2 分 1 x 1及1 x 2讨论得f x 在 1 2 上的最大值 规范解答 1 当x 1时 f x x3 x2 bx c 则f x 3x2 2x b 依题意得 解得b c 0 2分 2 由 1 知 当 1 x 1时 4分令f x 0得x 0或当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 又所以f x 在 1 1 上的最大值为2 8分 当1 x 2时 f x alnx 当a 0时 f x 0 f x 最大值为0 当a 0时 f x 在 1 2 上单调递增 所以f x 在 1 2 最大值为aln2 10分综上 当aln2 2时 即时 f x 在区间 1 2 上的最大值为2 当aln2 2时 即时 f x 在区间 1 2 上的最大值为aln2 12分 1 求函数y f x 在某个区间上的极值的步骤第一步 求导数f x 第二步 求方程f x 0的根x0 第三步 检查f x 在x x0左右的符号 左正右负 f x 在x x0处取极大值 左负右正 f x 在x x0处取极小值 2 求函数y f x 在区间 a b 上的最大值与最小值的步骤第一步 求函数y f x 在区间 a b 内的极值 极大值或极小值 第二步 将y f x 的各极值与f a f b 进行比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 1 利用导数研究函数的极值和最值时 应首先考虑函数的定义域 2 导数值为0的点不一定是函数的极值点 它是函数在该点取得极值的必要而不充分条件 设函数 1 试问函数f x 能否在x 1时取得极值 说明理由 2 若a 1 当x 3 4 时 函数f x 与g x 的图象有两个公共点 求c的取值范围 解析 1 由题意f x x2 2ax a 假设在x 1时f x 取得极值 则有f 1 1 2a a 0 a 1 而此时 f x x2 2x 1 x 1 2 0 函数f x 在r上为增函数 无极值 这与f x 在x 1处有极值矛盾 所以f x 在x 1处无极值 2 设f x g x 则有 设令f x x2 2x 3 0 解得x 1或x 3 列表如下 由此可知 f x 在 3 1 3 4 上是增函数 在 1 3 上是减函数 当x 1时 f x 取得极大值f 1 当x 3时 f x 取得极小值f 3 9 且f 3 9 如果函数f x 与g x 的图象有两个公共点 则函数f x 与g x 有两个公共点 所以 分类讨论思想 解答含有参数的问题分类讨论思想 分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解 或分割 成若干个基础性问题 通过对基础问题的解答来实现解决原问题的思想策略 含参数问题的主要类型 1 含有参数的方程的求解问题 2 含有参数的不等式的求解问题 3 含有参数的函数的单调性 极值 最值 问题 4 二元二次方程表示曲线类型的判定问题 求解时注意的问题 1 应全面分析参数变化引起结论的变化情况 进行分类讨论 在分类时要本着最简原则 做到分类合理 不重不漏 2 对参数的分类讨论 最后要将结果进行整合 典例 12分 2011 广东高考 设a 0 讨论函数f x lnx a 1 a x2 2 1 a 的单调性 解题指导 先求f x 的导函数 再由a的不同取值范围 解不等式f x 0或f x 0 从而确定f x 的单调区间 但要注意f x 的定义域