河北定州高三数学正态分布人教

2006年河北省定州市高三数学正态分布教学设计示例一、教学目标1能叙述正态分布的意义；2能正确写出服从正态分布的总体曲线（正态曲线）的函数表达式；3明确标准正态分布的意义，会写出标准正态曲线的函数表达式；4能叙述正态曲线的主要性质及所表达的概率统计的意义；5逐步形成学习数学的兴趣和自信心，获得数学学习的良好情感体验二、教学重点：是正态分布意义和性质教学难点：正态分布的意义的理解和应用三、教学用具：多媒体设备四、教学过程：1导入新课首先，引导学生简要回顾样本的频率分布与总体分布之间的关系由于总体分布通常不易知道，我们往往是用样本的频率分布（即频率分布直方图）去估计总体分布一般样本容量越大，这种估计就越精确其次，再以上一节得出的100个产品尺寸的频率分布直方图为例，说明当样本容量无限增大时，这个频率直方图无限接近于一条总体密度曲线再次，引导学生观察上节总体密度曲线的形状，得出总体密度曲线“中间高，两头低”的特征而具有这种特征的总体密度曲线一般可用一个我们不很熟悉的函数来表示或近似表示其解析式进而板书以下标题：2正态分布（1）正态函数的定义产品尺寸的总体密度曲线具有“中间高，两头低”的特征，像这种类型的总体密度曲线，一般就是或近似地是以下一个特殊函数的图象：（板书） 式中的实数 、 是参数，分别表示总体的平均数与标准差（至此，解释总体标准差是衡量总体波动大小的特征数，常用样本标准差去估计）函数 称为正态函数（2）正态分布与正态曲线（板书）若总体密度曲线就是或近似地是函数 的图象，则其分布叫正态分布，常记作 的图象称为正态曲线然后，用几何画板画出三条正态曲线：即 ； ； ，其图象如下图所示：教师列举服从正态分布的具体实例，然后让学生也列举出自己熟悉的服从正态分布的示例并指出，当 时，正态总体称为标准正态总体，相应的函数表示式是 相应的曲线称为标准正态曲线（3）正态曲线的性质先引导学生观察以上三条正态曲线，再让学生归纳出正态曲线的以下性质（板书）：曲线在x轴的上方，与x轴不相交曲线关于直线 对称，且在 时位于最高点当 时，曲线上升；当 时，曲线下降并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近当 一定时，曲线的形状由 确定 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中（4）服从正态分布的总体特征先分析产品尺寸这一类典型总体，它服从正态分布它的特征是：生产条件正常稳定，即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等可以控制的条件都相对稳定，而且不存在产生系统误差的明显因素再由此概括服从正态分布的总体特征：一般地，当g 随机变量是大量微小的独立随机因素共同作用的结果，而每一种因素都不能起到压到其他因素的作用时，这个随机变量就被认为服从正态分布并加以解释再结合教科书举例加以说明如正常生产条件下各种产品质量指标，同一群体的某种特征等（5）标准正态分布表先引导学生理解标准正态总体 在正态总体研究中的作用，再明确标准正态分布表中数值的意义，即 利用标准正态曲线说明等式中 及标准正态总体在任一区间 内取值概率 的几何意义 例题 求标准正态总体在（1，2）内取值的概率解：利用等式 有 （6）课内小结本节课我们主要学习了正态分布的若干性质，服从正态分布的总体的特征，如何使用标准正态分布表，要求同学们能知道正态曲线的大致形状以及从图象上直观得到正态分布的性质，并能利用标准正态分布表及相关等式进行计算五、布置作业：教科书第34页练习第1、2题教案点评：通过学习频率分布直方图和密度曲线引入正态曲线和正态分布，然后通过动画变化参数的值改变曲线，由学生归纳总结出正态曲线的性质。利用实例说明正态分布的总体特征。讲解x在某区间的概率的例题说明正态分布的概率的求法。典型例题证明正态分布在某区间的概率例1 证明若 服从 则一定有： 分析：注意到对于一般正态分布 来说，取值小于 的概率是 ，这就建立了概率值与函数值的对等关系，由此入手，即可证明问题证明：因为 服从 ，所以，取值小于 和 的概率分别为 ，故正态总体 在（ ）内取值的概率为： 也即： 说明：对于标准正态分布 来说，总体在区间（ ）内取值的概率 是有着明显的几何意义的，即介于直线 和 间的阴影部分面积（图形参看P32图16（1），而一般正态分布 总体在区间（ ）取值的概率也是同样的原理，是总体密度曲线下的面积一般正态分布与标准正态分布间的关系正是：若 即： 选题角度：一般正态分布在某区间的概率，训练正态分布转化为标准正态分布求解的思想。求服从一般正态分布的概率例2 设 服从 试求：（1） （2） （3） （4） 分析：首先，应将一般正态分布 转化成标准正态分布，利用结论：若 ，则由 知： 其后再转化为非负标准正态分布情况的表达式，通过查表获得结果解：（1） ;（2） ;（3） ;（4） 说明：这里，一般正态分布 ，总体小于 的概率值 与 和 是一样的表述，即： 选题角度：熟悉利用标准正态分布表求一般正态分布在某区间的概率；服从正态分布的材料强度的概率例3 已知：从某批材料中任取一件时，取得的这件材料强度 服从 （1）计算取得的这件材料的强度不低于180的概率（2）如果所用的材料要求以99的概率保证强度不低于150，问这批材料是否符合这个要求分析：这是一个实问题，只要通过数学建模，就可以知道其本质就是一个“正态分布下求随机变量在某一范围内取值的概率”的问题；本题的第二问是一个逆向式问法，只要把握实质反向求值即可解：（1） ;（2）可以先求出：这批材料中任取一件时强度都不低于150的概率为多少，拿这个结果与99进行比较大小，从而得出结论 即从这批材料中任取一件时，强度保证不低于150的概率为99.7399，所以这批材料符合所提要求说明：“不低于”的含义即在表达式中为“大于或等于”转化“小于”后，仍须再转化为非负值的标准正态分布表达式，从而才可查表选题角度：正态分布在生产中的应用.关于正态分布的探究活动已知测量误差 （单位：）则必须进行多少次测量才能使至少有一次测量的绝对误差不起过10的概率大于0.9？答案：设 表示 次测量中绝对误差不超过10的次数，因为 服从二项分布即 ，其中， ，因为， ，所以， ;又因为， 解得： ；综上所知：至少进行了3次测量才可使至少有一次测量的绝对误差不超过10cm的概率大于0.9习题精选一、填空题1若随机变量 ，则 服从参数为_的正态分布2若随机变量 ，且 ，则 _二、选择题1若设随机变量 ，且 ，则 的值为（ ）A0 B C D 2设随机变量 ，则 的值为（ ）A1 B2 C D43若随机变量 ，则 （ ）A B C D 4设随机变量 ，则 服从（ ）ABCD 5若随机变 ，且 则 等于（ ）ABC D 6设随机变量 的概率密度函数为： ，则 那么 等于（ ）A B C D 三、解答题1设 ，求下列各值：（1） （2） （3） （4） （5） 2设 服从 ，试求下面的概率：（1）（2）（3） 3某地区的月降水量 （单位：）服从正态分布 ，试求该地区连续10个月降水量都不起过50的概率4某中学高考数学成绩近似地服从正态分布 ，求此校数学成绩在120分以上的考生占总人数的百分比5设 服从 ，求下列各值：（1） （2） （3） （4） （5） （6） 6某县农民年均收入服从 元， 元的正态分布：求：（1）此县农民年均收入在500元520元之间的人数的百分比（2）若要使农民的年均收入在（ ）内的概率不小于0.95，则 的值应至少为多大？7若随机变量 ，求 的概率密度函数参考答案一、1 2 二、1B 2A 3C 4D 5B 6B三、1因为 （1） （2） （3） （4） （5） .2因为 所以， （1） （2） （3） .（4） 3 ，所以 即该地区连续10个月降水量都不超过50的概率为 4设 表示学生高考数学成绩，根据题意知要求 的值因为， ，所以， ，故数学成绩在120分以上的考生占总人数的2.285因为 ，所以 （1） ;（2） （3） ;（4）