2019-2020学年长沙市宁乡一中高一上学期入学考试数学试题（解析版）

2019-2020学年湖南省长沙市宁乡一中高一上学期入学考试数学试题一、单选题1下列计算正确的是( )ABCD【答案】B【解析】利用指数的运算性质即可求解.【详解】对于A，故A错误；对于B，故B正确；对于C，故C错误；对于D，故D错误；故选：B【点睛】本题考查了指数的运算性质，需熟记性质，属于基础题.2今年5月26日5月29日，2019中国国际大数据产业博览会在贵阳举行，贵州省共签约项目125个，金额约1008亿元.1008亿用科学记数法表示为( )ABCD【答案】D【解析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数.【详解】1008亿.故选：D【点睛】本题考查了科学记数法，需熟记科学记数法的表示形式，属于基础题.3估计的值应在( )A5和6之间B6和7之间C7和8之间D8和9之间【答案】B【解析】化简原式等于，因为，根据，即可求解.【详解】， .故选：B【点睛】本题考查了根式以及根式的化简，属于基础题.4某中学开展“阳光体育一小时”活动，根据学校实际情况，如图决定开设“A:踢毽子，B:篮球，C:跳绳，D:兵乓球”四项运动项目(每位同学必须选择一项)，为了解学生最喜欢哪一项运动项目，随机抽取了一部分学生进行调查，丙将调查结果绘制成如图的统计图，则参加调查的学生中最喜欢跳绳运动项目的学生数为( )A240B120C80D40【答案】D【解析】根据A项的人数是且所占的百分比是求得调查的总人数，然后用总人数减去A、B、D三项的人数可得.【详解】根据题意可知，参与调查的学生数为：，则参加调查的学生中最喜欢跳绳运动项目的学生数为;.故选：D【点睛】本题主要考查了统计图表的实际应用，属于基础题.5如果一组数据6，7，x，9，5的平均数是2x，那么这组数据的中位数为( )A5B6C7D9【答案】B【解析】直接利用平均数的求法可求出的值，再利用中位数的定义得出答案.【详解】一组数据6，7，x，9，5的平均数是2x，解得.则从大到小排列为：，故这组数据的中位数为：6.故选：B【点睛】本题考查了平均数的求法以及中位数的定义，属于基础题.6如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则( )A30B25C20D15【答案】D【解析】利用两直线平行同位角相等以及三角形的外角等于不相等的两个内角之和即可求解.【详解】，又，.故选：D【点睛】本题考查了平行线间的性质以及三角形的性质，属于基础题.7我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体.如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是( )ABCD【答案】A【解析】根据俯视图即从物体的上面观察得到的视图，进而得出答案.【详解】该几何体的俯视图是：故选：A【点睛】本题考查了几何体的三视图，考查了学生的空间想象能力和观察能力，属于基础题.8如图，AB是的弦，CD是的直径，于M，如果，则( )A24B12C9D6【答案】C【解析】作直径，连接，根据圆周角定理可得，然后在中，用，求出即可.【详解】作直径，连接，则，直径， 故选：C【点睛】本题考查了圆周角定理，考查了学生的分析推理能力，属于基础题.9如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度( )A增大1.5米B减小1.5米C增大3.5米D减小3.5米【答案】D【解析】由题意得出，即可由相似三角形的性质求解.【详解】,，即,解得米，同理，由，可求得米，人影的长度减少（米 ） 故选：D【点睛】本题考查了三角形相似的性质，属于基础题.10如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15，点B在抛物线()的图象上，则a的值为( )ABCD【答案】C【解析】连接，根据正方形的对角线平分一组对角可得，过点作轴于，然后求出，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，再利用勾股定理列式求出，从而得到点的坐标，再把点的坐标代入抛物线解析式求解即可.【详解】如图，连接，四边形OABC是边长为1的正方形， 过点作轴于，与x轴正半轴的夹角为15，点的坐标为，点B在抛物线()的图象上，解得.故选：C【点睛】本题考查了待定系数法求解析式、正方形的对角线平分对角定理以及直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，属于基础题.11二次函数的对称轴为.若关于x的一元二次方程在的范围内有实数解，则t的取值范围是( )ABCD【答案】A【解析】利用抛物线的对称轴可得，从而可得的解相当于与直线的交点的横坐标，由的值域即可求解.【详解】抛物线的对称轴，则方程，即的解相当于与直线的交点的横坐标，方程在的范围内有实数解，当时，当时，又，当时，在的范围内有解.t的取值范围是故选：A【点睛】本题考查了抛物线的对称轴以及一元二次方程根的分布求参数的取值范围，属于中档题.12某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a个零件(a为整数)，开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为( )A10B9C8D7【答案】B【解析】设原计划m天完成，开工x天后3人外出培训，根据题意可得，根据，解不等式即可求解.【详解】设原计划m天完成，开工x天后3人外出培训，则有，得到，由题意得，即:，将其代入得:，即:，a至少为9故选：B【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.二、填空题13计算:_【答案】3【解析】利用指数的运算即可求解.【详解】.故答案为：3【点睛】本题考查了指数的运算，需掌握指数的运算性质，属于基础题.14哥哥与弟弟玩一个游戏:三张大小质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，将标有数字的一面朝下，哥哥从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后弟弟从中任意抽取一张，计算抽得的两个数字之和，若和为奇数，则弟弟胜;若和为偶数，则哥哥胜，该游戏对双方_(填“公平”或“不公平”)【答案】不公平【解析】列举出所有情况，看两张卡片上的数字之和为偶数的情况占所有情况的多少即可求得到哥哥赢的概率，进而求得弟弟赢的概率，比较即可.【详解】列树状图得：共有种情况，和为偶数的有种，所以哥哥赢的概率是，那么弟弟赢的概率是，所以该游戏对双方不公平.故答案为：不公平【点睛】本题考查了列举法求基本事件，注意本题是放回实验，解题的关键是求出相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平，属于基础题.15设，则，则m的取值范围是_【答案】【解析】将的分子、分母分别因式分解、约分后可得，再根据即可确定m的取值范围.【详解】，即.故答案为：【点睛】本题考查了因式分解以及不等式的性质，属于基础题.16如图，正方形ABCD和，连接BF，DE.若绕点A旋转，当最大时，_ 【答案】6【解析】作于H，由，绕点A旋转时，点F在以A为圈心，4为半径的圆上，当BF为此圆的切线时，最大，即，利用勾股定理计算出，接着证明得到，然后根据三角形的面积公式求解.【详解】作于H，如图， ，当绕点A旋转时，点F在以A为圈心，4为半径的圆上，当BF为此圆的切线时，最大，即，在中，在和中，(AAS)，.故答案为：6【点睛】本题考查了勾股定理、三角形全等以及三角形的面积公式，属于中档题.三、解答题17化简:.【答案】【解析】首先将括号里的通分，然后把除法转化为乘法，经过分解因式、约分化简即可.【详解】【点睛】本题考查了分式的混合运算，要注意运算的顺序，有括号的先算括号里，再把除法转化为乘法，属于基础题.18为了增强学生的安全意识，某校组织了一次全校2500名学生都参加的“安全知识”考试，阅卷后，学校随机抽取了100份考卷进行分析统计，发现考试成绩(x分)的最低分为51分，最高分为满分100分，并绘制了如下尚不完整的统计图表.请根据图表提供的信息，解答下列问题: (1)填空:_，_，_;(2)将频数分布直方图补充完整;(3)该校对考试成绩为的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一二三等奖，并且一二三等奖的人数比例为1:3:6，请你估算全校获得二等奖的学生人数.【答案】(1)10，25，0.25;(2)见解析;(3)90人【解析】（1）利用样本总数这组的频率即可求解. （2）根据（1）求出的数据补全频数分布直方图即可.（3）利用全校2500名学生数考试成绩为考卷占抽取了的考卷数获得二等奖的学生人数占获奖学生数即可得到结论.【详解】(1)， 综上，; (2)补全频数分布直方图如图所示; (3)全校获得二等奖的学生人数：人.【点睛】本题考查的是频数分布图，读懂条形图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题.19已知，.(1)当MN是方程的两个根时，求b的值;(2)当MN是方程的两个根时，试比较M，N的大小.【答案】(1)b的值为2;(2)当时，;当时，.【解析】（1）利用韦达定理即可求解.（2）利用韦达定理求出，进而求出两根即可比较大小.【详解】（1）由题意可知，即 解得 （2）由题意可知，即，解得，即，解得，当时，则 当时，则.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解题的关键，属于基础题.20如图，两个正方形边长分别为ab，(1)求阴影部分的面积;(2)如果，求阴影部分的面积.【答案】(1);(2)27.【解析】（1）阴影部分的面积两个正方形的面积之和减去两直角三角形的面积，列出关系式，化简即可.（2）利用完全平方公式将（1）得出的关系式整理后，将以及的值代入计算，即可求出值.【详解】(1);(2)，.【点睛】本题考查了完全平方式的几何背景，考查了公式的灵活应用，属于基础题.21直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线()经过点A，交x轴于另一点C，如图所示. (1)求抛物线的解析式.(2)设抛物线的顶点为D，连接BD，AD，CD，动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点Q在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒.PQ交线段AD于点E.当时，求t的值;过点E作，垂足为点M，过点P作交线段AB或AD于点N，当时，求t的值.【答案】(1);(2);t的值为或【解析】（1）先由直线解析式求得点、的坐标，将点坐标代入抛物线解析式求得的值，从而得出答案； （2）由点，点，点C，点坐标可求得，可证四边形是平行四边形，可得，即，解之即可； 分点在上和点在上两种情况分别求解.【详解】（1）当时，点坐标，当时，点，抛物线()经过点A，（不合题意舍去）抛物线解析式为： （2）抛物线解析式为：，顶点，点坐标，与x轴交于点，点C，点，点，点，点，点， ,，且，,，且，四边形是平行四边形，. 如图，若点在上时，即 ,点坐标，点，,，,，（不合题意舍去）， 如图，点在上，即 ,点重合，此时,，解得：.综上所述：当时，的值为或.【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数解析式，抛物线上点的坐标，解题的关键是将点坐标代入抛物线解析式求得的值，此题考查了几何证明与求解，属于难题.22函数的图象与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，函数的图象与x轴交于点C，D(点C在点D的左侧)，其中，.(1)求证:函数与的图象交点落在一条定直线上;(2)若，求a，b和k应满足的关系式:(3)是否存在函数和，使得B，C为线段AD的三等分点?若存在，求的值，若不存在，说明理由.【答案】(1)见解析;(2);(3)存在，或【解析】（1）令，解方程即可求得.（2）若，可得，ABCD为抛物线与x轴的交点，求出的值，代