毕业论文--利用数形结合处理数学问题的技巧.doc

20132013 届毕业设计 论文 届毕业设计 论文 利用数形结合处理数学问题的技巧利用数形结合处理数学问题的技巧 分 院计算机科学与技术学院 专 业信息与计算科学 班 级信计本 0901 学 号09404029 姓 名温政套 指导教师张卫标 讲师 完成时间2013 年 05 月 目 录 绪论 1 1 数形结合思想的产生与发展 2 1 1 数形结合思想的引入 2 1 2 数形结合思想的概念 2 2 数形结合思想在解题中的应用技巧 4 2 1 解决集合问题的技巧 4 2 2 解决函数问题的技巧 5 2 3 解决方程与不等式的应用技巧 6 2 4 解决三角函数问题的技巧 7 3 结束语 8 4 参考文献 8 5 致 谢 9 摘 要 数学是一门为多学科服务的课程 数学启迪着我们的智慧 而如今 很多 初高中学生却为学习数学中进行的解题而头疼 为了更多的学生能够从数学中 获得一定的受益 本文对数学中数与形的发展以及如何在解题中利用数形结合 思想以达到解题的目的进行详细的阐述 使更多学习数学的人明白数学美 解 题的便易过程给人们带来的方便 随着社会的发展与教育改革步伐的加快 日常工作中人们都需要效率 何 况我们在考试中仅有那短短的两个小时 所以说了解数与形的关系 学习一种 新的解题方法数形结合思想是多么必要 学好任何一种解题思路 必须要滤清 它的来源与发展史 只有这样我们才能够有兴趣地去学习它 学好它 数形结 合思想是一种重要的数学思想 通俗地说就是代数与几何相结合的思想 目前 我们使用的新课本 不再把数学课划分为 代数 几何 而是综合为一 门数学课 因为这样更利于我们开发思维 培养解决问题能力 本文将主要对 数形结合在解决集合 函数及三角函数 不等式 解方程等应用中的技巧 使 广大的数学爱好者更好的发掘 数 与 形 关系的揭示与转化关系 运用数 形结合的方法 帮助学生类比 发掘 剖析其所具有的几何模型 这对于帮助 学生深化思维 扩展知识 提高能力都有很大的帮助 关键词 数形结合思想 函数 三角函数 解方程 不等式 Abstract Mathematics is a multiple discipline service courses math is inspiring our wisdom Nowadays many high school students is a headache for the study of mathematical problem solving In order to more students to gain certain benefits from Mathematics In this paper the mathematics in the development of Numbers and forms and how to problem solving in using the number form combining ideas in order to achieve the goal of problem solving in detail in this paper Mathematical beauty make more people understand math problem solving of the easy process bring convenience to people With the development of the society and speed up the pace of education reform people need efficiency in daily work How much more will we in the examination only that in just two hours Understand the relationship between Numbers and forms so study a new method for the problem solving several form combining ideas is necessary Well any way must be with its source and development Only in this way can we have the interest to learn it learn it well Several form combining ideas is a kind of important mathematics thought popular culture is the combination of algebra and geometry Currently we are using the new textbook no longer take math classes are divided into algebra and geometry but is integrated as a math class Because it is more conducive to our development thinking cultivating ability to solve the problem this paper combines main logarithmic form in solving the collection of functions andtrigonometric functions inequality solving equations such as application of the technique Make the math lovers better explore number and shape relationship to reveal and transformation using the number form combining method analogy to help students explore and analyze the geometric model with which to help students deepen thinking expanding knowledge improve the ability to have very big help Key words Several form combining ideas functions trigonometric functions solving equations inequalities 商丘学院本科毕业设计 论文 1 绪论 数与形是数学中的两个最古老 也是最基本的研究对象 它们在一定条件 下可以相互转化 初高中学数学研究的对象可分为数和形两大部分 数与形是 有联系的 这个联系称之为数形结合 或形数结合 作为一种研究数学思想的 方法 数形结合的应用大致又可分为两种情形 或者借助于数的精确性来阐明 形的某些属性 或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系 例如 在研 究集合的包含情况图像的演示是直观的 再如在解方程与不等式的过程 绘出 图像来便可以知道区间的情况及解的情况等等 由于 数 和 形 是一种对应 有些数量比较抽象 我们难以把握 而 形 具有形象 直观的优点 能表达较多具体的思维 起着解决问题的定性 作用 因此我们可以把 数 的对应 形 找出来 利用图形来解决问题 我们能够从所给问题的情境中辨认出符合问题目标的某个熟悉的 模式 这 种模式是指数与形的一种特定关系或结构 这种把数量问题转化为图形问题 并通过对图形的分析 推理最终解决数量问题的方法 就是图形分析法 虽然 形有形象 直观的优点 但在定量方面还必须借助代数的计算 特别是对于较 复杂 的 形 不但要正确的把图形数字化 而且还要留心观察图形的特点 发掘题目中的隐含条件 充分利用图形的性质或几何意义 把 形 正确表示 成 数 的形式 进行分析计算 数形结合的思想 其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来 关 键是代数问题与图形之间的相互转化 它可以使代数问题几何化 几何问题代 数化 在运用数形结合思想分析和解决问题时 要注意三点 第一要彻底明白 一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征 对数学题目中的条件和结论 既分析其几何意义又分析其代数意义 第二是恰当设参 合理用参 建立关系 由数思形 以形想数 做好数形转化 第三是正确确定参数的取值范围 商丘学院本科毕业设计 论文 2 1 数形结合思想的产生与发展 1 1 数形结合思想的引入 十六世纪以后 随着生产和科学技术的发展与人民要求的日益提高加之航 海 天文 地理的推进几何学提出了新的需要 许多科学家不断的提出新的概 念 新的设想 如 德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运 行的 太阳处在这个椭圆的一个焦点上 意大利科学家伽利略发现投掷物体是 沿着抛物线运动的 这些发现都涉及到圆锥曲线 要研究这些比较复杂的曲线 原先的一套方法显然已经不适应了 这就导致了解析几何的出现 即初步次年 形成了数形的原结构 1637 年 法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作 几何学 中简要的阐述了数与形的应用规律与方法 在这篇 几何学 提到了尺规作图 曲线性质 立体几何等为今后的数形 发展奠定了初步的基调与模型 其中的代数问题 探讨了方程的根的性质 后 世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的 几何学 作为解析几何的起点 从这篇 几何学 中可以看出 他的中心思想是建立起一种 普遍 的数 学 把算术 代数 几何统一起来 他设想 把任何数学问题化为一个代数问 题 在把任何代数问题归结到去解一个方程式 为了实现上述的设想 笛卡尔从天文和地理的经纬制度出发 指出平面上 的点和实数对 x y 的对应关系 x y 的不同数值可以确定平面上许多不同的点 这样就可以用代数方法描述曲线的性质 这就是解析几何的基本思想 同时数 形结合思想在人民的心目中得到了进一步提升 1 2 数形结合思想的概念 数 和 形 是数学中两个最基本的概念 它们既是对立的 又是统一 的 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状 大小 位置密切相关的数量关 系 反之 数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述 数形结 合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来 使抽象思维和形象思 维结合起来 在解决代数问题时 想到它的图形 从而启发我们的思维 找到 解题之路 或者在研究图形时 利用代数的性质 解决几何的问题 实现抽象 商丘学院本科毕业设计 论文 3 概念与具体形象的联系和转化 化难为易 化抽象为直观 数形结合包括 函数与图象 方程与曲线 复数与几何的结合 几何语言 叙述与几何图形的结合等 中学数学研究的对象可分为两大部分 一部分是数 一部分是形 但数与 形是有联系的 这个联系称之为数形结合 或形数结合 我国著名数学家华罗 庚曾说过 数形结合百般好 隔裂分家万事非 数 与 形 反映了事物 两个方面的属性 我们认为 数形结合 主要指的是数与形之间的一一对应关 系 数形结合就是把抽象的数学语言 数量关系与直观的几何图形 位置关系 结合起来 通过 以形助数 或 以数解形 即通过抽象思维与形象思维的结 合 可以使复杂问题简单化 抽象问题具体化 从而起到优化解题途径的目的 作为一种数学思想方法 数形结合的应用大致又可分为两种情形 或者借助于 数的精确性来阐明形的某些属性 或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种 关系 即数形结合包括两个方面 第一种情形是 以数解形 而第二种情形是 以形助数 以数解形 就是有些图形太过于简单 直接观察却看不出什么 规律来 这时就需要给图形赋值 如边长 角度等等 数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一 应用数形结合的思想 可以解决以下问题 一 解决集合问题 在集合运算中常常借助于数轴 Venn 图来处理集合的 交 并 补等运算 从而使问题得以简化 使运算快捷明了 二 解决函数问题 借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法 函数 图象的几何特征与数量特征紧密结合 体现了数形结合的特征与方法 三 解决方程与不等式的问题 处理方程问题时 把方程的根的问题看作 两个函数图象的交点问题 处理不等式时 从题目的条件与结论出发 联系相 关函数 着重分析其几何意义 从图形上找出解题的思路 四 解决三角函数问题 有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值 的大小等问题 一般借助于单位圆或三角函数图象来处理 数形结合思想是处 理三角函数问题的重要方法 五 解决线性规划问题 线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值 的问题 从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用 商丘学院本科毕业设计 论文 4 六 解决数列问题 数列是一种特殊的函数 数列的通项公式以及前 n 项 和公式可以看作关于正整数 n 的函数 用数形结合的思想研究数列问题是借助 函数的图象进行直观分析 从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解 决 七 解决解析几何问题 解析几何的基本思想就是数形结合 在解题中善 于将数形结合的数学思想运用于对点 线 曲线的性质及其相互关系的研究中 八 解决立体几何问题 立体几何中用坐标的方法将几何中的点 线 面 的性质及其相互关系进行研究 可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算 2 数形结合思想在解题中的应用技巧 2 1 解决集合问题的技巧 为了大家可以清晰地了解数形结合思想在处理集合问题的便捷易懂 在这 里我简单的列两道具有代表性的例题 例 1 设命题甲 命题乙 则甲是乙成立的 03x 14x 0 二次函数的图像为下列之一 则a的值为 22 1yaxbxa A 1 B 1 C D 2 51 2 51 解析 有形去找数只有先认识图形 并选定正确的图形 才能进一步选定正 确的答案 由于b 0 抛物线的对称轴不可能是 y 轴 排除前两图 后两图都通 过原点 故必 若 则抛物线开口向上 且 2 101aa 于是1a 即对称轴应在y轴左方 排除第四图 因而第三图正确 只能0 2 b x a 选 B1a 例 2 如图 定圆半径为 圆心为 则直线与直线a b c0axbyc 的交点在 10 xy 第一象限A 第二象限B 第三象限C 第四象限D 解析 为形配数 根据 图形语言 予以赋值 可使抽象的问题具体化 由条件知道 且 于是0ar 0b 0c bra cra 取 所以选 0bac 2a 3b 1c C 商丘学院本科毕业设计 论文 6 2 3 解决方程与不等式的应用技巧 例 1 若关于的方程的两根都在之间 求的取值x 2 230 xkxk 13和k 范围 分析 令 其图象与轴交点的横坐标就是方程 2 23f xxkxk x 的解 由的图象可知 要使二根都在之间 只需 0f x yf x 13 1 0 3 0ff 同时成立 解得 故 0 2 b ffk a 10k 10 k y x 1 3 例 2 解不等式 2xx 常规解法 原不等式等价于 或 II 2 0 20 2 x x xx 0 20 x x 解 得 解 II 得02x 20 x 综上可知 原不等式的解集为 2002 22xxxxx 或 数形结合解法 令 则不等式的解就是使 12 2yxyx 2xx 的图象在的上方的那段对应的横坐标 1 2yx 2 yx 如下图 不等式的解集为 而可由解得 AB x xxx xB2xx 故不等式的解集为 22 BA xx 22xx 通过以上两道方程与不等式的例题我们对数形结合的思路进一步的剖析和 深究 更使我们明白的在考试过程中掌握一定的方法与技巧是多么的重要 而 数形结合思想在解题中的运用往往可以起到事半功倍的结果 商丘学院本科毕业设计 论文 7 2 4 解决三角函数问题的技巧 例 1 从小到大的顺序是 267 sin cos tan 555 解析 首先可以看出这些角都不是特殊的角 果断的求值去 比较是行不通的 若注意到 相差较大 容易利用 2 5 6 5 7 5 单位圆上的三角函数区分他们各自函数值的大小 设 可知 267 sin cos tan 555 abc 0bac 例 2 若 则 sincostan 0 2 A 0 6 B 6 4 C 4 3 D 3 2 解 令 由题易 sincos2sin 4 f xxxx 0 tan 2 g xx 知图像为 如图所示 从图像上可以看出 P 的横坐标 4 p X 再令 则 由题易知 3 sincos1 366 33 tan31 7321 367 3 图像 3 p X 通过这两道简单的例题我们可以看到 作三角函数之类的题目 往往用纯 代数的理论是很难解决的 可使结合图像的描述可以很直观的看到结果 其单 位圆的方法就是我们在解三角函数题目中常常用到的 ox y 2 4 1 商丘学院本科毕业设计 论文 8 结束语 通过本文的讲解以及例题的演示 我希望这篇论文能够为大家带来益处 本文主要介绍了数形结合思想的引入以