18“圆锥曲线与方程”单元测试

“圆锥曲线与方程”单元测试 (第一卷)一、选择题：（每小题5分，计50分）1、(2008海南、宁夏文)双曲线的焦距为（ ）A. 3B. 4C. 3D. 42.（2004全国卷文、理）椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则= （ ）A B C D43（2006辽宁文）方程的两个根可分别作为（）一椭圆和一双曲线的离心率两抛物线的离心率一椭圆和一抛物线的离心率两椭圆的离心率4（2006四川文、理）直线3与抛物线交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为（ ）（A）48. （B）56 （C）64 （D）72.5.(2007福建理)以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( )A. B. C . D. 6（2004全国卷理）已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）A B C D7（2005湖北文、理）双曲线离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为（ ）A B C D8. (2008重庆文)若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则p的值为 ( )(A)2 (B)3(C)4 (D)4 9（2002北京文）已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么 双曲线的渐近线方程是（ ）ABCD10（2003春招北京文、理）在同一坐标系中，方程的曲线大致是( )二、填空题：（每小题5分，计20分）11. （2005上海文）若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是，则椭圆的标准方程是_12(2008江西文)已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 13.（2007上海文）以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 14.(2008天津理)已知圆C的圆心与抛物线的焦点关于直线对称.直线 与圆C相交于两点，且,则圆C的方程为 .“圆锥曲线与方程”单元测试 (第二卷)一、选择题：（每小题5分，计50分）二、填空题：（每小题5分，计20分） 11._, 12._, 13._, 14._. 三、解答题：（1518题各13分，19、20题各14分）15.（2006北京文）椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且 （）求椭圆C的方程； ()若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M, 交椭圆C于两点, 且A、B关于点M对称,求直线l的方程.16（2005重庆文）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（1）求双曲线C的方程； （2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点）. 求k的取值范围.17.(2007安徽文)设F是抛物线G:x2=4y的焦点. ()过点P（0，-4）作抛物线G的切线,求切线方程:()设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足,延长AF、BF分别交抛物线G于点C,D，求四边形ABCD面积的最小值.18(2008辽宁文) 在平面直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为 （）写出C的方程；（）设直线与C交于A，B两点k为何值时？此时的值是多少？19. （2002广东、河南、江苏）A、B是双曲线x21上的两点，点N(1,2)是线段AB的中点(1)求直线AB的方程；(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？20.（2007福建理)如图，已知点F（1，0），直线l：x1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且。 (1)求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知，求的值。“圆锥曲线与方程”单元测试（参考答案）一、选择题：（每小题5分，计50分）二、填空题：（每小题5分，计20分）11.； 12 13. 14. .三、解答题：（1518题各13分，19、20题各14分）15.解：()因为点P在椭圆C上，所以，a=3.在RtPF1F2中，故椭圆的半焦距c=,从而b2=a2c2=4, 所以椭圆C的方程为1.()解法一：设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）. 已知圆的方程为（x+2）2+(y1)2=5,所以圆心M的坐标为（2，1）. 从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0. 因为A，B关于点M对称.， 所以 解得， 所以直线l的方程为 即8x-9y+25=0. (经检验，所求直线方程符合题意) () 解法二：已知圆的方程为（x+2）2+(y1)2=5,所以圆心M的坐标为（2，1）. 设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且 由得 因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=4, y1+ y2=2,代入得，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y1（x+2），即8x9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)16解：（）设双曲线方程为 由已知得 故双曲线C的方程为（）将 由直线l与双曲线交于不同的两点得即 设，则，而于是 由、得 故k的取值范围为17.解：（）设切点知抛物线在Q点处的切线斜率为，故所求切线方程为 即因为点P（0，-4）在切线上，所以 所以切线方程为y=2x-4.()设 由题设知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设k0.因直线AC过焦点F（0，1），所以直线AC的方程为y=kx+1.点A，C的坐标满足方程组 消去y，得由根与系数的关系知同理可求得当k=1时，等号成立.所以，四边形ABCD面积的最小值为32.18解：（）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆它的短半轴，故曲线C的方程为 （）设，其坐标满足消去y并整理得， 故 ，即 而，于是所以时，故 当时，而，所以19.解：(1)依题意，可设直线方程为yk(x1)2代入x21，整理得 (2k)x22k(2k)x(2k)220 记A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1、x2是方程的两个不同的实数根，所以2k20,且x1x2由N(1,2)是AB中点得(x1x2)1 k(2k)2k2，解得k1，所易知 AB的方程为yx1.(2)将k1代入方程得x22x30，解出 x11,x23，由yx1得y10,y24即A、B的坐标分别为(1,0)和(3，4)由CD垂直平分AB，得直线CD的方程为y(x1)2，即 y3x ，代入双曲线方程，整理，得 x26x110 记C(x3,y3),D(x4,y4)，以及CD中点为M(x0,y0)，则x3、x4是方程的两个的实数根，所以 x3x46, x3x411， 从而 x0(x3x4)3,y03x06 |CD| |MC|MD|CD|2， 又|MA|MB|即A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆.20.（）解法一：设点，则，由得：PBQMFOAxy，化简得（）解法二：由得：， 所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：（）设直线的方程为：设，又，联立方程组，消去得：，故由，得：，整理得：，=-2-=0.历届高考中的“圆锥曲线与方程”解答题选讲28.(2008重庆文) 如图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足： ()求点P的轨迹方程; ()设d为点P到直线l:的距离,若,求的值.28.解：（I）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线.因此半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=,所以双曲线的方程为 . (II)解：设P（x,y），因|PN|1知|PM|=2|PN|22|PN|PN|,故P在双曲线右支上，所以x1.由双曲线方程有y2=3x2-3.因此从而由|PM|=2|PN|2得2x+1=2(4x2-4x+1)，即8x2-10x+1=0.所以x=(舍去x=). 有|PM|=2x+1=, d=x-=.故17.(2008全国卷文、理)双曲线的中心为原点,焦点在轴上,两条渐近线分别为,经过右焦点垂直于的直线分别交于两点.已知成等差数列,且与同向.()求双曲线的离心率； ()设被双曲线所截得的线段的长为4, 求双曲线的方程.17解：（1）设，由勾股定理可得：得：，由倍角公式，解得, 则离心率（2）过直线方程为, 与双曲线方程联立将，代入，化简有将数值代入，有, 解得最后求得双曲线方程为：26(2008天津文、理)已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是 （）求双曲线的方程；（）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围26（）解：设双曲线的方程为，由题设得 解得所以双曲线的方程为（）解：设直线的方程为，点，的坐标满足方程组,将式代入式，得，整理,得此方程有两个不等实根，于是，且整理得 由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足，从而线段的垂直平分线的方程为此直线与轴，轴的交点坐标分别为，由题设可得整理得，将上式代入式得，整理得，解得或所以的取值范围是16.(2008北京文)已知ABC的顶点A，B在椭圆上，C在直线l:y=x+2上，且ABl.（）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及ABC的面积；（）当ABC=90，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程.16. 解：（）因为ABl，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x.设A，B两点坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由得所以又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，所以（）设AB所在直线的方程为y=x+m. 由得因为A，B在椭圆上，所以设A，B两点坐标分别为（x1,y1），（x2,y2）.则所以又因为BC的长等于点（0,m）到直线l的距离，即所以所以当m=-1时，AC边最长.（这时）此时AB所在直线的方程为y=x-1.8、(2008海南、宁夏理)在直角坐标系xOy中，椭圆C1：的左、右焦点分别为F1、F2. F2也是抛物线C2：的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且。（1）求C1的方程；（2）平面上的点N满足，直线lMN，且与C1交于A、B两点，若=0，求直线l的方程。8解：（）由：知设，在上，因为，所以， 得，在上，且椭圆的半焦距，于是消去并整理得，解得（不合题意，舍去）故椭圆的方程为（）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，因为，所以与的斜率相同，故的斜率设的方程为设，由消去并化简得，因为，所以所以 此时，故所求直线的方程为，或11、（2007江苏）如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于，（1）若，求的值； (2)若为线段的中点,求证：为此抛物线的切线；(3)试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。11.解：（1）设过C点的直线为，所以，即，设A，则=，因为，所以，即，所以，即所以（2）设过Q的切线为，所以，即，它与的交点为M，又，所以Q，因为,所以，所以M,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q，因为PQ轴，所以因为，所以P为AB的中点。12（2007山东文、理）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1 （1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点求证：直线过定点，并求出该定点的坐标12解：（1）由题意设椭圆的标准方程为，由已知得：， a=2 , c=1 , 椭圆的标准方程为（2）设联立 消去y，整理得，则又因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，即解得：，且均满足当时，的方程，直线过点，与已知矛盾；当时，的方程为，直线过定点所以，直线过定点，定点坐标为8(2007海南、宁夏理)在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和 （I）求的取值范围；（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由8解：（）由已知条件，直线的方程为，代入椭圆方程得整理得直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，解得或即的取值范围为（）设，则，由方程，又而所以与共线等价于，将代入上式，解得由（）知或，故没有符合题意的常数（第26题）26.（2007浙江文、理）（本题14分）如图，直线与椭圆交于两点，记的面积为 （I）求在，的条件下，的最大值；（II）当，时，求直线的方程26.本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力满分14分（）解：设点的坐标为，点的坐标为，由，解得，所以当且仅当时，取到最大值（）解：由得， 设到的距离为，则， 又因为，所以，代入式并整理，得，解得，代入式检验，故直线的方程是或或，或2.(2006北京理)已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为. ()求的方程； ()若是上的不同两点,是坐标原点,求的最小值.2.解（）由知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长，又半焦距c=2，故虚半轴长所以W的方程为（）解：设A，B的坐标分别为（），（）当当AB与x 轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，与W的方程联立，消去y得：故所以 又因为综上，当取得最小值2。10（2006全国卷理）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B,且向量.求：()点M的轨迹方程；()的最小值。10.解: 椭圆方程可写为: + =1 式中ab0 , 且 得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为: x2+ =1 (x0,y0). y=2(0x1) y = 设P(x0,y0),因P在C上,有0x01,y2) ()| |2= x2+y2, y2= =4+ , | |2= x21+54+5=9.且当x21= ,即x=1时,上式取等号.故|的最小值为3.1（2006上海理）在平面直角坐标系O中，直线与抛物线2相交于A、B两点（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由1.解（1）设过点T(3,0)的直线交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,).=3；当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中，由得 又 ， ，综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题；(2)逆命题是：设直线交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,直线AB的方程为：，而T(3,0)不在直线AB上；说明：由抛物线y2=2x上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足=3，可得y1y2=6，或y1y2=2，如果y1y2=6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2，可证得直线AB过点(1,0),而不过点(3,0).1已知抛物线C：的焦点为F, 不经过坐标原点的直线与抛物线相交于两不同点，且以为直径的圆经过坐标原点O （1）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标（2）AFB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.1.解: (1)直线的斜率显然存在,又直线不经过坐标原点,故可设直线的方程为(b0)，并设，由， 消去y，整理得， 若以为直径的圆过坐标原点O，则，即 ， 将代入，得，解得，所以，直线的方程为，显然，直线过定点M（0，4）（2）由弦长公式得把代入上式，得 ，设点F（0，1）到直线：的距离为，则， ， 当时，有最小值，是12， 的面积存在最小值，最小值是12 2已知曲线C上的任意一点P到点F（0，1）的距离比它到直线m：的距离小3。不经过坐标原点的直线与曲线相交于两不同点，且以为直径的圆过坐标原点O （1）求曲线C的方程； （2）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标（3）AFB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.（4）设曲线在点A、B处的切线分别为、，证明与的交点必定在定直线m：上。2.解：（1）解法一：依题意，可知，曲线C是“平面内到定点F（0，1）的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹”，所以它是以F（0，1）为焦点，以直线为准线的抛物线。 所以，曲线C的方程是。（1）解法二：设点P的坐标为（x,y）, 依题意知点P必定在直线m的上方，即y-4, 于是 |PF|=|y+4|-3=y+4-3=y+1,所以，整理得所以，曲线C的方程是。它是以F（0，1）为焦点，以直线为准线的抛物线。 （2）直线的斜率显然存在,又直线不经过坐标原点,故可设直线的方程为(b0)，并设，由， 消去y，整理得， 若以为直径的圆过坐标原