广东省高考数学 4.2参数方程课时提能演练 理 新人教A版.ppt

第二节参数方程 三年21考高考指数 1 了解参数方程 了解参数的意义 2 能选择适当的参数写出直线 圆和椭圆的参数方程 1 直线 圆和椭圆的参数方程是高考考查的重点 2 利用参数方程解决最大值 最小值等问题是难点 3 高考以填空题的形式考查 1 参数方程 1 参数方程的概念一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标x y都是某个变数t的函数 并且对于t的每一个允许值 由这个方程组所确定的点m x y 都在这条曲线上 那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程 联系变数x y的变数t叫做 简称 参变数 参数 相对于参数方程而言 直接给出点的坐标间关系的方程f x y 0叫做普通方程 2 参数方程与普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式 一般地 可以通过消去 而从参数方程得到普通方程 如果知道变数x y中的一个与参数t的关系 例如x f t 把它代入普通方程 求出另一个变数与参数的关系y g t 那么就是曲线的参数方程 在参数方程与普通方程的互化中 必须使x y的取值范围保持一致 参数 即时应用 1 参数方程 为参数 且满足0 的普通方程为 2 参数方程 为参数 且满足 的普通方程为 解析 1 参数方程 为参数 且满足0 的普通方程为x2 y2 1 0 y 1 表示上半圆 2 参数方程 为参数 且满足 的普通方程为x2 y2 1 0 x 1 表示右半圆 答案 1 x2 y2 1 0 y 1 2 x2 y2 1 0 x 1 2 直线 圆锥曲线的普通方程和参数方程 直线 圆 x a 2 y b 2 r2 y y0 tan x x0 点斜式 t为参数 为参数 椭圆 双曲线 为参数 为参数 a b 0 a 0 b 0 t为参数 p 0 抛物线 y2 2px p 0 即时应用 判断下列命题是否正确 请在括号中填写 或 1 若经过点p0 x0 y0 倾斜角是 的直线l的参数方程为 t为参数 则直线的斜率为tan 2 若圆的参数方程为 为参数 则圆心为 2 1 半径为3 解析 1 经过点p0 x0 y0 倾斜角是 的直线l的参数方程为即 t为参数 t r 当倾斜角 时 直线的斜率k tan 当倾斜角 时 直线的参数方程为 直线的斜率不存在 所以 1 不正确 2 将圆的参数方程 为参数 化为普通方程为 x 2 2 y 1 2 9 所以圆心为 2 1 半径为3 所以 2 正确 答案 1 2 参数方程化为普通方程 方法点睛 参数方程与普通方程互化的方法及注意事项 1 把参数方程化为普通方程 需要根据其结构特征 选取适当的消参方法 常见的消参方法有 代入消参法 加减消参法 平方和 差 消参法 乘法消参法等 2 把曲线c的普通方程f x y 0化为参数方程的关键 一是适当选取参数 二是确保互化前后方程的等价性 例1 1 若直线l y x b与曲线c 为参数 且 有公共点 则实数b的取值范围是 2 若直线l t为参数 与曲线c 为参数 且0 有两个不同的交点 则实数b的取值范围是 解题指南 本题中参数方程表示圆的一部分 所以可以通过数形结合法解答 规范解答 1 曲线c 为参数 且 表示圆心在原点 半径为1的右半圆 如图 直线l y x b与曲线有公共点 直线l应介于两直线l1 l2之间 当直线y x b经过点 0 1 时 b 1 当直线y x b与半圆相时 解得b 所以要使直线y x b与半圆有公共点 必有b 1 答案 1 2 直线l t为参数 的普通方程为y x b 曲线c 为参数 且0 表示以原点为圆心 1为半径的上半圆 如图 直线y x b与曲线有两个不同的交点 直线l应介于两直线l1 l2之间 当直线y x b经过点 0 1 时 b 1 当直线y x b与半圆相切时 解得b 所以要使直线y x b与半圆有两个不同的交点 必有b 1 答案 1 互动探究 1 若把本例 1 中的 有公共点 改为 有两个不同的交点 则实数b的取值范围是 2 若把本例 2 中的 有两个不同的交点 改为 有公共点 则实数b的取值范围是 解析 1 由本例 1 可知 当直线y x b经过点 0 1 时 b 1 当直线y x b与半圆相切时 解得b 所以要使直线y x b与半圆有两个不同的交点 必有b 1 答案 1 2 由本例 2 可知 当直线y x b与半圆相切时 解得b 当直线y x b经过点 1 0 时 b 1 所以要使直线y x b与半圆有公共点 必有b 1 答案 1 反思 感悟 化参数方程为普通方程 关键是消去参数 建立关于x y的二元方程f x y 0 常用的消参数公式有 1 2 sin2 cos2 1 3 4 变式备选 1 已知曲线c的参数方程为 t为参数 则曲线c的普通方程为 解析 所以曲线c的普通方程为y 3x2 6 答案 y 3x2 6 2 参数方程 为参数 且0 2 的普通方程为 解析 由参数方程 得x2 1 sin y 即y 2x2 由于x 且 x 0 即普通方程为y 2x2 x 0 答案 y 2x2 x 0 圆的参数方程 方法点睛 将圆的普通方程化为参数方程 1 圆x2 y2 r2的参数方程为 为参数 2 圆 x a 2 y b 2 r2的参数方程为 为参数 提醒 1 参数 的几何意义是om与x轴正方向的夹角 m为圆上的点 2 随着选取的参数不同 参数方程的形式也有不同 但表示的曲线是相同的 3 在建立曲线的参数方程时 要注明参数及参数的取值范围 例2 已知x y满足x2 y 1 2 1 则 1 3x 4y的最大值为 最小值为 2 x 3 2 y 3 2的取值范围是 解题指南 设圆的参数方程 将问题转化为三角函数的问题解决 规范解答 由圆的普通方程x2 y 1 2 1得圆的参数方程为 r 1 3x 4y 3cos 4sin 4 4 5sin 其中tan 且 的终边过点 4 3 5 5sin 5 1 4 5sin 9 3x 4y的最大值为9 最小值为 1 答案 9 1 2 x 3 2 y 3 2 cos 3 2 sin 4 2 26 8sin 6cos 26 10sin 其中tan 且 的终边过点 4 3 10 10sin 10 16 26 10sin 36 x 3 2 y 3 2的取值范围是 16 36 答案 16 36 互动探究 若本例条件不变 则的取值范围是 解题指南 可以转化为三角函数问题求解 也可以利用式子的几何意义 即直线斜率 运用数形结合的方法求解 解析 方法一 由于 r sin kcos k 3 即sin k 3 其中tan k 且 的终边过点 1 k sin 依题意 得 解得k 所以的取值范围是 方法二 由于所以问题可以看作圆x2 y 1 2 1上的动点p x y 与定点a 1 2 的连线的斜率 斜率存在时 设直线y 2 k x 1 与圆相切 则圆心 0 1 到直线kx y k 2 0的距离为1 即解得k 过a 1 2 的直线的斜率不存在时 即x 1 与圆相切 结合图形 得的取值范围是 答案 反思 感悟 1 解决与圆有关的最大值和最小值问题 常常设出圆的参数方程 转化为求三角函数的最大值和最小值问题来解决 2 注意运用三角恒等式 辅助角公式求最值 asin bcos sin 其中tan a 0 且角 的终边经过点 a b 变式备选 已知圆x2 y2 4上一个动点m 定点a 2 0 若 则点p的轨迹方程为 解题指南 设出p m的坐标 由相等向量的充要条件建立动点的参数方程 化为普通方程即可 解析 设p x y m 2cos 2sin a 2 0 由得 2cos 2 2sin 2 x 2cos y 2sin 解得 为参数 化为普通方程为 x 1 2 y2 9 答案 x 1 2 y2 9 极坐标方程和参数方程的综合问题 方法点睛 直线的参数方程中参数的几何意义 1 设e表示直线向上的方向的单位向量 如图 te 当参数t 0时 与e方向相同 当参数t 0时 与e方向相反 因此 总有 t 所以参数t为点m0 x0 y0 到直线上点m x y 的有向线段的数量 即方向 长度 这就是参数t的几何意义 2 常用公式 根据直线的参数方程中t的几何意义 有以下结论 设a b是直线上任意两点 它们对应的参数分别为ta和tb 则 ab tb ta 线段ab的中点所对应的参数值等于 例3 1 已知曲线c的极坐标方程是 4cos 以极点为平面直角坐标系的原点 极轴为x轴的正半轴 建立平面直角坐标系 直线l的参数方程是 t为参数 则直线l与曲线c相交所成的弦的弦长为 2 若经过点p 1 2 倾斜角为的直线l与曲线 3相交于a b两点 则 pa pb pa pb 解题指南 1 将参数方程化为普通方程 利用直线与圆的位置关系计算弦长 2 求出直线的参数方程 代入曲线的普通方程 利用直线的参数方程的几何意义以及一元二次方程的根与系数的关系计算 规范解答 1 由曲线c的极坐标方程 4cos 化为直角坐标方程 得x2 y2 4x 0 即 x 2 2 y2 4 直线l的参数方程化为普通方程为x y 1 0 曲线c的圆心 2 0 到直线l的距离为 所以直线l与曲线c相交所成的弦的弦长为答案 2 直线l的参数方程为 t为参数 代入圆的直角坐标方程x2 y2 9 整理 得t2 4 0 设点a b对应的参数分别是t1 t2 则t1 t2 t1 t2 4 由t1与t2的符号相反 得 pa pb t1 t2 t1 t2 pa pb t1 t2 4 答案 4 互动探究 若本例 1 条件不变 则直线l与曲线c的相交弦的中点坐标为 解析 将直线方程y x 1代入圆的方程x2 y2 4x 0 整理 得2x2 6x 1 0 设相交弦ab的端点坐标分别为a x1 y1 b x2 y2 则由根与系数的关系得x1 x2 3 y1 y2 x1 x2 2 1 所以相交弦ab的中点坐标为 答案 反思 感悟 利用直线的参数方程研究直线与圆锥曲线的位置关系以及弦长计算 可以使问题简便 方法是 把l 代入圆锥曲线c f x y 0 消去x y得到关于t的一元二次方程at2 bt c 0 a 0 其中 b2 4ac 当 0时 l与c有两个公共点 此时方程at2 bt c 0有两个不同的实数根t1 t2 把参数t1 t2代入l的参数方程 即可求得l与c的两个交点m1 m2的坐标 进而可求得 m1m2 变式备选 1 若p是极坐标方程为 r 的直线与参数方程为的曲线的交点 则p点的直角坐标为 解