0810线性代数真题及答案

浙 04184 线性代数 经管类 试题 第 1 页 共 10 页 全国 2008 年 10 月高等教育自学考试 线性代数 经管类 试题 课程代码 04184 说明 在本卷中 AT表示矩阵 A 的转置矩阵 A 表示矩阵 A 的伴随矩阵 E 是单位矩阵 A 表示方阵 A 的行列式 r A 表示矩阵 A 的秩 一 单项选择题 本大题共 10 小题 每小题 2 分 共 20 分 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的 请将其代码填写在题后的 括号内 错选 多选或未选均无分 1 设 A 为 3 阶方阵 且 A 3 1 3 1 AA为 A 9B 3 C 1D 9 3 1111 9 33273 AAAA 解 2 设 A B 为 n 阶方阵 满足 A2 B2 则必有 D A A BB A B C A B D A 2 B 2 3 已知矩阵 A B 则 AB BA A 10 11 11 01 A B 12 01 10 11 C D 10 01 00 00 11101011211110 01111101111021 ABBA 4 设 A 是 2 阶可逆矩阵 则下列矩阵中与 A 等价的矩阵是 D A B 00 00 00 01 C D 00 11 10 11 5 设向量 下列命题中 222221111122221111 dcbadcbacbacba 正确的是 B 浙 04184 线性代数 经管类 试题 第 2 页 共 10 页 A 若线性相关 则必有线性相关 21 21 B 若线性无关 则必有线性无关 21 21 C 若线性相关 则必有线性无关 21 21 D 若线性无关 则必有线性相关 21 21 6 已知是齐次线性方程组 Ax 0 的两个解 则矩阵 A 可为 A 1 3 2 1 2 1 A 5 3 1 B 112 135 C D 712 321 135 221 121 12 2 35 3 1 11 AO AOA 解由已知条件可得 7 设 m n 矩阵 A 的秩 r A n 3 n 3 是齐次线性方程组 Ax 0 的三个线性 无关的解向量 则方程组 Ax 0 的基础解系为 D A B C D 8 已知矩阵 A 与对角矩阵 D 相似 则 A2 C 100 010 001 A AB D C ED E 1 2 1211121 2 2 22111 100100100100 010010010010 001001001001 ADP APDP APDPAPDPPDP PDPPD P DE APD PPEPPPE 其中为可逆矩阵 而 浙 04184 线性代数 经管类 试题 第 3 页 共 10 页 9 设矩阵 A 则 A 的特征值为 B 001 010 100 A 1 1 0B 1 1 1 C 1 1 1D 1 1 1 001 0101 100 i A 10 设 A 为 n n 2 阶矩阵 且 A2 E 则必有 C A A 的行列式等于 1B A 的逆矩阵等于 E C A 的秩等于 nD A 的特征值均为 1 二 填空题 本大题共 10 小题 每小题 2 分 共 20 分 请在每小题的空格中填上正确答案 错填 不填均无分 11 已知行列式 则数 a 3 0 111 032 12 a 1 3 2121 23 23023011 13 111130 63 19303 aa a a aaa 1 按第3列展开 12 设方程组有非零解 则数 k 4 02 02 21 21 kxx xx 12 040 4 2 Akk k 13 设矩阵 A B 则 ATB 311 102 753 240 333 357 91119 21333 042 01357 357 1391119 T A B 浙 04184 线性代数 经管类 试题 第 4 页 共 10 页 14 已知向量组的秩为 2 则数 t 3 4 2 1 2 0 5 1 0 2 0 0 1 321 t 4 3 1 021 021 02 0 110 110 11 0 520 520 03 2 040 000 00 2 30 3 A A ttt r Att 2 5 将三个向量拼成一个的矩阵并化成简化行阶梯形矩阵 即 15 设向量 为为为为为 1 2 1 1 2 5 2 2 4 2 222 1 11255 2114 11 2442 i i a 16 设向量组 1 1 2 3 2 4 5 6 3 3 3 3 与向量组 1 2 3等价 则向量组 1 2 3的秩为 2 123123123123 123123 1 4 3143143 2 5 3033033 3 6 3066000 TTT AA A 2 3 2 向量组与向量组等价 向量组与向量组的秩相等 而向量组的秩与由所拼成的矩阵的秩相等 故化简 2 r A 17 已知 3 阶矩阵 A 的 3 个特征值为 1 2 3 则 A 36 13 12 2 3312 31 2 36 636 n AA AAAA 阶矩阵的个特征值为 则 而 18 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 2 3 3 0 则 r A 2 3 3 2 0 Ar Ar 浙 04184 线性代数 经管类 试题 第 5 页 共 10 页 19 矩阵 A 对应的二次型 f 314 122 421 222 123121323 23482xxxx xx xx x 20 设矩阵 A 则二次型 xTAx 的规范形是 10 02 10 01 三 计算题 本大题共 6 小题 每小题 9 分 共 54 分 21 计算行列式 D 的值 5021 0113 2101 4321 12341234 222 10120222 71012 3110071012 039 12050039 111111 35 237101260356 695 24 13 013013 1 3 1 7 按第1列展开 22 已知 A B C 矩阵 X 满足 AXB C 求解 X 21 41 11 02 10 13 浙 04184 线性代数 经管类 试题 第 6 页 共 10 页 111111 1 6 2 1 1420 1211 14 1014 1014 10 12 0106 1101 1 61 6 10 1 32 31 32 3241 01 1 61 61 61 66 AXBCA AXBBA CBXA CB AB A E A 1 4 解 而 2 1 1 2 1 11 20 1002 1211 01 11 0111 0102 12 1 1 01101 2010 1 20 01 1 2101 1 2101 1 21 1 20101 1 21122 B E B 2 1 243110661012121111 110112301230621212 X 23 求向量 3 1 2 T在基 1 1 1 2 T 2 1 3 1 T 3 1 1 1 T下的坐标 并将 用此基线性表示 112233 123 123 123 123 1113 1311 2112 3 31 22 11 1311 1311 2112 xxx xxx xxx xxx xxx 1 2 解令 即 它就等价于如下线性方程组 将其增广矩阵化为行简化阶梯形矩阵 1 4 1 123 131113 04040101 03140314 101210121001 010101010101 001100110011 1 1 1 1 1 xxx 1 3 1 于是在此基下的坐标为 123 1 用此基线性表出为 浙 04184 线性代数 经管类 试题 第 7 页 共 10 页 24 设向量组 1 2 3线性无关 令 1 1 3 2 2 2 2 3 3 2 1 5 2 3 3 试确定向量组 1 2 3的线性相关性 112233 1132233123 1312321233 123 1323123 1 2 3 0 222530 22523 0 20 250 230 1020 0250 1230 kkk kkk kkkkkkk kkkkkkk k k k 解设将已知条件代入得 把它整理后得 线性无关 必有 它们等价于矩阵方程 123123 102102102 025025025 80 123021004 0 kkk 1 1 而系数矩阵的行列式 据此立得 一定线性无关 25 已知线性方程组 3 2 2 321 321 321 xxx xxx xxx 1 讨论 为何值时 方程组无解 有惟一解 有无穷多个解 2 在方程组有无穷多个解时 求出方程组的通解 要求用其一个特解和导出组的基 础解系表示 浙 04184 线性代数 经管类 试题 第 8 页 共 10 页 11 2 1 11211111 11212 112 01 1 11211111001 21 20 11221 1212 2115 A A A A b 1 1 1 2 解方程的个数与未知量的个数相同 考察系数矩阵是否为可逆矩阵 当时 原方程的增广矩阵为 123 1221122 03300330 03390009 10 1 1 12 1 1 122 1 1 12 12 A A bxxx AA 1 第三个方程矛盾 线性方程组无解 当时 原方程的增广矩阵为 线性方程组只为有两个自由未知量 线性方程组有无穷多解 当且时 是可逆矩阵 线性方程组 231 2 1231 3 1212 21 2 0 20 0 0 11 1 0 01 2 xb xxx x xxxx x kkkk 12 12 必有唯一解 当时 线性方程组有无穷多解 令得 取特解 10 其导出组为 令分别为和得 1 01 则其基础解系为 方程组的通解为 和为任意实数 即 12 11 010 001 kk 浙 04184 线性代数 经管类 试题 第 9 页 共 10 页 26 已知矩阵 A 求正交矩阵 P 和对角矩阵 使 P 1AP 111 111 111 2 2 123 12 1 111311111 1113113 111 111311111 111 3 003 0 3 00 0 111 111 111 A EA x 1 1 1 1 解先求出的特征值和特征向量 属于特征值的特征向量满足矩阵方程 2123 3 23 2 112 3 3 0 00 0 312 11 10 1 10 01 01 3 211 121 112 xxxx x xx x xpp x 个未知量个方程 必有个自由未知量 设 为自由未知量 分别令或 则可取特征向量为和 属于特征值的特征向量满足矩阵方程 1123 12 2123123 23 1233 3312 3 020 330 020 330 020 3211 1 1 1 1 xxxx xx xxxxxxx xx xxxx xxxx p 个未知量个方程 必有个自由未知量 设为自由未知量 令则 可取特征向量为 将上述三个线性无关的特征向量使用施密特正交化方法 得 111 21 221212111 11 2 12 11 1 12 11 2 000 11 1 0 11 1 1 02 11 00 111 11 101 22 210 p p pppp 单位化得 2 6 6 1 6 16 6 6 2 6 3 单位化得 浙 04184 线性代数 经管类 试题 第 10 页 共 10 页 3132 3312 1122 31313232 333 1 11 1 1 10 1 1 10 10 01 13 1 1 13 1 3 1 13 126 6 13 126 6 13 0 6 313 pp p pppppp p PP A 单位化得 于是得到正交矩阵使得 0 0 3 T PP AP 四 证明题 本题 6 分 27 设 为非齐次线性方程组 Ax b 的一个解 1 2 r是其导出组 Ax 0 的一 个基础解系 证明 1 2 r线性无关