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微积分发展史 1 微积分学是微分学和积分学的总称 它是一种数学思想 无限细分 就是微分 无限求和 就是积分 微积分 Calculus 是高等数学中研究函数的微分 积分以及有关概念和应用的数学分支 它是数学的一个基础学科 内容主要包括极限 微分学 积分学及其应用 微分学包括求导数的运算 是一套关于变化率的理论 它使得函数 速度 加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论 积分学 包括求积分的运算 为定义和计算面积 体积等提供一套通用的方法 2 我国的微积分思想萌芽 公元前5世纪 战国时期名家的代表作 庄子 天下篇 中记载了惠施的一段话 一尺之棰 日取其半 万世不竭 是我国较早出现的极限思想 魏晋时期的数学家刘徽的 割圆术 开创了圆周率研究的新纪元 用他的话说 就是 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆合体 而无所失矣 3 西方的微积分思想萌芽 安提芬的 穷竭法 他在研究化圆为方问题时 提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积 从而求出圆面积 之后 阿基米德借助穷竭法解决了一系列几何图形的面积 体积计算问题 刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线 求瞬时变化率以及求函数的极大值极小值等问题 4 十七世纪微积分的酝酿 第一类是 已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式 求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题 第二类是 望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题 第三类是 确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值 极小值问题 第四类问题是求行星沿轨道运动的路程 行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等 使面积 体积 曲线长 重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究 5 意大利数学家卡瓦列里在其著作 用新方法促进的连续不可分量的几何学 1635 中发展了系统的不可分量方法 卡瓦列里认为线是由无限多个点组成 面是由无限多条平行线段组成 立体则是由无限多个平行平面组成 他分别把这些元素叫做线 面和体的 不可分量 卡瓦列里建立了一条关于这些不可分量的普遍原理 后以 卡瓦列里原理 著称 6 笛卡儿的代数方法在推动微积分的早期发展方圆有很大的影响 牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分的道路的 德国天文学家 数学家开普勒的无限小元法 17世纪上半叶一系列先驱性的工作 沿着不同的方向向微积分的大门逼近 但所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生 7 微积分的创立 牛顿的 流数术 牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋 当时他反复阅读笛卡儿 几何学 对笛卡儿求切线的 圆法 发生兴趣并试图寻找更好的方法 就在此时 牛顿首创了小 记号表示x的无限小且最终趋于零的增量 8 1665年11月发明 正流数术 微分法 次年5月又建立了 反流数术 积分法 1666年10月 牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文 此文现以 流数简论 著称 是历史上第一篇系统的微积分文献 牛顿就将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法 正 反流数术亦即微分与积分 并证明了二者的互逆关系而将这两类运算进一步统一成整体 这是他超越前人的功绩 正是在这样的意义下 我们说牛顿发明了微积分 9 莱布尼茨的微积分 莱布尼茨当时还没有微积分的符号 他用语言陈述他的特征三角形导出的第一个重要结果 由一条曲线的法线形成的图形 即将这些法线 在圆的情形就是半径 按纵坐标方向置于轴上所形成的图形 其面积与曲线绕轴旋转而成的立体的面积成正比 10 在微积分的创立上 牛顿需要与莱布尼茨分享荣誉莱布尼茨通常假设曲线z通过原点 这就将求积问题化成了反切线问题 即 为了求出在纵坐标为y的曲线下的面积 只需求出一条纵坐标为z的曲线 使其切线的斜率为 如果是在区间上 由上的面积减去上的面积 11 十八世纪微积分的发展 从17世纪到18世纪的过渡时期 法国数学家罗尔在其论文 任意次方程一个解法的证明 中给出了微分学的一个重要定理 也就是我们现在所说的罗尔微分中值定理 伯努利兄弟雅各布和约翰 他们的工作构成了现今初等微积分的大部分内容 其中 约翰给出了求未定式极限的一个定理 这个定理后由约翰的学生罗比达编入其微积分著作 无穷小分析 现在通称为罗比达法则 12 1715年数学家泰勒在著作 正的和反的增量方法 中陈述了他获得的著名定理 即现在以他的名字命名的泰勒定理 后来麦克劳林重新得到泰勒公式的特殊情况 现代微积分教材中一直将这一特殊情形的泰勒级数称为 麦克劳林 级数 18世纪的数学家还将微积分算法推广到多元函数而建立了偏导数理论和多重积分理论 这方面的贡献主要应归功于尼古拉 伯努利 欧拉和拉格朗日等数学家 13 微积分中注入严密性 微积分学中的许多概念都没有精确的定义 特别是对微积分的基础 无穷小概念的解释不明确 在运算中时而为零 时而非零 出现了逻辑上的困境 18世纪的时候 欧陆数学家们力图以代数化的途径来克服微积分基础的困难 这方面的主要代表人物是达朗贝尔 欧拉和拉格朗日 14 达朗贝尔定性地给出了极限的定义 并将它作为微积分的基础 他认为微分运算 仅仅在于从代数上确定我们已通过线段来表达的比的极限 欧拉提出了关于无限小的不同阶零的理论 拉格朗日也承认微积分可以在极限理论的基础上建立起来 但他主张用泰勒级数来定义导数 并由此给出我们现在所谓的拉哥朗日中值定理 欧拉和拉格朗日在分析中引入了形式化观点 而达朗贝尔的极限观点则为微积分的严格化提供了合理内核 15 19世纪分析的严密性真正有影响的先驱则是伟大的法国数学家柯西 柯西关于分析基础的最具代表性的著作是他的 分析教程 无穷小计算教程 以及 微分计算教程 柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题上长期存在的混乱 向分析的全面严格化迈出了关键的一步 16 另一位为微积分的严密性做出卓越贡献的是德国数学家魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯定量地给出了极限概念的定义 自变量的值无限趋近但不等于某规定数值时 或向正向或负向增大到一定程度时 与数学函数的数值差为无穷小的数 魏尔斯特拉斯所倡导的 分析算术化 纲领 基于魏尔斯特拉斯在分析严格化方面的贡献 在数学史上 他获得了 现代分析之父 的称号 17 魏尔斯特拉斯在课堂上给出了第一个严格的实数定义 但他没有发表 戴德金 康托尔几乎同时发表了他们的实数理论 并用各自的实数定义严格地证明实数系的完备性 这标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成 18 微积分的应用与新分支的形成 19 常微分方程与动力系统 从17世纪末开始 摆的运动 弹性理论以及天体力学等实际问题的研究引出了一系列常微分方程 这些问题在当时以挑战的形式被提出而在数学家之间引起激烈的争论 在18世纪 常微分方程已成为有自己的目标和方向的新数学分支 最先考虑微分方程解的存在性问题的数学家是柯西 18世纪20年代 他给出了第一个存在性定理 20 19世纪后半叶 常微分方程的研究在两个大的方向上开拓了新局面 第一个方向是与奇点问题相联系的常微分方程解析理论 它是由柯西开创的 另一个崭新的方向 也可以说是微分方程发展史上的又一个转折点 就是定性理论 它完全是庞加莱的独创 庞特里亚金提出结构稳定性概念 要求在微小扰动下保持相图不变 使动力系统的研究向大范围转化 动力系统的研究由于拓扑方法和分析方法的有力结合而取得了重要进步 借助于现代计算机模拟又引发具有异常复杂性的混沌 分叉 分形理论这方面的研究涉及到众多的数学分支 21 偏微分方程 达朗贝尔发表的论文 张紧的弦振动时形成的曲线的研究 被看作是偏微分方程论的开端 和常微分方程一样 求偏微分方程显式解的失败 于是促使数学家们考虑偏微分方程解的存在性问题 柯西也是研究偏微分方程解的存在性的第一人 22 变分法 变分法起源于 最速降线 和其它 些类似的问题 所谓最速降线问题 是要求出两点之间一条曲线 使质点在重力作用下沿着它由一点至另一点降落最快 即所需时间最短 这问题最早由约翰 伯努利提出来向其他数学家挑战 欧拉对于变分问题给出了处理 借助一个二阶常微分方程 给出了变分问题的解应满足的必要条件 这就是后来所谓的 欧拉方程 至今仍为变分法的基本方程 欧拉的工作奠定了变分法的这门新学科的独立基础 23 微积分的现代发展 在Riemann将Cauchy的积分含义扩展之后 Lebesgue又引进了测度的概念 进一步将Riemann积分的含义扩展 例如著名的Dirichilet函数在Riemann积分下不可积 而在Lebesgue积分下便可积 我国的数学泰斗陈省身先生所研究的微分几何领域 便是利用微积分的理论来研究几何 这门学科对人类认识时间和空间的性质发挥的巨大的作用 并且这门学科至今仍然很活跃 前不久由我国数学家朱熹平 曹怀东完成最后封顶的庞加莱猜想便属于这一领域 24 着数学本身发展的需要和解决问题的需要 仅仅考虑欧式空间中的微积分是不够的 有必要把微积分的演出舞台从欧式空间进一步拓展到一般的微分流形 外微分式的积分和微分流形上的Stokes公式产生了 然