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行程问题 1 行程问题是专门研究物体在运动时 其速度 时间和路程三者的关系的应用题 主要数量关系是 路程 速度 时间 1 两个物体在同一直线 或曲线 上运动时 可能同向 可能相向 反向 还可能相背 指在同一点向两个相反的方向运动 主要包括 相遇问题 追及问题 流水问题和火车过桥问题 2 如果两物体在同一直线 或曲线 上的两个不同点同时相向而行 到相遇时 为相遇问题 其基数量关系为 路程 甲的速度 乙的速度 时间也表示为路程 速度和 相遇时间相遇时间 路程 速度和速度和 路程 相遇时间 一 行程问题的基本关系 2 追及问题 追及问题是指两个运动的物体在运动过程中异地同时同向而行 速度快的物体从后面追上慢的物体的行程问题 追及时间 追及路程 路程差 速度差追及路程 路程差 速度差 追及时间速度差 追及路程 路程差 追及时间 3 火车过桥 火车过桥问题是指 火车过桥 火车过隧道 两列火车相向而行 队伍过桥等行程问题应用题 在考虑这类问题时 我们在考虑速度 时间 路程的同时 还要考虑火车 队伍 桥梁 隧道 本身的长度 一般情况下 路程 指的是 车长 桥长 车长 隧道长或两列火车的长 与我们原来学的行程问题的区别在于 我们原来学过的行程问题都是把行进中的物体看成 点 所以不考虑其长度 在火车过桥问题中把行进中的物体或参照的物体都看成了 线 有了一定的长度 4 流水问题 船在江河中航行 顺水要快 逆水要慢 一般有 顺水速度 船速 水速 船速指船在静水中的速度 水速批水流速度 逆水速度 船速 水速如果已知船的顺水速度和逆水速度 由和差问题解法 可得 船速 顺水速度 逆水速度 2水速 顺水速度 逆水速度 2 5 相遇路程 速度和 相遇时间相遇时间 相遇路程 速度和速度和 相遇路程 相遇时间 相遇问题公式 6 例1 1 小强和小明两人同时从家中出发相向而行 小强每分钟走50米 小明每分钟走70米 经过20分钟两人相遇 问 1 他们两家相距多少米 2 3分钟时 他们还相距多少米 3 30分钟时 他们相距多少米 7 例1 2 甲 乙两列火车从相距770千米的两地相向而行 甲车每小时行45千米 乙车每小时行41千米 乙车先出发2小时后 甲车才出发 甲车几小时后与乙车相遇 疯狂操练 甲 乙两地相距300千米 客车从甲地开往乙地 每小时行40千米 1小时后货车从乙地开住甲地 每小时行60千米 货车出发几小时后与客车相遇 8 例2 1 甲乙两人同时从两地骑自行车相向而行 甲每小时行18千米 乙每小时行20千米 两人相遇时距中点3千米 甲乙两地相距多少千米 分析 甲乙两人相遇时 乙比甲多走了 千米 由于乙每小时比甲多走 千米 则出发后 小时相遇 然后根据 路程 速度和 相遇时间求出总路程 解 乙比甲一共多走的路程 千米 乙比甲每小时多走的路程 20 18 千米 相遇时间 小时 甲乙两地的路程 20 18 114 千米 答 甲乙两地相距114千米 在这题中用到了路程差与速度差 相遇时间 路程差 速度差 9 1 甲 乙两车同时从东西两地相向开出 甲车每小时行56千米 乙车每小时行48千米 两车在距中点32千米处相遇 东西两地相距多少千米 2 甲 乙两人从A B两地同时出发相向而行 甲每分钟行80米 乙每分钟行60米 几分钟后两人在距中点180米处相遇 A B两地的距离是多少 10 例2 2 快车和慢车同时从甲 乙两地相向开出 快车每小时行40千米 经过3小时 快车已驶过中点25千米 这时快车与慢车还相距7千米 慢车每小时行多少千米 11 1 兄弟二人同时从学校和家中出发 相向而行 哥哥每分钟行120米 5分钟后哥哥已超过中点50米 这时兄弟二人还相距30米 弟弟每分钟行多少米 2 汽车从甲地开往乙地 每小时行32千米 4小时后 剩下的路比全程的一半少8千米 如果改用每小时56千米的速度行驶 再行几小时到乙地 练习四 12 例3 两地相距900米 甲 乙二人同时 同地向同一个方向行走 甲每分钟走80米 乙每分钟走100米 当乙到达目标后 立即返回 与甲相遇 从出发到相遇共经过多少分钟 疯狂练习 甲 乙两站相距360千米 客车 货车同时从甲站出发驶向乙站 客车每小时行60千米 货车每小时行40千米 客车到达乙站后又以原速立即返回甲站 与货车相遇 从出发到相遇共经过几小时 13 例4 两辆汽车从相距500千米的两城同时出发 相向而行 一辆摩托车以每小时80千米的速度在两汽车之间不断往返联络 乙知两汽车的速度分别为每小时40千米和60千米 求两汽车相遇时摩托车一共行了多少千米 练习 小明和小红从相距12千米的两地同时出发 相向而行 小强负责骑自行车以每小时10千米的速度在两人之间不停往返联络 已知小明每小时走3千米 小红每小时走2千米 两人相遇时 小强一共行了多少千米 14 例5 1 甲 乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去 甲每小时比乙快6千米 中午12时甲到西村后立即返回东村 在距西村15千米处遇到乙 求东 西两村相距多少千米 15 例5 2 甲 乙两车分别从A B两地相向而行 甲车每小时行40千米 乙车每小时行50千米 两车第一次相遇后继续前进 到达A B两城后立即返回 两车再次相遇时 用了4小时 求A B两地的距离是多少 练习 1 客车和货车同时从甲 乙两城相对开出 客车每小时行80千米 货车每小时行70千米 两车相遇后又继续前进 到达甲 乙两城后又立即返回 两车再次相遇 客车比货车多行了45千米 甲 乙两城之间的路程是多少米 甲乙共行全程数 相遇次数 2 1甲乙共行路程 在单个全程所行路程 共行全程数 16 2 甲 乙两列车同时从A B两地相对开出 第一次在离A地80千米处相遇 相遇后两列车继续前进 到达目的地后又立刻返回 第二次相遇在离B地60千米处 求A B两地距离例6 甲 乙 丙三辆车的速度分别是每小时70千米 60千米 50千米 甲在公路的A处 乙 丙在公路的B处 三人同时出发 甲与乙 丙相向而行 甲和乙相遇1小时后 甲和丙相遇 求A B之间的距离 17 甲乙两车分别以不同的速度同时从A B两城相对开出 第一次在离A城80千米处相遇 相遇后继续以原速前进 到达目的地又立刻返回 第二次在离A城50千米处相遇 求A B距离 18 1 相遇问题路程和 速度和 相遇时间追及问题路程差 速度差 追及时间2 多次相遇线型路程 甲乙共行全程数 相遇次数 2 1环型路程 甲乙共行全程数 相遇次数其中甲共行路程 单在单个全程所行路程 共行全程数 19 追及问题是指两个运动的物体在运动过程中同时同向而行 速度快的物体从后面追上慢的物体的行程问题 追及问题 追及路程 速度差 追及时间追及时间 追及路程 速度差速度差 追及路程 追及时间 20 明确概念 速度差 快车比慢车单位时间内多行的路程 即快车每小时或每分钟比慢车多行的路程 追及时间 快车追上慢车相差的时间 追及距离 路程差 快车开始和慢车相差的路程 21 例 兔子在狗前面150米 一步跳2米 狗更快 一步跳4米 兔子跳一步的同时狗也跳一步 狗追上兔子需要几步 4 2 2 米 150 2 75 步 答 狗追上兔子需要跳75步 22 甲 乙两人沿运动场的跑道跑步 甲每分钟跑290米 乙每分钟跑270米 跑道一圈长400米 如果两人同时从起跑线上同方向跑 那么甲经过多少时间才能第一次追上乙 例 23 在400米的环形跑道上 甲 乙两人同时同地起跑 如果同向而行3分钟20秒相遇 如果背向而行40秒相遇 已知甲比乙快 求甲 乙的速度 例 24 小明和小红两家相距520米 两人从家中出发 在同一条路上行走 小明的速度是70米 分 小红的速度是60米 分 3分钟后两人相距多少米 例 25 例1 甲乙两人结伴出去春游 每分钟走50米 出发12分钟时 甲回家取照相机 乙以继续前行 甲到家后骑自行车以每分钟200米的速度追赶乙 甲骑自行车多少分钟追上乙 分析 先作线段图追及路程为 两个 分钟所走的路程 50 12 1200米解 50 12 2 200 50 1200 150 8 分钟 答 甲骑车8分钟追上乙 26 例2 龟兔2000米赛跑 龟每分钟跑25米 兔每分钟跑320米 兔自以为比龟跑得快 就在途中睡了一觉 结果龟与兔同时到达终点 兔在途中睡了多少分钟 分析 知道路程与速度求时间 只要根据关系式就可以求出来 现在要求兔在途中睡觉的时间 就要求出龟跑全程的时间 兔跑全程的时间 知道这两个时间以后就可以求出兔睡觉的时间 27 甲 乙两车同时从A B两地相向而行甲车每小时行75千米 乙车每小时行60千米 相遇后续继前进 到达A B两地后立即返回 第二次相遇 甲车比乙车多走了90千米 求甲 乙两地的距离 28 甲 乙 丙三人都从A地到B地 早晨六点钟 甲 乙两人一起从A地出发 甲每小时走5千米 乙每小时走4千米 丙上午八时才从A地出发 傍晚六点 甲和丙同时到达B地 问丙什么时候追上乙 例3 29 流水行船问题 一 流水行船问题属于行程应用题 难点在于弄清船在水中运行的速度 这类应用题我们在四年级的时候已经接触过 对其基本的数量关系已经有所了解 30 顺水速度 船速 水速逆水速度 船速 水速顺水速度 路程 顺水时间逆水速度 路程 逆水时间如果已知船的顺水速度和逆水速度 由和差问题解法 可得 船速 顺水速度 逆水速度 2水速 顺水速度 逆水速度 2 公式 31 例1船在静水中的速度是每小时15千米 水流速度是每小时3千米 船从上游乙港到下游甲港航行要24小时 从甲港返回乙港要多少小时 分析 知道船速和水速 就能知道船的顺水速度与逆水速度 也就能求出两港的水路距离 知道水路距离后 求返回的时间就拿路程除以逆水速度就可以了 解 甲乙两港的距离 15 3 24 432 千米 返回时所要的时间 432 15 3 36 小时 答 从甲港返回时需要36小时 32 例2甲乙两地间的水路长180千米 一只船从甲到乙 顺流6小时到达 从乙返回甲 逆流9小时到达 求船速和水速 解 顺水速度 180 6 30 千米 小时 逆水速度 180 9 20 千米 小时 船速 30 20 2 25 千米 小时 水速 30 20 2 5 千米 小时 答 船速是每小时25千米 水速是每小时5千米 我们用和差公式求船速和水速 33 课堂小结 1 加深对概念的理解 2 行程问题的关系式 和差问题的解法 四 练习作业 1 甲乙两港之间水路长234千米 一只船从甲港到乙港要9小时 从乙港到甲港要13小时 问船速与水速各为多少 2 一只船在静水中速度为每小时30千米 在176千米长河中逆水行了11小时 求返回原处需要几小时 3 南京到上海水路长396千米 下午6点一只货轮从上海港开往南京 每小时行20千米 晚上9点 一只客船从南京港开往上海 每小时行28千米 几小时后与货船相遇 34 已知80千米水路 甲船顺流而下需要4小时 逆流而上需要10小时 如果乙船顺流而下需5小时 问乙船逆流而上需要几小时 甲 乙两港相距360千米 一轮船往返两港需要35小时 逆流航行比顺流航行多花5小时 另一机帆船每小时行12千米 这只机帆船往返两港需要多少小时 35 例3 甲 乙两港相距360千米 一轮船往返两港需要30小时 逆流航行比顺流航行多花了6小时 现有一机帆船 静水中的速度是每小时10千米 问这机帆船往返两港要多少小时 分析 从轮船往返两港共需要30小时 逆流比顺流多花6小时 可知 逆流用18小时 顺流12小时 从而求出轮船的顺水速度与逆水速度 再求出水速 最后求机帆船往返两港之间所需要的时间 36 解 轮船逆水所花的时间 30 6 2 18 小时 轮船顺水所花的时间 30 6 2 12 小时 轮船顺水速度 360 12 30 千米 小时 轮船逆水速度 360 18 20 千米 小时 水流速度 30 20 2 5 千米 小时 机帆船往返两港需要的时间 360 10 5 360 10 5 24 72 96 小时 答 这机帆船往返两港需要96小时 例3 甲 乙两港相距360千米 一轮船往返两港需要30小时 逆流航行比顺流航行多花了6小时 现有一机帆船 静水中的速度是每小时10千米 问这机帆船往返两港要多少小时 37 例4 已知一轮船顺水行48千米需要4小时 逆水行48千米需要6小时 现在这一轮船从上游A城到下游B城 全长72千米 开始时失落一木板于江中 船到B城时 木板离B城还有多少千米 分析 木板失落江中 漂流的速度就是水流速度 解 轮船顺水速度 48 4 12 千米 小时 轮船逆水速度 48 6 8 千米 小时 水流速度 木板速度 12 8 2 2 千米 小时 船从A到B的时间 72 12 6 小时 木板漂流的路程 2 6 12 千米 木板距B城的距离 72 12 60 千米 答 木板离B城60千米 38 四 练习作业 1 甲船从东港到西港要6小时 乙船从西港互东港要4小时 现在两船同时从东西两港出发相向而行 在离中点18千米处相遇 东西两港相距多少千米 2 一只小船逆流而上 一个水壶从船上掉入水中 发现时水壶已与船相距3千米 已知小船的速度是每小时6千米 水流速度是每小时2千米 小船调头后需要多长时间可追上水壶 3 一位少年短跑选手 顺风跑90米用了10秒钟 在同样的风速下 逆风跑70米用了10秒钟 问 在无风的时候 他跑100米要用多少秒 39 三 课堂小结行程问题的关键就是速度 时间与路程这三个量 怎样去灵活运用这三个量 去解决一些实际的问题 这就是一种能力 比较流水行船问题与前面所学的相遇问题及追及问题 40 一位少年短跑手 顺风10秒钟跑了90米 在同样的风速下 逆风跑了70米 也用了10秒钟 问在无风的时候 他跑100米要用多少秒 41 火车过桥问题 一 知识要点 火车过桥问题是指 火车过桥 火车过隧道 两列火车相向而行 队伍过桥等行程问题应用题 在考虑这类问题时 我们在考虑速度 时间 路程的同时 还要考虑火车 队伍 桥梁 隧道 本身的长度 一般情况下 路程 指的是 车长 桥长 车长 隧道长或两列火车的长 与我们原来学的行程问题的区别在于 我们原来学过的行程问题都是把行进中的物体看成 点 所以不考虑其长度 在火车过桥问题中把行进中的物体或参照的物体都看成了 线 有了一定的长度 42 二 例题分析例1 一列火车长700米 从路边的一棵大树旁边通过 用了1 75分钟 求火车的速度 分析 火车从大树旁边通过是指从车头到大树到车尾离开大树 如果我们把大树看作静止的 在1 75分钟内 车尾从与大树相距700米 火车长 到与大树相遇 可求出火车的速度 解 700 1 75 400 米 分钟 答 火车的速度是每分钟400米 43 火车过桥啦 例2一列火车长300米 每秒钟行20米 全车通过200米长的大桥 需要多少时间 44 例3 一列火车长700米 从路边的一棵大树旁边通过 用了1 75分钟 以同样的速度通过一座在桥 从车头上桥到车尾离桥共用了4分钟 这座大桥长多少米 解 火车速度 700 1 75 400 米 分钟 大桥长度 400 4 700 900 米 答 这座大桥长900米 45 例4 一列火车以每小时72千米的速度全车过一座长738米的桥 行了52秒钟 这列火车长多少米 分析 火车从车头进桥就开始过桥了 当车头行完桥时 全车还在桥上 到车尾离开桥时 才是全桥过了桥 这时火车行的路程是桥长与火车长的和 火车行的路程减去桥长得火车的长 解 72千米 时 20米 秒火车全车过桥行20 52 1040 米 火车车长1040 738 302 米 答 这座大桥长900米 46 例5 某人沿着铁路边的便道步行 一列火车从身后开来 在身旁通过的时间是15秒 火车车长105米 每小时的速度是28 8千米 求步行的人每小时行多少千米 分析 这是一追及问题应用题 追及的路程就是火车的长度 运动的物体有两个 一个是人 把人看作为一个点 一个是火车 把火车看作为一条 线 解 火车速度 28 8千米 小时 8米 秒追及速度 速度差 105 15 7 米 秒 人步行速度 8 7 1 米 秒 1米 秒 3 6千米 小时答 步行速度是每小时3 6千米 47 三 课时小结今天我们学习了什么 火车过桥时 路程除了要考虑桥的长度外还要考虑火车本身的长度 四 练习作业1 一列客车以每小时72千米的速度行驶 客车司机发现对面开来一列货车 速度是每小时54千米 这列货车从他身边驶过用了6秒钟 求这列货车的长 2 一列火车全长300米 每秒行驶20米 全车通过200米长的大桥 需要多少时间 3 一列火车长152米 它的速度是每小时63 36千米 一个人与火车相向而行 全车从他身边开过共用了8秒钟 这个人的步行速度是每秒多少米 4 一列火车通过199米的车站要80秒 用同样的速度通过175米长的铁桥要74秒 这列火车的速度和火车的长度各是多少 48 练习 快车每秒行30米 慢车每秒行22米 若两车齐头并进 则快车24秒超过慢车 若两车齐尾并进 则快车28秒超过慢车 求快慢车两车各长多少米 49 讲授例题例6 一列客车长190米 一列货车长260米 两车分别以每小时90千米和72千米的速度相向而行 在双轨铁路上交会时 从车头相遇到车尾相离共需要多少时间 分析 本题我们可以以车尾为标准点 把两车头相遇时看出是出发点 把两车的长度和看作是路程 变成一个简单的相遇问题 解 90千米 小时 25米 秒72千米 小时 20米 秒 190 260 25 20 10 秒 答 从车头相遇到车尾相离共需要10秒 想一想 为什么要把速度化成每秒多少米来进行计算 50 例7 五年级甲班50人 五年级乙班48人 两班进行队列训练 分别排成一个纵队 每两人之间相离1米 两班第一名同学站在同一起点 两班同时出发 甲班每分钟走40米 乙班每分钟走50米 出发多少分钟后 乙班最后一名同学与甲班第一名同学相遇 分析 本题的关键是要求出两列队伍的长度 但甲班队伍的长在这里可以不求 然后按追及问题的解法