建模思想在小学数学中的运用

建模思想在小学数学教学中的运用建模思想在小学数学教学中的运用 教师在教学中引导学生建立数学模型 不但要重视其结果 更 要关注学生自主建立数学模型的过程 让学生在进行探究性学习的 过程中科学地 合理地 有效地建立数学模型 数学模型的概念 数学模型是对某种事物系统的特征或数量依存关系概括或近似 表述的数学结构 数学中的各种概念 公式和理论都是由现实世界 的原型抽象出来的 从这个意义上讲 所有的数学知识都是刻画现实世 界的模型 狭义地理解 数学模型指那些反映了特定问题或特定具体 事物系统的数学关系结构 是相应系统中各变量及其相互关系的数学 表达 数学建模就是建立数学模型来解决问题的方法 数学课程标 准 安排了 数与代数 空间与图形 统计与概率 实践与综合应用 四块学习领域 强调学生的数学活动 发展学生的数感 符号感 空间 观念 以及应用意识与推理的能力 这些内容中最重要的部分 就是 数学模型 在小学阶段 数学模型的表现形式为一系列的概念系统 算 法系统 关系 定律 公理系统等 小学数学教学渗透数学建模思想的可行性 数学模型不仅为数学表达和交流提供有效途径 也为解决现实 问题提供重要工具 可以帮助学生准确 清晰地认识 理解数学的 意义 在小学数学教学活动中 教师应采取有效措施 加强数学建 模思想的渗透 提高学生的学习兴趣 培养学生用数学意识以及分 析和解决实际问题的能力 数学在本质上就是在不断的抽象 概括 模式化的过程中发展和丰富起来的 数学学习只有深入到 模型 建模 的意义上 才是一种真正的数学学习 这种 深入 就小学 数学教学而言 更多地是指用数学建模的思想和精神来指导着数学 教学 从学生已有的生活经验出发 让学生亲身经历将实际问题抽 象成数学模型并进行解释与运用的过程 进而使学生获得对数学的 理解的同时 在思维能力 情感态度与价值观等多方面得到进入和 发展 对数学建模这个概念来讲也许是新的 但回想我们的日常教学 不难发现我们的学生已经有数学建模的思想或意识 只不过没有从 理论的角度把它概括出来而已 例如 在以往教学求比一个数多几 的应用题时 经常碰到这样一个例题 小明家养了 6 只公鸡 养的母 鸡只数比公鸡多 3 只 母鸡有几只 在教学此例时老师们都是采 用让学生摆 说等教学活动来帮助学生分析数量关系 理解 同样多 的部分 但教学效果并没有我们老师想象的那么好 一般同学们在 解释数量关系式 6 3 9 时 母鸡和公鸡是不分的 极大部分学生都 会说 6 只公鸡加 3 只母鸡等于 9 只母鸡 为什么学生不会用 同样多 的部分 去描述母鸡的只数 其原因是十分明显的 那就是学生在操 作时头脑中已经对现实问题进行简化 并建立了一个有关母鸡只数 求法的数学模型 这个模型显然是一种叠加模型 即 6 3 9 只 而 6 表示什么在模型中已经是无关紧要 因为实际问题最终要解决 的是数量问题 从以上这个教学实例至少可以说明两点 其一 小 学生在解决实际问题时有他自己的数学模型 有他自圆其说的解读 数学模型的方法 因此 小学生也有数学建模能力 其二 当学生 的数学模型一旦建立了以后 即使他的模型是不合理或不规范的 但外人很难改变他的模型结构 建模思想在小学数学教学中的运用建模思想在小学数学教学中的运用 桐木小学 曾春华 数学家华罗庚通过多年的学习 研究经历总结出 对书本中的 某些原理 定律 公式 我们在学习的时候不仅应该记住它的结论 懂得它的道理 而且还应该设想一下人家是怎样想出来的 怎样一 步一步提炼出来的 只有经历这样的探索过程 数学的思想 方法 才能沉积 凝聚 从而使知识具有更大的智慧价值 动手实践 自 主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式 学生的数学学习活 动应当是一个主动 活泼的 生动和富有个性的过程 因此 在教 学时我们要善于引导学生自主探索 合作交流 对学习过程 学习 材料 学习发现主动归纳 提升 力求建构出人人都能理解的数学 模型 如教学圆锥的体积一课 1 回顾 猜想 师 请同学们回忆我们在学习圆柱的体积推导过程中 应用了 哪些数学思想方法 生 运用了转化的方法 师 猜一猜圆锥的体积能否转化成已经学过的图形的体积 它 会与学过的哪种立体图形有关 学生大胆进行猜想 有的猜能转化成圆柱 有的猜能转化成长 正方体 2 动手验证 师 请同学们利用手中的学具进行操作 研究圆锥体积的计算 方法 教师给学生提供多个圆柱 长方体 正方体和圆锥空盒 其中 圆柱和圆锥有等底等高关系的 有不等底不等高关系的 圆锥与其 他形体没有等底或等高关系 沙子等学具 学生分小组动手实验 3 反馈交流 生 1 我们选取了一个圆锥和一个正方体进行实验 将正方体 中倒满沙子 然后倒入圆锥容器中 到了四次 还剩下一些 发现 圆锥体与这个圆柱体之间没有关系 生 2 我们组选取的是圆锥和圆柱 这个圆锥与这个圆柱之间 也没存在关系 然后我们换了一个圆柱 这个圆柱的体积是这个圆 锥体积的三倍 4 归纳总结 师 那么存在 3 倍关系的圆柱和圆锥的底面有什么关系 它们的 高又有什么关系 生 3 底面积相等 高也相等 师 圆柱的体积和同它等底等高圆锥的体积的有什么关系 生 圆柱的体积是圆锥体积的 3 倍 生 圆锥的体积是同它等底等高的圆柱体权的 1 3 师 是不是所有的等底等高的圆柱 圆锥都存在这样的关系 请每个组都选出这样的学具进行操作验证 生 汇报后师板书 圆锥的体积等于同它等底等高的圆柱体积的 1 3 师 如果没有圆柱这一辅助工具 我们怎样计算圆锥的体积 生 圆锥的体积等于底面积乘高乘 1 3 在上述教学过程中 教师提供丰富的实验材料 学生需要从中 挑选出解决问题必须的材料进行研究 学生的问题不是一步到位的 通过不断地猜测 验证 修订实验方案 再猜测 再验证这样的过 程 逐步过渡到复杂的 更一般的情景 学生在主动探索尝试过程 中 进行了再创造学习 以抽象概括方式自主总结出圆锥体积计算 公式 这一环节的设计 不仅发展了学生的策略性知识 同时让学 生经历猜测与验证 分析与归纳 抽象与概括的数学思维过程 学 习过程中学生有时独立思考 有时小组合作学习 有时是独立探索 和合作学习相结合 学生在新知探索中充分体验了数学模型的形成 过程 建模思想在小学数学教学中的运用建模思想在小学数学教学中的运用 桐木小学 曾春华 用所建立的数学模型来解答生活实际中的问题 让学生能体会 到数学模型的实际应用价值 体验到所学知识的用途和益处 进一 步培养学生应用数学的意识和综合应用数学知识解决问题的能力 让学生体验实际应用带来的快乐 解决问题具体表现在两个方面 一是布置数学题作业 如基本题 变式题 拓展题等 二是生活题 作业 让学生在实际生活中应用数学 通过应用真正让数学走入生 活 让数学走近学生 用数学知识去解决实际问题的同时拓展数学 问题 培养学生的数学意识 提高学生的数学认知水平 又可以促 进学生的探索意识 发现问题意识 创新意识和实践意识的形成 使学生在实际应用过程中认识新问题 同化新知识 并构建自己的 智力系统 如在学生掌握了速度 时间 路程之间关系后 先进行单项练 习 然后出示这样的变式题 1 汽车 4 小时行驶了 240 千米 12 小时可行驶多少千米 2 火车的速度是每小时 130 千米 火车早上 8 00 出发 14 00 到站 两站之间的距离是多少千米 学生在掌握了速度乘时间等于路程这一模型后 进行变式练习 学生基本能正确解答 说明学生对基本数学模型已经掌握 并能够 从 4 小时行驶了 240 千米中找到需要的速度 从 8 00 至 14 00 中 找到所需时间 虽然两题叙述不同 但都可以运用同一个数学模型 进行解答 掌握了数学模型 学生解答起数学问题来得心应手 又如学习了圆的周长后设计这样的题目 怎样利用你的自行车 测量学校到家里的实际距离 这一问题的设计既考虑与学生生活的真实情景相结合 又能引 起学生的猜测 估计 操作 观察 思考等具体的学习活动 并能 使学生在具体的学习活动中学会搜集资料 分析问题 在解决实际 问题中 学生需要搜集大量的信息 并从信息中剔除无用信息 留 下有用信息 构建起数学模型 并运用数学模型进行计算 解决问 题 在这一过程中 学生易于形成实事求是的态度以及进行质疑和 独立思考的习惯 激发学生的创新精神 因此 我们在教学过程中 应注重学生建模思想的形成与运用 综上所述 小学数学建模思想的形成过程是一个综合性的过程 是数学能力和其他各种能力协同发展的过程 在数学教学过程中进 行数学建模思想的渗透 不仅可以使学生体会到数学并非只是一门 抽象的学科 而且可以使学生感觉到利用数学建模的思想结合数学 方法解决实际问题的妙处 进而对数学产生更大的兴趣 通过建模 教学 可以加深学生对数学知识和方法的理解和掌握 调整学生的 知识结构 深化知识层次 同时 培养学生应用数学的意识和自主 合作 探索 创新的精神 为学生的终身学习 可持续发展奠定基 础 因此在数学课堂教学中 教师应逐步培养学生数学建模的思想 方法 形成学生良好的思维习惯和用数学的能力 建模思想在小学数学教学中的运用建模思想在小学数学教学中的运用 桐木小学 曾春华 数学模型不仅为数学表达和交流提供有效途径 也为解决现实 问题提供重要工具 可以帮助学生准确 清晰地认识 理解数学的 意义 在数学教学活动中 教师应采取有效措施 加强数学建模思 想的渗透 提高学生的学习兴趣 培养学生用数学意识以及分析和 解决实际问题的能力 数学在本质上就是在不断的抽象 概括 模 式化的过程中发展和丰富起来的 数学学习只有深入到 模型 建 模 的意义上 才是一种真正的数学学习 这种 深入 就小学数学 教学而言 更多地是指用数学建模的思想和精神来指导着数学教学 从学生已有的生活经验出发 让学生亲身经历将实际问题抽象成数 学模型并进行解释与运用的过程 进而使学生获得对数学的理解的 同时 在思维能力 情感态度与价值观等多方面得到进入和发展 1 创设相应情境 感受数学建模 数学来源于生活 又服务于生活 因此 要将现实生活中发生 的与数学学习有关的素材及时引入课堂 要将教材上的内容通过生 活中熟悉的事例 以情境的方式在课堂上展示给学生 描述数学问 题产生的背景 情景的创设要与社会生活实际 时代热点问题 自 然 社会文化等与数学问题有关的各种因素相结合 让学生感到真 实 新奇 有趣 可操作 满足学生好奇好动的心理要求 这样很 容易激发学生的兴趣 并在学生的头脑中激活已有的生活经验 也 容易使学生用积累的经验来感受其中隐含的数学问题 从而促使学 生将生活问题抽象成数学问题 感知数学模型的存在 2 主动探索 建构数学模型 任何规律 知识的发现和形成 只有经历探索过程 数学的思 想 方法才能沉积 凝聚 从而使知识具有更大的智慧价值 动手 实践 自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式 学生的数 学学习活动应当是一个主动 活泼的 生动和富有个性的过程 因 此 在教学时我们要善于引导学生自主探索 合作交流 对学习过 程 学习材料 学习发现主动归纳 提升 力求建构出人人都能理 解的数学模型 教师提供丰富的实验材料 学生需要从中挑选出解 决问题必须的材料进行研究 学生的问题不是一步到位的 通过不 断地猜测 验证 修订实验方案 再猜测 再验证这样的过程 逐 步过渡到复杂的 更一般的情景 学生在主动探索尝试过程中 进 行了再创造学习 学习过程中学生有时独立思考 有时小组合作学 习 有时是独立探索和合作学习相结合 学生在新知探索中充分体 验了数学模型的形成过程 3 解决问题 应用数学模型 用所建立的数学模型来解答生活实际中的问题 让学生能体会 到数学模型的实际应用价值 体验到所学知识的用途和益处 进一 步培养学生应用数学的意识和综合应用数学知识解决问题的能力 让学生体验实际应用带来的快乐 解决问题具体表现在两个方面 一是布置数学题作业 如基本题 变式题 拓展题等 二是生活题 作业 让学生在实际生活中应用数学 通过应用真正让数学走入生 活 让数学走近学生 用数学知识去解决实际问题的同时拓展数学 问题 培养学生的数学意识 提高学生的数学认知水平 又可以促 进学生的探索意识 发现问题意识 创新意识和实践意识的形成 使学生在实际应用过程中认识新问题 同化新知识 并构建自己的 智力系统 总之 通过建模教学 可以加深学生对数学知识和方法的理解 和掌握 调整学生的知识结构 深化知识层次 同时 培养学生应 用数学的意识和自主 合作 探索 创新的精神 为学生的终身学 习 可持续发展奠定基础 因此在数学课堂教学中 教师应逐步培 养学生数学建模的思想 方法 形成学生良好的思维习惯和用数学 的能力 建模思想在小学数学教学中的运用建模思想在小学数学教学中的运用 课题总结课题总结 桐木小学 曾春华 在教学 圆的周长与面积 这一单元时 教材多次出现了有关圆与正方形 关系的题目 练习中我发现 学生就题论题 题目稍加变化 就束手无策 我 尝试用数学建模的思想来帮助学生打开思路 收到了意想不到的效果 教学片断 师 为了更灵活地掌握圆的面积计算公式 请看下面的一道题 请同学们 小组讨论 1 正方形的面积是 6 平方厘米 圆的面积是多少平方厘米 师 你能发现圆与正方形之间的联系吗 生 我观察到了正方形的边长就是圆的半径 如果正方形的边长用 a 来表 示 那么 a2 6 也就是说 r2 6 师 那么 怎样算出圆的面积呢 生 我首先求出圆的半径 6 2 3 厘米 3 14 32 28 26 平方厘米 师 到底对不对呢 学生讨论 交流 生 不对 因为 r2 表示两个 r 相乘 并不是两个 r 相加 所以不可以这样 求解 师 r2 6 以我们现在的基础 求不出 r 有没有其他办法求出此圆的面 积 生 根据圆面积公式 S r2 可以不求出 r 直接把 r2 6 代入公式 3 14 6 18 84 平方厘米 师 多么富有创意的想法 我们能否把它提高到一种规律性的认识呢 生 如果一个正方形 以其中的一个顶点为圆心 以正方形的边长为半径 的圆的面积 正方形的面积 3 14 师 这位同学语言准确 简练 如果在正方形里面画一个最大的圆 怎样 求圆的面积呢 出示题 2 2 如图 2 正方形的面积是 20 平方厘米 在正方形里面画一个最大的圆 这个圆的面积是多少 让学生先与习题 1 比较 再讨论交流 师 能否转化成我们刚才做过的题目 生 连接圆与正方形的相对的交点 教师作辅助线 生 那小正方形的面积是大正方形的面积的 20 5 平方厘米 3 14 5 15 7 平方厘米 师 真不错 如果在圆里面画一个最大的正方形 已知正方形的面积 那 么圆的面积又怎么求呢 请同学们自主探究这一道题 出示题 3 3 如图 3 正方形的顶点都在圆上 正方形的面积是 10 平方厘米 这个 圆的面积是多少平方厘米 师 你是如何转化的 生 连接正方形的两条对角线 将正方形分成四个相等的等腰直角三角形 两个等腰直角三角形可以拼成一个边长为 r 的小正方形 教师作辅助线 师 如何计算呢 很明显 小正方形的面积是大正方形的面积的 小正方形的面积为 10 5 平方厘米 圆的面积为 3 14 5 15 7 平 方厘米 师 反思这两道题的解题方法 你有什么收获 生 我们解题时要学会联想 看能否可以用已学过方法或规律来解决 师 回答得真深刻 其实这位同学道出了一个重要的解决问题的数学思想 数学建模 已学过的规律或方法就是模型 将遇到的新问题与已学过的数 学模型建立联系 然后用模型求解 这是一种很好的解决问题策略 案例透视与反思 在习题 1 的讲解中 教师并不仅仅满足于得出答案 而是进一步挖掘 让 学生找出此圆与正方形的内在联系 即建立此问题的数学模型 案例中 为了 让数学模型得到及时的应用和巩固 又出了两道变式题 这两道变式题原本分 散在教材与练习册中 教师将其集中在一起形成序列进行教学 目的是引导学 生能够运用一定的数学思想来解题 从而提高学生解决问题的能力 让学生不 仅知道题目的解法 还能领悟和运用解题时所反映和蕴含的数学建模思想 一 数学建模是数学训练的应有之义 受应试教育的影响 数学教育存在重记忆轻理解 重知识轻方法 重理论 轻应用的问题 学生进行大量机械重复的练习 以期望达到 熟能生巧 的境 界 而事实上学生数学思维能力没有多大的提高 机械的训练之所以未达到提 高数学能力这一目标 是因为训练中缺乏建模数学思想方法的渗透 研究表明 数学训练可以分为三个层次 第一层是 知识堆积 与 解题术 式的 它看 的见 摸得着 易操作 易复制 但功能性弱 应用面窄 第二层是 思维方 法 和 解题方法 式的 它与前一层比 程序性弱 不易复制 但功能性更 强 应用面宽 第三层是 数学思想 与 数学观念 式的 它虽然抽象 程 序性更弱 但功能性强 它是对其他两个层次的指导和引领 所以 在数学教 学中要科学地 有层次地设计练习 让提炼数学思想方法 构建数学模型成为 习题训练的