同济版高等数学上册复习资料48550PPT课件.ppt

高等数学 上 总复习 第一部分复习的重点及题型分析 第二部分高等数学 上 方法综述 1 第一部分复习的重点及题型分析 复习重点 三个基本计算 极限 导数 积分 两个基本应用 导数应用 积分应用 一个基本理论 有关中值的定理及应用 2 一 三个基本计算 约70 1 极限的计算 约24 主要题型 1 利用基本方法求极限 函数的连续性 四则运算法则 极限存在准则 两个重要极限 等价无穷小替换 洛必塔法则 2 利用特殊方法求极限 导数定义 定积分定义 微分中值定理 变限积分求导 讨论左右极限 3 无穷小量的比较 3 例题分析 例1 计算 解 解 利用等价关系 例2 设f x 处处连续 且f 2 3 计算 4 解 化为指数形式 利用 例3 计算 解 例4 计算 5 例5 计算 解 令 例6 计算 解 令 6 例7 计算 解 利用等价无穷小 例8 计算 解 7 例9 求 解 令 则 原式 洛 例10 计算 解 直接用洛必塔法则不方便 利用等价无穷小 8 例11 计算 解 利用微分中值定理 例12 计算 解 洛 这是积分变量 9 例13 求 原式 洛 利用等价无穷小 解 10 例14 已知 解 对所给等式左边用洛必塔法则 得 再利用 可知 求a b 11 2 导数和微分的计算 约18 主要题型 1 计算复合函数的导数和微分 2 计算隐函数的导数和微分 3 参数方程求一阶 二阶导数 4 用导数定义求特殊点的导数值 5 计算n阶导数 包括对数微分法 例题分析 12 例1 已知 解法1 等式两边对x求导 得 故 解法2 等式两边取对数 得 两边对x求导 得 故 13 例2 已知 解 两边取对数 得 两边对x求导 14 例3 证明下述函数在x 0连续且可导 证 因为 又 在x 0连续且可导 思考 若函数改为 是否有同样的 结论 15 例4 已知 解 求 16 例5 设 解 17 例6 设 解 18 例7 设 求 解 19 例8 求 解 方法1 利用归纳法可证 方法2 利用莱布尼兹求导公式 的n阶导数 20 例9 设 求 解 21 3 不定积分与定积分的计算 约28 主要题型 1 利用基本积分方法计算不定积分 2 利用基本积分方法及公式计算定积分 3 利用简化技巧计算积分 4 广义积分的计算及收敛性判别 例题分析 22 例1 求 解 令 令 例2 求 解 23 例3 求 解 原式 24 例4 求 解 例5 讨论积分 解 的敛散性 可见原积分发散 25 例6 求 解 例7 已知 解 对所给等式两边求导 得 求 利用 偶倍奇零 得 26 例8 设 求 P266题10 解 令 则 27 例9 已知 解 由已知条件得 求 28 例10 求 解 利用P245例6 2 即 29 例11 利用递推公式计算下列广义积分 解 P256题3 30 二 两个基本应用 约24 1 导数的应用 约16 主要题型 1 导数的几何应用 2 利用导数研究函数形态 3 求解最值问题 4 利用导数证明恒等式 5 利用单调性证明不等式 31 例1 设函数 在定义域内可导 的图形如右图所示 则导函数 的图形为 2001考研 提示 在某区间I内可导 则在I内 是 的极值点 例题分析 32 例2 证明 在 上单调增加 证 令 在 x x 1 上利用拉氏中值定理 故当x 0时 从而 在 上单调增 得 L P95例4 33 例3 证明当x 0时 证法1 设 则 故 证法2 当x 0时 在 x x 1 上利用拉氏中值定理 得 34 例4 证明 证 即 P130例1 35 例5 证明当 证 归结为证 即 在 0 1 上不好判别正负号 提示 证明f 0 是f x 在 1 上的最大值 说明 若改为证明当x 1时 如何证明 36 例5 设 证 设 且 比较 可知 故不等式成立 37 有两个根 例6 讨论方程 有几个实根 解 设 令 得 最大值 注意 因此 当 时 当 时 只有一个根 当 时 无实根 P151题5 38 例7 求双曲线 的曲率半径R 并分析何处R最小 解 则 利用 39 例8 求内接于半径为R的球内的正圆锥体的最大体积 解 设锥体的底半径为r 高为h 如图 因 ADB BDE 所以 圆锥体体积 为极大值点 在 0 2R 内只有唯一驻点 且为极大值点 故为最大 值点 最大值为 40 2 定积分的应用 约8 1 利用定积分计算面积 直角坐标方程参数方程极坐标方程 2 利用定积分计算弧长及旋转体体积 3 定积分的物理应用 4 有关定积分的证明题 主要题型 例题分析 41 例1 求曲线 解 设切点为 则切线方程为 令 得 与其通过原点的切线及y轴所围图形 的面积 故所求面积为 42 例2 求曲线 解 列表 绕x轴旋转所得 旋转体的体积 43 例3 求抛物线 解 与直线 所围的图形绕y轴 旋转一周所得旋转体体积 44 例4 求由圆 解 圆的方程为 围成的平面图形绕x轴旋转 一周形成的旋转体体积 利用 偶倍奇零 45 例5 证明 提示 令 得x 1 0 判别x 1为f x 在 上的唯一极大点 故 则 时 46 例6 求抛物线 在 0 1 内的一条切线 使它与 两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小 解 设抛物线上切点为 则该点处的切线方程为 它与x y轴的交点分别为 所求面积 47 且为最小点 故所求切线为 得 0 1 上的唯一驻点 48 三 一个基本理论 有关中值的问题 约5 主要题型 1 讨论函数的零点问题或方程根的问题 存在性 唯一性 常用介值定理 罗尔定理 利用单调性 反证法 2 利用微分和积分中值定理证明等式或不等式 例1 叙述拉格朗日中值定理并证明之 提示 利用逆向思维设出满足罗尔定理的辅助函数 例题分析 49 例2 设常数 至少有一正根 且不超过 证 设 则 均为正值 证明方程 若 则 为一正根 且符合题意 若 则 由根的存在定理知 又 至少存在一个 使 即所给方程至少有一个不超过 的正根 50 证明方程 例3 已知 证 先证存在性 使 再证唯一性 在 0 1 上有唯一的根 则 因此 即 假设方程还有一根 则 无妨设x0 x1 故存在一点 则在 x0 x1 上F x 满足罗尔定理条件 即 与已知条件矛盾 故假设不真 因此根唯一 51 例4 设 证 设 证明存在唯一一点 因此存在唯一一点 即 52 例5 上可积且不变号 证明存在 使 P266题11 证明思路 想到用介值定理 53 证明 设M m分别为 上的最大值与最 小值 不妨设 若 则 故对任意 结论都正确 若 由连续函数介值定理可知 存在 使 故定理成立 则 则 54 例6 设 在 内二阶可 求证 至少存 导 且 在一点 提示 由积分中值定理得 上用罗尔定理得 上用罗尔定理 得 55 例7 证明方程 证 设 原方程存在唯一实根 由 使 在 0 1 上存在唯一 的实根xn 且 则 得 由 56 四 几点说明 1 函数也是考试重点 1 函数的定义域及复合函数的表达式 2 讨论函数在一点的连续或间断 例1 证明 解 在x 0连续 57 例2 设 解 故x 0为第一类跳跃间断点 并指出其间断点的类型 思考 如何求 及其间断点 58 例3 设 解 因为x 0时 F x 可导 故连续 问a取何值时F x 连续 显然连续 59 2 注意综合试题 1 极