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三 向量的混合积 第二节 一 两向量的数量积 二 两向量的向量积 数量积向量积 混合积 第八章 1 一 两向量的数量积 沿与力夹角为 的直线移动 1 定义 设向量 的夹角为 称 数量积 点积 2 故 2 性质 为两个非零向量 则有 3 3 运算律 1 交换律 2 结合律 3 分配律 事实上 当 时 显然成立 4 例1 证明三角形余弦定理 证 则 如图 设 5 4 数量积的坐标表示 设 则 当 为非零向量时 由于 两向量的夹角公式 得 6 例2 已知三点 AMB 解 则 求 故 7 为 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P 流体密度 例3 设均匀流速为 的流体流过一个面积为A的平 面域 与该平面域的单位垂直向量 解 单位时间内流过的体积 的夹角为 且 8 二 两向量的向量积 引例 设O为杠杆L的支点 有一个与杠杆夹角为 符合右手规则 9 1 定义 定义 向量 方向 叉积 记作 且符合右手规则 模 向量积 引例中的力矩 思考 右图三角形面积 S 10 2 性质 为非零向量 则 3 运算律 2 分配律 3 结合律 证明略 证明 11 4 向量积的坐标表示式 设 则 12 向量积的行列式计算法 13 例4 已知三点 角形ABC的面积 解 如图所示 求三 14 一点M的线速度 例5 设刚体以等角速度 绕l轴旋转 导出刚体上 的表示式 解 在轴l上引进一个角速度向量 使 其 在l上任取一点O 作 它与 则 点M离开转轴的距离 且 符合右手法则 的夹角为 方向与旋转方向符合右手法则 向径 15 思考与练习 1 设 计算 并求 夹角 的正弦与余弦 答案 2 用向量方法证明正弦定理 16 证 由三角形面积公式 所以 因 17 1 已知向量 的夹角 且 解 18 在顶点为
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