概率论 二重积分的计算(二)PPT课件.ppt

3 2二重积分的计算 1 二重积分的计算 一 在直角坐标系中 累次积分 或 X 型 Y 型 复习 2 因此 针对不同形状的积分区域D以及被积函数 的特点 选择不同的坐标系来计算二重 积分是一个重要的问题 3 2二重积分的计算 解 3 二 二重积分在极坐标下的计算 4 x y 如果选取以直角坐标系的原点O为极点 以x轴为极轴 原点O x轴 二重积分在极坐标下的计算 5 用以极点O为中心的一族同心圆 1 利用极坐标系计算二重积分 设过极点O的射线与积分区域D的边界曲线的交点不多于两点 把区域D分成n个小区域 在极坐标系下 以及从极点出发的一族射线 在直角坐标系下 在极坐标系下 极坐标系下的面积微元 6 则 得 故面积微元为 这样二重积分在极坐标系下的表达式为 二重积分在极坐标下的计算 7 直角坐标系下与极坐标系下二重积分的转换公式 如何计算极坐标系下的二重积分 化为二次积分或累次积分来计算 二重积分在极坐标系下的表达式为 二重积分在极坐标下的计算 8 在极坐标系下化二重积分为二次积分或累次积分 同样要解决下面两个问题 2 确定积分的上 下限 1 选择积分次序 化为二次积分或累次积分来计算 二重积分在极坐标下的计算 9 2 极坐标系下化二重积分为二次积分 1 若极点O在区域D之外 则有 2 极点O在区域D的边界线上 则有 D D 只研究先对r后对 的积分次序 下面根据极点O与区域D的位置分三种情况讨论 型区域 10 3 若极点O在区域D的内部 则有 D 特殊地 D D 二重积分在极坐标下的计算 x 11 或被积函数为f x2 y2 利用极坐标计算二重积分积分特征 利用极坐标常能简化计算 如果积分区域D为圆 半圆 圆环 扇形域等 等形式 要点与步骤 用直角坐标系计算繁锁或不能计算的可以用极坐标计算 2 画区域图 列出 型区域 写成极坐标下的二次积分 二重积分在极坐标下的计算 12 3 极坐标下二重积分计算的基本步骤 1 将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分 将代入被积函数 将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式 确定相应的积分限 将面积元素dxdy换为 2 将极坐标系下的二重积分转化为二次积分 3 计算二次积分 则 13 例1计算 其中 解 故 注 由于的原函数不是初等函数 故本题无法用直角坐标计算 在极坐标系下 二重积分在极坐标下的计算 14 例2 二重积分在极坐标下的计算 解 15 例3计算积分 积分域是圆环 解 D 二重积分在极坐标下的计算 例3 14 16 例4 二重积分在极坐标下的计算 解 17 例5计算二重积分其中区域D为由x 0及x2 y2 2y围成的第一象限内的区域 解 D的边界曲线为x2 y2 2y 此时D可以表示为 其极坐标表达式 二重积分在极坐标下的计算 18 解 故 例6 二重积分在极坐标下的计算 19 解 因为被积函数为偶函数 例7求广义积分 所以 不能直接用一元函数的广义积分计算 泊松积分 例3 19 又因为被积函数的原函数不是初等函数 二重积分在极坐标下的计算 D 令 利用极坐标计算H 20 令 利用极坐标计算H 所以 D 正态分布 21 当积分区域由直线和除圆以外的其它曲线围成时 一般说来 当积分区域为圆形 扇形 环形区域 选取适当的坐标系对计算二重积分的计算是至关重要的 而被积函数中含有项时 选择坐标系 选择积分次序 二重积分计算过程 通常选择在直角坐标系下计算 下的计算方法往往比较简便 二重积分计算方法总结 化为累次积分 计算累次积分 二重积分可在两种坐标系下计算 采用极坐标系 22 二重积分在极坐标下的计算 23 由区域的对称性和函数的奇偶性可得 二重积分在极坐标下的计算 解 例7 24 1 1 D 解 二重积分在极坐标下的计算 例3 17 3 18不作要求 例8 25 二 二重积分在极坐标系中的计算 一 二重积分在直角坐标系中计算 小结 选择积分次序 选择积分限 化为累次积分 26 作业 P1533 212 1 2 13 2 3 下次课内容3 3二重积分的应用 27 二 二重积分在极坐标系下的计算 一 二重积分在直角坐标系下的计算 复