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文档简介

1 1 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表 2 直接积分法 利用恒等变形 及基本积分公式进行积分 常用恒等变形方法 分项积分 加项减项 利用三角公式 代数公式 积分性质 复习 4 1不定积分的概念与性质 2 二 第二类换元法 一 第一类换元法 4 2换元积分法 3 第二类换元法 第一类换元法 基本思路 设 可导 则有 复合函数求导 4 一 第一类换元法 定理1 则有换元 公式 也称配元法 即 凑微分法 5 注 定理说明 若已知 则 因此该定理的意义就在于把 又称为积分的形式不变性 故扩展了基本积分表的适用范围 凑微分 6 凑微分法的基本思路 与基本积分公式相比较 将不同的部分 中间变量和积分变量 变成相同 步骤 凑微分 换元求出积分 回代原变量 例1求 解 一 解 二 解 三 注 形式不一样 实质差常数 7 例2 求 解 令 则 联想公式 例2 例4类型相同 8 例3 求 想到 解 直接配元 9 例4 解 注 拆项是常用的技巧 10 例5 求 解 类似 例5 例6类型相同 11 例6求 解 一 使用了三角函数恒等变形 12 解 二 13 类似地可推出 解 三 14 常用的几种配元形式 15 例7求 解 说明 当被积函数是三角函数相乘时 拆开奇次项去凑微分 16 例8求 解 积化和差 17 例9求 原式 解 分母有理化 18 例10求 凑微分 配方 19 解 例11设求 令 20 例12求 解 原式 21 第一类换元法常用简化技巧 1 分项积分 2 降低幂次 3 统一函数 利用三角公式 配元方法 4 巧妙换元或配元 凑幂法 利用积化和差 分式分项 利用倍角公式 如 22 二 第二类换元法 第一类换元法解决的问题 难求 易求 若所求积分 易求 则得第二类换元积分法 难求 23 定理2 设 是单调可导函数 且 具有原函数 证 令 则 则有换元公式 24 例1 求 解 令 则 原式 取单调区间 25 例2 求 解 令 则 原式 取单调区间 26 例3 求 解 令 则 原式 取单调区间 27 令 于是 28 说明 1 以上几例所使用的均为三角代换 三角代换的目的是化掉根式 一般规律如下 当被积函数中含有 可令 可令 可令 注 所作代换的单调性 对三角代换而言 取单调区间即可 29 说明 2 积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换 也可以化掉根式 例中 令 30 说明 3 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换 或双曲代换 并不是绝对的 需根据被积函数的情况来定 三角代换很繁琐 采用根式代换 解 令 31 说明 4 当分母的阶较高时 可采用倒代换 例求 解 令 32 例求 解 令 33 第二类换元法常见类型 令 令 令 或 令 或 令 或 后讲 令 7 分母中因子次数较高时 可试用倒代换 34 基本积分表 35 36 解 原式 例1 求 例2 求 解 37 小结 两类积分换元法 一 凑微分 二 三角代换
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