九年级秋季上册

专业 引领 共成长 CONTENTS目录第一章方程与不等式第一讲整式方程2第二讲一元方程17第三讲解方程组36第四讲解不等式55第五讲含参问题72第六讲绝对值不等式90第二章几何计算与证明第七讲几何变换107第八讲几何证明综合121第一讲整式方程【知识概述】整式方程是所有一元方程的基础，分式方程、根式方程和绝对值方程等都可以转化成一个整式方程之前已经学过了一元一次方程和一元二次方程的解法，超过三次的整式方程称为高次方程，它也是整式方程的重点和难点这一讲中，首先介绍多项式的因式定理和有理根定理；接下来介绍待定系数法，这些都是解高次方程的重要工具，最后在第三个模块中，将对高次方程的求解方法做出系统性的介绍和探讨【知识结构】模块一因式定理与有理根定理【知识精要】形如（n为非负整数，）的代数式叫做关于x的一元n次多项式称为多项式的系数，n称为此多项式的次数对于任意两个多项式，（），总存在两个多项式和，使得，其中叫做被除式，叫做除式，叫做商式，叫做余式，余式的次数小于除式的次数当时，有，此时称作被整除，或被整除，和叫做的因式如果是一次式，则的次数小于1，因此，只能是常数（0或非零常数），这时，余式也叫余数，记为r，即有；令得，；因此，有以下重要定理：余数定理：多项式除以所得的余数等于由上述可知，如果能被整除，那么必有，反之，如果，那么能被整除，因此，得到以下重要定理：因式定理：如果多项式能被整除，亦即有一个因式，那么，反之，如果，那么必为多项式的一个因式有理根定理若是一个整系数多项式，而是的一个有理根，其中r、s互质，那么必有，；特别地，如果的首项系数，那么的有理根都是整根，而且是的因子有理根定理的一个常见应用即是利用这个性质进行试根，结合因式定理对多项式进行因式分解，具体步骤如下：1) 对于一个整系数一元高次多项式，找到的所有因数；2) 将所有因数依次代入多项式，若存在一个因数a，使得，则a为多项式的一个根；3) 由因式定理可知，必有一个因式为，因此可写为；对于多项式可以继续利用试根法进行因式分解，也可利用其它方法进行因式分解，最终将因式分解备注：多项式的根即为其所对应的方程的根，故对于求解一个一元整式方程，如果可以将其所对应的多项式因式分解，即可求出该方程的根【典型例题】1. 已知多项式有一个因式是，求m的值【答案】【解析】因为多项式有一个因式是，故该多项式有一个根，即，解得，2. 分解因式：【答案】【解析】由有理根定理，有理根可能为，且显然任意使得多项式为负，故不可能为有理根，故有一个有理根，在实数范围内无法因式分解，3. 分解因式：【答案】【解析】根据有理根定理，可知多项式的有理根只可能是，因为当，时，所以必含有因式，比较最高次系数，得4. 求整系数多项式的全部有理根【答案】1和【解析】，故的有理根都是整数，且都是的因子，故可能的有理根是，代入，检验得只有、，故的有理根只有1和模块二待定系数法【知识精要】待定系数法：将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，根据得到的恒等式的性质得出对应项系数应满足的方程或方程组，再通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法有些复杂的多项式因式分解可以借助于待定系数法用待定系数法因式分解，步骤如下：（1）设原多项式分解为含待定系数的因式的积；（2）依据等式恒等，比较等式两边同类项的系数，得到方程或方程组；（3）解方程或方程组求出待定系数的值；（4）将多项式因式分解其中假设未知系数时，可通过观察原多项式的结构，判断确定因式中的一些项，减少待定系数的个数，从而降低解决问题的难度待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合其指导作用贯穿于初等数学、中等数学甚至高等数学，认真学好并掌握待定系数法对于解决很多问题都大有裨益【典型例题】5. 分解因式：【名师点拨】这是的四次五项式，若能分解因式，必然可以分解为两个二次式的积或一次式与三次式的积，用待定系数法均可尝试由于多项式分解因式的形式通常是唯一的，若第一种形式可行，就不必尝试另一种形式，若第一种不行，再从第二种形式入手【答案】【解析】假设原多项式可分解为两个二次式的积，设，则原式，比较两边对应项的系数可得：，解得，6. 分解因式：（1）；（2）；【答案】（1）；（2）【解析】（1）设，则原式，比较两边对应项的系数可得：，解得，；（2）设，则原式，比较两边对应项的系数可得：，解得，7. （1）当为何值时，能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式；（2）当为何值时，多项式能分解成两个一次因式的乘积？【名师点拨】当原多项式已经含有未知参数，为化简待定系数的复杂度，可先分解出因式中的常数项，从而减少待定的系数个数【答案】（1），；（2）【解析】（1）由原式中可设，对比两边系数可得，解得，；（2）令，原式故令，即，比较系数得，解得，所以8. 当为何值时，多项式能分解成两个一次因式的乘积【名师点拨】多项式中不含常数项时，可以不必两个因式均假设常数项，从而减少待定系数的个数【答案】0或4【解析】原式中不含常数项，设，即，（1）时，；（2）时，；的值为0或49. （1）若、是整数，且是的因式，求的值；（2）若能被整除，求整数、的值【名师点拨】考查待定系数法【答案】（1）；（2），【解析】（1）设，即，解得，；（2）设，即，解得，10. （1）在1100之间若存在整数，使能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的有多少个（2）已知多项式的系数都是整数若是奇数，证明：这个多项式不能分解成两个整系数多项式的乘积【答案】（1）9；（2）略【解析】（1）依题意令（，为整数），等式两侧系数匹配有，解得，又，故，根据对称性，不妨令，故符合条件的，合计9个，对应9个符合条件的整数（2）若分解成两个整系数多项式的乘积，令（，为整数），有，比较系数得依题意有为奇数由奇偶性分析得，均为奇数，另一方面，为奇数，为偶数，为偶数，为偶数，矛盾故这个多项式不能分解成两个整系数多项式的乘积模块三高次方程【知识精要】上两个模块介绍了因式定理、有理根定理和待定系数法这三个解高次方程的重要工具，本模块重点介绍高次方程解法步骤与技巧高次方程的常见解题思路是通过因式分解将一个高次的整式写成几个低次的代数式相乘的形式，从而达到降次的目的一旦次数为2次，便能通过二次方程的求根公式求解所以解高次方程的关键是如何将对应的高次多项式进行因式分解，常见的因式分解的分法有：猜根法（即利用有理根定理来猜根）、换元法（即观察方程的特征，通过换元降次，化简求解）、待定系数法等，下面将通过具体例题来逐一介绍【典型例题】11. 解方程：（1）；（2）【答案】（1）或；（2）【解析】（1）根据有理根定理，可知多项式的有理根只可能是，因为当和时，所以必含有因式，比较最高次系数，得，方程的解为或；（2）先利用有理根定理求出一个有理根，左边原方程的解为12. 解方程：【名师点拨】对于形如的高次方程，均可利用均值换元，令代入化简求解【答案】或【解析】设，则，代入原方程得：，打开整理得，解得，得或，为原方程得根13. 解方程：（1）；（2）【答案】（1）；（2），【解析】（1）左边原方程的解为；（2）显然，方程两边同除得：，令，有，即，代入方程得：，解方程得或当时，代回得或2；当时，代回得或综上原方程得根为，14. 解方程：【答案】【解析】原方程化为，原方程可化为，解得15. 解方程【答案】，【解析】令，有，代入原方程化为，得，或或，即或或解得，拓展内容多项式除以多项式：两个多项式相除，可以先把这两个多项式按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算多项式除以多项式的一般步骤：（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐；（2）用除式的第一项去除被除式的第一项，得商式的第一项；（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），从被除式中减去这个积；（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数为止，被除式除式商式余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除例：计算所以商式为，余式为注意以下几点：（1）列竖式计算时，按某一个字母作降幂排列，所缺的项需要用零补齐；（2）目前我们所学习的多项式除以多项式情况均为一元多项式相除当除式、被除式都按照降幂排列时，各项的位置就可以表示所含字母的次数因此，计算时只需写出系数，算出结果后，再把字母和相应的指数补上去这种方法叫做分离系数法按照分离系数法，上面例题的计算过程如下：于是得到商式为，余式为【课堂练习】1. （15分）解方程：【答案】【解析】将第一个和第四个括号内整式相乘，第二个括号和第三个括号内整式相乘，得，令，得，即，解得2. （15分）解方程：【答案】【解析】试根得到是方程的解，将方程左边除以得到，（无解，舍去）或，3. （15分）若可分解为两个一次因式的积，求的值【答案】【解析】由原式中可设，原式，则，解得，4. （15分）求解关于x的方程【答案】或【解析】将第一个和第四个括号内整式相乘，第二个括号和第三个括号内整式相乘，得，令，原方程可化为，解得，解得或5. （20分）解方程：【答案】或【解析】，解得或6. （20分）解下面关于x的方程：（1）；（2）【答案】（1）2或或；（2）1或2或或【解析】（1）运用试根法，试得方程有一个解为，因此把方程化为，解得或或；（2）运用试根的方法，分母是1的约数，分子是8的约数，我们试得是方程的根，方程左边除以得到，故或，下面解方程，再次试根得到是方程的根，左边除以得到，或或，综上，方程的解有或或或【课后作业】1. （15分）解方程：【答案】1或或【解析】试根得是原方程一个根，因此方程化为，下面解方程，试根得是方程的一个根，因此化为，解得2. （15分）解方程：【答案】，【解析】，令，则有，当时，代回得；当时，代回得所以原方程得根为，3. （15分）问是否能分解成两个整系数的二次因式的乘积？【答案】不能【解析】若能分解成两个整系数的二次因式的乘积，不妨设或者，比较与的系数可得或者，解得，没有整数能满足以上方程，故矛盾4. （15分）分解因式：【答案】【解析】原式设原式，比较两边对应项的系数可得：，解得，5. （20分）解方程：【答案】【解析】两边同时除以，得，令，则，因此原方程可化为，因式分解可得，或（舍去），解得6. （20分）解方程：【答案】，【解析】利用有理根定理可知有理根即从选取，发现为方程的根，故必定具备因子，继续对进行猜根法因式分解，最终得到，原方程的解为，第二讲一元方程【知识概述】在上一讲中重点介绍了一元整式方程的相关问题，本讲主要涉及可以化归为一元整式方程的几类方程在初中自招中，较为常见可化为一元二次的方程包括分式方程、无理方程以及绝对值方程，本讲将分模块介绍这几类方程的一般解法以及相关技巧“化归”是解决这类方程的基本思想，即通过方程的变形，将这些类型的方程转化为我们最为熟悉的一元二次方程，在学习中同学们应当注意体会这种数学思想另一方面，在自招中，解决此类方程往往会涉及到较为特殊的运算技巧，在学习时应当注意积累以及总结，避免不必要的去分母去根号等方程的变形，即所谓的“死算”【知识结构】模块一分式方程【知识精要】分式方程的一般解法分式方程的一般解题步骤即为去分母化为整式方程求解解出方程的根后不要忘记验根，对于分式方程的验根只需检验分母是否为0即可分式方程的化简技巧部分通分不将等式中的所有项一并通分，而是通过分组配对各自通分，从而达到约分降次的目的，避免将分式方程化为过高次数的整式方程如求解方程：若直接去分母，理论上方程会化为一个3次的高次方程，若直接将等式两边通分，也不存在可以约分的因子，考虑移项重新配对通分，发现两边分子均存在约数2，继续去分母，方程次数仅为2次可以求解分离常数对于分子次数大于等于分母次数的代数式，可以分离常数，使得分子的次数低于分母的次数，分离的过程可借助待定系数法或者长除法如；裂项对于形如的分式可以考虑裂项，巧取倒数某些情况下，对于方程（组）中的未知数求解比较麻烦，此时如果对未知数的倒数进行求解，方程（组）的形式反而会变得简单但需注意的是，取倒数时，无形中会加上“分子不为0”的条件，因此取倒数前一定要考虑分子为0的情况例如：关于x，y的方程组，将方程组内方程均取倒数得到，解出之后再取倒数求解备注：学生版中化简技巧将略去，讲解中请注意【典型例题】1. 解方程：【答案】【解析】去分母，化简得，根据有理根定理，可知多项式的有理根只可能是，因为当和时，有因式，因式分解得，解得，经检验，它们都是方程的根，故原方程的根为2. （2014复旦附中自招）方程的解为_【名师点拨】解分式方程的通常做法是直接去分母化成高次整式方程，再因式分解降次求解；然而观察本题可发现，将等式右边的常数项先移项再通分，可避免出现四次方程，从而化简运算以下提供两种解法以供参考【答案】或或【解析】解法一：将原方程去分母整理成整式方程，有：，观察等式左边，因式分解可得：，或或，解得：或或，经验证，均为原方程的根解法二：将2移项得得：，当时，等式成立，为原方程的根；当时，两边同除得：，将左式通分得：，当，即时，等式成立，为原方程的根；当时，两边同除得：，综上，或或，经验证，均为原方程的根3. 解方程：（1）；（2）【答案】（1）；（2）13【解析】（1）原方程变形为：，得，经检验为原方程的根；（2）将方程化为部分分式得，分别通分得，显然是方程的一个解，当时，去分母整理得，显然不成立，故方程的解是，经检验，不是方程的增根4. 解方程：【答案】【解析】分离常数，原方程变形为：，去分母整理得：，经检验为原方程的根5. 解方程：【答案】，【解析】原方程变形为：，去分母得，经检验，原方程两个根为，6. 解方程：【名师点拨】观察可知，原式每项分母中均含有，可考虑用部分换元法增元降次求解【答案】、【解析】令，则原式化为：，通分去分母，整理可得：，即，解得、经检验，、是原方程的解模块二无理方程【知识精要】无理方程的一般解法无理方程的一般解题步骤为通过移项，将方程的两边化为带根号和不带根号的代数式，通过两边平方去除根号化为整式方程求解解出方程的根后不要忘记验根，根式方程的验根需要代回原方程验证方程两边是否相等，切忌只检验根号内部是否大于等于0无理方程的化简技巧根式换元对于形如的代数式，可以令，从而，将之代回到原方程，从而达到化为整式方程的目的有理化因式对于两个根式相加减的方程，可以使用有理化因式，将解方程问题转化为解方程组问题如求解方程：通过分子有理化方程化为：，将这个方程和原方程视为一个方程组，即两式相加得，即可解得，经检验为原方程的根备注：学生版中化简技巧将略去，讲解中请注意对于分式方程和无理方程在解题过程中都需要注意避免毫无技巧的通分、脱根号或直接平方，从而将原方程转化成更复杂的高次方程给解题制造障碍；同时也要依据题中的各种隐藏条件（如分母不为零、根式的非负性等），验证所求解是否为增根【典型例题】7. 解下列无理方程：（1）；（2）【答案】（1）2；（2）【解析】（1）移项，方程两边平方，得，整理，得，再平方得，解得或2，经检验，是方程的增根，方程的解为；（2）令，代入原方程得，解得或3，回代得到或3，解得，经检验，是原方程的解8. ，则_【名师点拨】题中两个根式形式大体相同，而且是和的形式，因此考虑利用分子有理化的技巧，然后再平方去掉根号【答案】【解析】将原等式左边分子有理化，得：，即，两边平方化简得：，再平方化简得：，解之得或（舍）9. 解方程【答案】，【解析】由题意得令，则，有，代入原方程：，有，两边平方得，解得，经检验原方程的根为，10. （2015复旦附中自招）方程的解为_【名师点拨】含有多个根式的无理方程可以通过多次移项平方逐一脱根号，从而使方程有理化，然后观察本题方程进行恒等变形，可构造出相同的因式，将其看作一个整体可化简求解；亦可对两个复杂根式进行换元脱根号同时要注意未知数的取值范围对所求解加以验证【答案】【解析】，且，解法一：配方法原方程两边平方得：，两边同乘，有：，整理得：，即，解得：或（舍）或（舍）经验证，为原方程的根解法二：换元法令，则有：，解得：，整理得：，即：，解得：或（舍）经验证，为原方程的根11. 解下列无理方程：（1）；（2）【答案】（1）；（2）无解【解析】（1）设，则原方程可化为：，易解得或，当时，解得，当时，解得，经检验，和是增根，因此方程的解为；（2）令，则，且有，即，解得，即，解得，经检验，是方程的增根，故原方程无解12. 解下列无理方程：（1）；（2）【答案】（1）；（2）【解析】（1）令，化简得，同时原方程可转化为，代入前一式得，解得或2，故，即，解得，经检验，是方程的增根（舍去），故方程的解为；（2）令，则有，代入原方程得，经整理得，由于，故，有，代入解得，经检验，不是方程的增根，故方程的解为模块三：绝对值方程【知识精要】对于方程内存在绝对值运算的方程，试图去除绝对值往往是求解方程的前提，通常需要根据绝对值符号内代数式的正负性分类讨论，从而转化成不含绝对值的方程求解，或者利用绝对值的几何意义数形结合求解解绝对值方程的一般解法（1）直接以每个绝对值内代数式的符号为分类讨论依据，依次根据其对应的未知数的范围去除绝对值符号，注意解出相应的未知数在此分类依据下的范围，以便之后验证；（2）化为一般的整式方程求解，注意解完后不要忘记验证其是否符合之前分类讨论的范围；（3）将所有情况下的解合并即为原方程的解【典型例题】13. 解方程：【答案】【解析】由于等式两边都非负，两边平方，化简得，解得，经检验，它们都是方程的解14. 解方程：（1）；（2）【答案】（1）；（2）【解析】由于等式两边都是非负的，平方得，；（2）先找零点，由得，由即，得或，由得，所以零点共有，1，3三个，因此将数轴分为4个部分，当时，左边，解得，不满足条件，舍去；当时，左边，解得，满足条件；当时，左边，显然它不等于3，此时方程也无解；当时，左边，解得，不满足条件，舍去；综上，原方程的解为15. 解方程：【答案】，【解析】分别令，得零点分情况讨论：（1）当时，则，原方程化为：，即解得；（2）当时，则，原方程化为：，即，解得；（3）当时，则，原方程化为：，即，解得，均不在范围之内，故此时方程无解；（4）当时，则，原方程化为：，即，解得综上，16. 方程的解的个数为_【名师点拨】对于含有绝对值的方程，通常先依据“零点”分类讨论去掉绝对值，从而化成一般的整式方程【答案】3个【解析】对于的正负性进行分类讨论，（1）时，方程化为：，即：，解得：或，经验证均满足；（2）时，方程化为：，即，解得：，经验证满足故原方程解的个数为3个【课堂练习】1. （15分）解方程：【名师点拨】本题为无理方程，但如果拘泥于两边平方去根号的套路，虽然也能求解但稍繁琐若从观察未知数的取值范围出发，根据根号中的数式非负这一性质可直接解决问题【答案】原方程无解【解析】在实数范围内求解方程，有根号中的数式非负，所以，且，解得：，且，则此方程无解2. （15分）解方程：【答案】或或【解析】将分子相同的因式分组通分得，是方程的一个解，当时，令，则，解得或，进一步解得或，经检验，都不是方程的增根3. （15分）解方程：【答案】【解析】，解并检验得4. （15分）解方程：【答案】【解析】当且，即时，原方程化为，；当且，即时，原方程化为，当且，即时，原方程化为，同时满足条件，矛盾，故此时方程无解综上原方程的解为：5. （20分）解方程：【答案】【解析】方程两边同时乘以，得，即，或，解得或0，经检验，是方程的增根，故原方程的解为6. （20分）解方程：【答案】【解析】发现，则原方程化为，分情况讨论：（1）当时，原方程变形为：，得，与矛盾；（2）当时，原方程变形为： ，方程恒成立，即满足不等式的均为原方程的解，解得；（3）当时，原方程变形为：，得，综上，原方程的解为经检验，为原方程的解【课后作业】1. （15分）解方程【答案】或【解析】等式左边，解得：或，经验证均为原方程的解2. （15分）解方程：；【答案】【解析】移项得，配方得，令，得，解得或（舍去），故，解得，经检验，是原方程的解3. （15分）解方程：【答案】【解析】令，则根据题意有： ，又，或时，则，无解；时，则，此时，解得经验证，是原方程的根4. （15分）解方程【答案】，【解析】令，则原方程化为：，有，有或，代入解得，经检验均为原方程的根5. （20分）已知，则的值为_【答案】【解析】（设，则有，故，即，解得，6. （20分）解方程：【答案】【解析】原方程可化为：，左边，解得，经验证是原方程的解第三讲解方程组【知识概述】多元方程组是指含有多个未知数的方程组，常见题型包括求解多元一次方程组、多元高次方程组、多元分式方程组、多元无理方程组等尽管具体到每类方程组的解法不尽相同，通常亦需要比一元方程更复杂的恒等变形技巧，但纵有千变万化，而万变不离其宗对于方程组，“化归”仍然是解方程组最为基本的数学思想所谓“化归”，即是将待解决的复杂问题转化成已解决的简单问题，通过代数式的恒等变形，将分式方程组整式化、无理方程组有理化、高次方程组低次化、多元方程组一元化而“消元”和“换元”是化归最为基本的手段，本讲将分两个模块分别介绍消元法和换法元的方法和技巧【知识结构】模块一消元法【知识精要】解方程组最基本的思想即为消元，对于未知数个数和方程个数匹配的方程，理论上都可以通过消元将其转化为方程求解常见消元法代入消元：最为“朴素”的消元方法，当方程中的某个未知数可以很方便利用其它未知数表示时，利用代入消元减少未知数个数是泛用性最强的消元方法加减消元：对于结构对称和轮换对称的方程组，可以考虑使用加减消元对于某些方程组，其未知数的个数多于方程的个数，对于此类问题，可以尝试利用主元法求解拓展：主元法解方程主元法并不是一种具体的计算技巧，其更接近于一种数学思想，所谓主元法指的是：将多个未知数中的其中一个当做未知数，其余当做常数转化成一元方程，利用实数的各种性质探讨方程的解，即“方程组的方程解法”；亦或将多个未知数中的其中一个当做参数【典型例题】1. 已知实数满足方程组： ，则的值是_【名师点拨】本题解法不唯一，可通过加减消元法分别求出6个未知数的值，再求代数式，也可以直接由方程组中的每个等式整体代入，“凑”出代数式的值【答案】420【解析】将方程组每个等式编号得：，解法一：将等式，可得：，即，分别用式到式与式作差，可直接解得：，解法二：观察可知每个等式中未知数的系数均为5个1、1个2，且依次递增对称排列，因此可尝试计算等式，可直接解得：2. 解方程组：【名师点拨】本题是由两个二元二次方程构成的二元二次方程组对于此类方程组，可以考虑利用因式分解降次，从而将原方程组转化为一个二元一次方程和二元二次方程构成的方程组求解，从而运用代入消元求解即可【答案】；【解析】解法一：，所以或原方程组化为或，利用代入消元，解得原方程组的解为；解法二：将方程配方得：，两边开平方得：，即或，代入方程求解，以下同方法一，略3. （2014进才中学自招）如果是非零实数，并且，那么=_【名师点拨】本题利用代入消元求解，同时含有绝对值的方程组首先要对绝对值中的数式进行分类讨论【答案】【解析】，对于分类讨论：（1）时，方程组化为：，化简得：， ，无实数解；（2）时，方程组化为：，化简得：，解得或（舍），4. 已知求的值【答案】或【解析】，得：，所以或当时，原方程组化为利用代入消元得，方程有解，故此时；当，即时，将原方程组得：，代入得：，此时对应方程组有解，故综上或5. 已知，、互不相等，求证：【答案】略【解析】设，有，分别将，得：得：，化简得6. （2012新知杯）解方程组：【名师点拨】注意观察常数项之间的关系，灵活运用加减消元法和代入消元法【答案】【解析】将方程组每个等式编号为：，可得：，可得：，可得：，且；同理，可得：，可得：，可得：，代入得：，代入得：，结合，解得，同理故答案为7. 解方程组【答案】【解析】去分母将原方程化为，有，不妨令，得，得由分别减去、得：得：，由分别除以、得：，将三式相加得，解得，代回得原方程组的解为模块二换元法【知识精要】换元，最为基本的一种数学思想，存在于形形色色的代数或者函数问题之中，需要同学们对代数式的结构有着敏锐的观察力和感知力，从整体复杂的结构中剥离出最为基本的局部，从而达到换元化简的目的本讲着重介绍利用换元法求解方程组所谓换元法解方程，指的是引入新的未知数来代替方程（组）中较为复杂的代数式，从而将方程降次或是简化，便于求解下面介绍几类常见的换元分法对称式换元方程中的未知数，互换后方程保持不变的方程称为二元对称方程，由两个二元对称方程组成的方程组称为对称方程组；由于一般的二元对称式总可以用基本的对称式和表示，因此在解二元对称方程组时，可以把，作为辅助未知数引入，通过换元转换成如下的基本对称方程组求解，此时，可以使用代入消元法，求解，也可以利用韦达定理逆定理，利用，是方程的两根求解这里特别要强调的是有些方程本身不是对称方程，甚至可能是分式方程或根式方程，但如果将带分号的整个分式令作一个字母，达到去除分式或将带根号的整个代数式令作一个字母，反解代入方程，则可能将分式方程或根式方程转化为对称方程组，进而解出原方程，当然该技巧有一定的难度，需要对方程有细致的观察，后面将结合例题进行分析增元化简有些方程若直接通分或两边平方化为高次方程，求解起来较为繁琐，因此可考虑用部分换元法，将一元方程转换成二元方程组，增元化简便于求解但需注意的是，由于换元的过程引入了一个新的未知数，故相应得原题由解方程问题转化为了解方程组的问题所谓“有得必有失”，此题通过换元化简了方程的形式，相应得增加了未知数的个数【典型例题】8. 解方程组【名师点拨】本题利用根式换元，将即具有根式和分式的非整式方程转化为整式方程求解【答案】，【解析】将原方程组化为，令，则原方程组化为，利用代入法解得，从而或，解得，经检验均为原方程组的解9. 已知方程组恰有一组解：，则的值为_【答案】11【解析】显然，将代入方程组，并将方程组取倒数得，解得，经检验，不是方程的增根，10. 解方程组：【答案】或或或【解析】令，代入方程组得，解得或，利用韦达定理构造一元二次方程进而解得或或或11. 解方程组：【答案】；【解析】将原方程组化为，令，则原方程组化为，得，方程组化为，解得，于是有，进而解得；12. 解方程组：【答案】或或或【解析】令，代入方程组得，解得或，利用韦达定理构造一元二次方程进而解得或或或13. 解方程组：【答案】【解析】因为，令，代入方程，得：，得原方程组的解为14. （2013上海中学自招）解方程组：【名师点拨】本题为三元二次方程组，看似颇为复杂，一般的加减消元法和代入消元法均很难直接求解，然而观察可发现方程组中每个等式均由平方差形式构成，因式分解后只含有三个因式，因此可考虑用换元法间接求解，化简运算【答案】或【解析】将三个等式进行移项，并用平方差公式因式分解得：，观察可知，只存在、这三个因式，因此可令，则方程组化为：，解得：或，即：或，解得：或经验证均为原方程组的解【课堂练习】1. （15分）（2014交大附中自招）解方程组：【名师点拨】本题看似数据复杂，其实观察可知未知数、前的系数完全对称，因此可直接将等式加减消元求解【答案】【解析】将方程两个等式编号为，有：， 有：，解得2. （15分）解方程组：【答案】【解析】，由方程得，故，方程可化为，得，代入方程得： ，当时，有，方程无解；当时，有，综上原方程组的解为3. （15分）解方程组：【答案】或【解析】将原方程每一个式子因式分解得，三式相乘并开平方得，当时，解得，故，当时，解得，故4. （15分）解方程组：【答案】或【解析】令，则，代入原方程组可得，第二式可化为，将第一式代入得到，与第一式联立解得或，分别代入，得到或5. （20分）解方程：【答案】【解析】故和是方程的两根，解得，即或，再利用韦达定理解得6. （20分）已知实数，满足，求的值【答案】8【解析】化简已知方程组得：，令，代入方程组得：，得，和可视作方程的两根，得：或，即或（舍），则【课后作业】1. （15分）已知实数满足方程组：，则的值是_【答案】150【解析】注意观察方程的对称性，全部相加得，即2. （15分）解方程组：【答案】或【解析】将两边同时乘以，得，与第二式相减得，得，代入第一式得，解得或3. （15分）已知实数、满足，则_【答案】4【解析】，由方程得代入方程，有，得，故，代回方程得，代入方程得，故4. （15分）解关于x，y，z的方程组【答案】或【解析】显然，是方程的一组解，当时，将方程组取倒数得，相加得，配方得，故，解得经检验，不是方程的增根5. （15分）解方程组：【答案】或【解析】令，则原方程组可化为，进一步得到，故，即为，利用韦达定理构造一元二次方程进而解得或6. （20分）解方程组：【答案】或【解析】令，代入原方程得，可化为，故有，解得，代入第一式得或（舍去）或或舍去，利用韦达定理构造一元二次方程进而解得，或第四讲解不等式【知识概述】不等式是指用不等号连接起来的代数式，而求解使得不等式成立的未知数的取值范围即是解不等式解不等式本质上是一个由繁到简的等价转化过程，因此在求解过程中每一步的变形都应该恒等，使得变形前后的不等式同解在初高中阶段，一般常见的可以求解的不等式类型包括整式不等式和非整式不等式，其中整式不等式又分为一次不等式、二次不等式和高次不等式，非整式不等式分为分式不等式、根式不等式和绝对值不等式本讲重点介绍二次不等式、高次不等式和分式不等式的解法【知识结构】模块一一元二次不等式与高次不等式【知识精要】一元一次不等式在六年级我们学习过一元一次不等式的解法，一元一次不等式是解任何不等式的基础，可通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为的形式再求解，当未知数系数为未知参数时，需要对其分类讨论，若则约去时不等号要变向求解一元二次不等式的基本思想解一元二次不等式或，要结合一元二次方程的根以及一元二次函数的图象确定解集，方程的根即是函数的零点，也是不等式解集的区间端点（其中零点是指函数图像与轴的交点横坐标，区间是指不等式解的取值范围）求解一元二次不等号的一般步骤解一般的一元二次不等式时，通常先将不等式转化为标准形式，使得二次项系数为正，以为例，讨论的实数根情况，若，方程无实数根，则二次函数的图像开口朝上且与轴无交点，则不等式的解集为全体实数；若，方程有两个相同的实数根，设为，则二次函数的图像开口朝上且与轴只有一个交点，则不等式的解为；若，方程有两个不同的实数根，设为、（），则二次函数的图像开口朝上且与轴有两个交点，则不等式的解集在两根之外，即或注：对于的情况，若此时，方程有两个不同的实数根，设为、（），则二次函数的图像开口朝上且与轴有两个交点，则不等式的解集在两根之内，即发现一元二次不等式解集的形式依赖于其不等号的开口方向，一般记忆为“大于在两边，小于在中间”一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式二次函数的图象一元二次方程的根有两相异实根，（）有两相等实根没有实数根一元二次不等式的解集或所有实数一元二次不等式的解集无解无解一元高次不等式对于高次不等式，可以考虑先换元降次化简为一元二次或一次不等式；如无法降次，则可类似一元二次不等式，先将不等式右边化零，求出不等号左边代数式的零点，用“穿针引线法”（又称数轴标根法）判断其正负性以不等式为例，因式分解可化为，构造函数，其中，则、为方程的三个实数根，即是函数的零点，当时，；当时，；当时，；当时，将零点在数轴上依次标出，用一根曲线从右上方依次穿过，如下图，则不等式的解集为或运用“穿针引线法”解高次不等式时要注意，若出现偶数次重根，如，则在附近左侧或右侧不影响代数式的正负性，所以奇数次重根按正常情况穿过零点，偶数次重根不穿过而是反弹，即所谓的“奇穿偶不穿”，如下图（实际操作时亦可将偶数次重根项直接舍去）【典型例题】1. 解不等式：（1）；（2）；（3）；（4）【名师点拨】解一元二次不等式通常先移项使不等式一边化零，整理成标准形式再因式分解或配方求解，求解时要注意到不等式、方程以及函数之间的联系，方程的根即是函数的零点，也是不等式解集的区间端点【答案】（1）或；（2）；（3）不等式无解；（4）全体实数【解析】（1）原不等式整理化简可得，因式分解有：，不等式的解集为：或；（2）原不等式整理化简可得，配方可得：，两边开方得：，不等式的解集为：；（3）原不等式整理化简可得，对于方程计算判别式可得：，方程无实数根，即二次函数开口向上，与轴无交点，无解，故原不等式无解；（4）原不等式整理化简可得，配方可得：，此不等式对于任意实数恒成立，故原不等式的解集可取任意实数2. 解不等式：（1）；（2）【名师点拨】这两道题看似为高次不等式和绝对值不等式，实则可通过换元进行化简，达到降次或者去绝对值的目的，转化为一元二次不等式【答案】（1）；（2），或，或【解析】（1）将当做整体，原不等式可化为，因式分解得，解得；（2）将当做整体，原不等式可化为，因式分解得，得或，或，或3. 解不等式：（1）；（2）【答案】（1）或或；（2）【解析】（1）原不等式为高次不等式，可构造函数，零点从左至右为：、1、2，用穿针引线法标注零点，如下图，如图所示，令的取值范围为、，故原不等式的解集为：或或（2）将原分式不等式转化为高次不等式，且分母，因式分解得且，用穿针引线法标注零点，如下图，得不等式的解集为+3-2+1-+-14. 解不等式：【答案】或或【解析】将原不等式转化为且，利用穿针引线法，解得，或或5. 解不等式：【答案】或【解析】将原不等式转化为，将因式分解，利用有理根定理，发现因式，故因式分解得，利用穿针引线法，解得，或6. 解不等式组：【名师点拨】解一元二次不等式组，本质上是求解所有一元二次不等式后，取同时满足所有不等式的公共部分取值范围【答案】或【解析】解不等式可得，；解不等式可得，或取公共部分知，不等式组的解为：或模块二分式不等式【知识精要】分式不等式解分式不等式的关键是如何去分母，可考虑讨论分母的正负性，将原不等式转化为不等式组求解，或是直接移项、通分，将其转化为整式不等式求解常用步骤如下，移项，使分式不等式一边化零；通分，化为两个代数式相除的形式；应用同号相乘（相除）得正，异号相乘（相除）得负，将分式不等式转化为同解的整式不等式求解解分式不等式时，切忌随意去分母，同时在解非严格不等式时，要注意使得分式转化为整式同解的前提是，分母不为零【典型例题】7. 解不等式：（1）；（2）；（3）【答案】（1）；（2）或；（3）或【解析】（1）原不等式为分式不等式，移项通分整理可得，即，化为同解的整式不等式可得，且，不等式的解集为：；（2）原不等式化为，有或；（3）移项通分得，