课题第5讲三角恒等变换.doc

课题 第5讲 三角恒等变换，解三角形考点透析1 三角恒 等变换同角公式B正弦,余弦诱导公式B两角和（差）的正弦余弦和正切C二倍角的正弦余弦和正切B几个三角恒等式A2解三角形正弦定理，余弦定理及其应用B知识整合1. 三角函数式的化简这是三角函数的基本功,直接影响解题的速度和准确率,要熟记诱导公式,同角公式,两角和与差的公式倍角公式及其变形等.2. 三角式的求值非特殊角求值:转化为特殊角或通过约分求值条件求值:先化简条件,再寻找其联系注意角的范围,及拆角.3. 三角形中的边角关系:三角形中的边角定理:正弦定理,余弦定理,面积公式: , c2 = a2+b22bccosC,锐角三角形中任意两角,有射影定理： abcosCccosB，4. 可把角看成某两个向量的夹角,把线段长看成向量的模,以向量为工具,研究夹角与距离.考点自测1. （2010江西理数7）E，F是等腰直角ABC斜边AB上的三等分点，则 2. （2010福建理数1）= 3.若，则= 4.（2010江苏卷13）在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，则=_。高考热点一.三角函数式的化简三角函数式的化简是三角函数的基本功，涉及到同角公式，诱导公式，和角公式，倍角公式及其变形公式的简单运用，在解题中要注意三个变：变名，变次，变角。例1.已知函数（1）将函数化简成（，）的形式；（2）求函数的值域.【分析】: 运用平方关系式对与进行化简高考热点二.给值求角或给角求值无论是给值求角或给角求值，一定要把角放在第一位，要注意角与角之间有没有和差倍半的关系，是否互余互补，是否可以拆角。例2. （2010天津文数17）在ABC中，。（1）证明B=C：（2）若=-，求sin的值。【分析】本题主要考查两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力. 高考热点三.正余弦定理的综合应用解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算，要注意在使用正弦定理时可能会涉及到多解或无解问题。例3（2010南京信息卷15）在锐角中， 分别为角所对的边，且，确定角的大小： 若,且的面积为,求的值。【分析】：解斜三角形时，对相关的三角等式要么用余弦定理转化为边，要么用正弦定理转化为角来处理。1世纪教育网高考高考热点四.三角函数在实际问题中的应用三角函数在实际问题中的应用是这几年高考的热点，解决此类问题的关键在于两个步骤：1）1）熟练地运用三角公式，正确地建立数学模型，2）运用函数，导数，不等式等相关知识求解。例4（2010江苏卷17）某兴趣小组测量电视塔的高度(单位：），如示意图，垂直放置的标杆的高度，仰角。(1) 该小组已经测得一组、的值，=1.24，=1.20，请据此算出的值；(2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离（单位：），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125，试问为多少时，-最大？【分析】 主要考查如何运用解三角形的知识来建模，及利用基本不等式不等式来求解。误区分析:在锐角中，角的对边分别为 且满足. （1）求角的大小； （2）设,试求的取值范围. 试分析下列解法错在哪里?解: （1）因为,所以,即.而,所以，故 （2）因为,所以=由,可得,的范围是.随堂练习:1. 已知，则 2.（2010如皋期中6）已知，则的值是 3.= 4.在中，已知，的形状.为 5（2010南通一模15）已知向量，其中（1）若，求函数的最小值及相应x的值；（2）若a与b的夹角为，且ac，求的值6（2010镇江期末15）在中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；20070316 （2）设取最小值时，求值.学力测评1.已知 2.已知为锐角且，则的值等于。3化简为 4. 已知，则的值为。5.（2010盐城期末14）锐角的三边和面积满足条件,又角C既不是的最大角也不是的最小角,则实数的取值范围是 . ks5u6（2010南京三模10）如图，平面四边形中，, 7.在中,已知,若分别是角所对的边,则的最大值为 .8. （2010苏州五市三区期中7）.三边长为，对应角为，已知，则 9（2010苏锡常镇一模15）. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，（1）求的值；（2）求的值；（3）若ABC的面积，求a的值10（2010南通二模15）已知向量与共线，其中A是ABC的内角（1）求角的大小； （2）若BC=2，求ABC面积的最大值，并判断S取得最大值时ABC的形状.11（2010福建理数16） 设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且。 ()求角的值；()若，求（其中）。12（2010苏北四市二模19）.一走廊拐角下的横截面如图所示，已知内壁和外壁都是半径为1m的四分之一圆弧，分别与圆弧相切于两点，D，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m.（1） 若水平放置的木棒的两个端点分别在外壁和上，且木棒与内壁圆弧相切于点。设，试用表示木棒和长度。（2） 若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值。参考答案第5讲 三角恒等变形 解三角形考点自测1 2 3 44典型例题例1解：（1）（2）由得即故g(x)的值域为点评：本题考查了如何运用诱导公式，辅助角公式化简三角函数式。对题中的二次根式如何化简是解题的关键，此外，对含平方的代数式开二次方根一定要用绝对值过度一下，以免搞错符号。例2解：（1）证明：在ABC中，由正弦定理及已知得=.于是，即.因为，从而. 所以. （2）解：由和（1）得,故.又,于是=. 从而=，=. 所以点评：新课标中对三角函数求值的要求不高，一般变形次数不超过三次，整个解题过程中公式的使用不超过五个，然而在求值问题时部分同学经常会忽视角的范围，出现错误。例3解（1）由及正弦定理得， 21世纪教育网 是锐角三角形，（2）解法1：由面积公式得由余弦定理得21世纪教育网 由变形得解法2：前同解法1，联立、得消去b并整理得解得所以故 2点评：本题考查了正弦定理，余弦定理的使用，一般的在三角等式中若是含边的二次齐次式，往往用正弦定理把边转化为角解决较为方便，运算量小。例4（1），同理：，。 ADAB=DB，故得，解得：。因此，算出的电视塔的高度H是124m。（2）由题设知，得，（当且仅当时，取等号）故当时，最大。因为，则，所以当时，-最大。故所求的是m。点评：本题是一道三角函数应用题，从思想方法上它考查了如何分析题意，建立数学模型，从知识点上看不仅考查了和角公式，而且在解模的过程中运用了基本不等式，涉及到两个C级要求。2008年和2010年江苏高考数学卷中均出现了三角应用题，属中档题，对解模的要求较高。误区分析：上述解答错误在于未考虑角的具体范围，事实上角的范围受角、角的约束，正确解答为：由得,所以,从而故的取值范围是.随堂练习1 2- 3-1 4等腰三角形或直角三角形 5解：（1），令，则，且则， 时，此时由于，故 所以函数的最小值为，相应x的值为 （2） a与b的夹角为，ac， ，6解：（1），由正弦定理得： 化为： 在中 ，得：， （2）， ， , 得到:当时, 取最小值 , . . 学力测评1 2 3 4 5 6 7 8 9解：（解：（1） ， ， ，= （2），为锐角， ， ， = （3）， ， 又S=， ， 10解：（1）因为m/n,所以. 所以，即， 即. 因为 , 所以. 故，. （2）由余弦定理，得 . 又， 而，（当且仅当时等号成立） 所以. 当ABC的面积取最大值时，.又，故此时ABC为等边三角形. 11解：（1）因为 = 又为锐角，所以， （2）由，可得， 即，又，将及上式代入，得，+2，得，所以，又，得12解：NMABCDEFGHPS1m1mTQW(1)如图，设圆弧所