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第二讲参数方程 椭圆的参数方程 如下图 以原点O为圆心 分别以a b a b 0 为半径作两个同心圆 设A为大圆上的任意一点 连接OA 与小圆交于点B 过点A作AN ox 垂足为N 过点B作BM AN 垂足为M 求当半径OA绕点O旋转时点M轨迹的参数方程 分析 设M点的坐标为 x y 点A的横坐标与M点的横坐标相同 点B的纵坐标与M点的纵坐标相同 而A B的坐标可以通过引进参数建立联系 解 设 XOA 则 A acos asin B bcos bsin 由此 即为点M轨迹的参数方程 消去参数得 即为点M轨迹的普通方程 如下图 以原点O为圆心 分别以a b a b 0 为半径作两个同心圆 设A为大圆上的任意一点 连接OA 与小圆交于点B 过点A作AN ox 垂足为N 过点B作BM AN 垂足为M 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程 2 在椭圆的参数方程中 常数a b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长 a b 另外称为离心角 规定参数的取值范围是 归纳比较 椭圆的标准方程 椭圆的参数方程中参数 的几何意义 圆的标准方程 圆的参数方程 x2 y2 r2 的几何意义是 AOP 是旋转角 椭圆的参数方程 是 AOX 不是 MOX 称离心角 练习1 把下列普通方程化为参数方程 把下列参数方程化为普通方程 练习2 已知椭圆的参数方程为 是参数 则此椭圆的长轴长为 短轴长为 焦点坐标是 离心率是 4 2 0 例1 如图 在椭圆x2 9 y2 4 1上求一点M 使M到直线l x 2y 10 0的距离最小 分析1 平移直线l至首次与椭圆相切 切点即为所求 小结 借助椭圆的参数方程 可以将椭圆上的任意一点的坐标用三角函数表示 利用三角知识加以解决 例1 如图 在椭圆x2 9 y2 4 1上求一点M 使M到直线l x 2y 10 0的距离最小 分析2 例2 已知椭圆 求椭圆内接矩形面积的最大值 解 设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为 所以椭圆内接矩形面积的最大值为2ab 例3 已知A B两点是椭圆与坐标轴正半轴的两个交点 在第一象限的椭圆弧上求一点P 使四边形OAPB的面积最大 练习 1 动点P x y 在曲线上变化 求2x 3y的最大值和最小值 2 取一切实数时 连接A 4sin 6cos 和B 4cos 6sin 两点的线段的中点轨迹是 A 圆B 椭圆C 直线D 线段 B 设中点M x y x 2sin 2cos y 3cos 3sin 它的焦距是多少 B 练习 小
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