最牛材料力学4、扭转

材料力学 第四章扭转 一 扭转的概念及外力偶矩的计算 材料力学 对称扳手拧紧镙帽 工程中承受扭转变形的构件 扭转 材料力学 方向盘操纵杆 材料力学 汽车传动轴 扭转 材料力学 构件特征 等圆截面直杆 圆轴 受力特征 外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直 变形特征 杆各横截面绕轴线发生相对转动 扭转 扭转的概念及外力偶矩的计算 上述例子都可以抽象为下面的计算简图 材料力学 作用于轴上的外力偶矩一般不是直接给出的 而是先告诉轴的转速和传递的功率 功率P 是单位时间内所做的功 单位为kW n 960r min 材料力学 扭转 扭转的概念及外力偶矩的计算 材料力学 注 传动轴上总会有一个主动力偶 其它是跟它平衡的阻力偶 主动力偶与轴的转向相同 阻力偶与轴的转向相反 材料力学 二 杆受扭时的内力计算 材料力学 已知圆轴受外力偶矩作用 匀速转动 则 用截面法求内力 扭转 杆受扭时的内力计算 扭矩 材料力学 扭矩符号 按右手螺旋法则 扭矩矢量的指向与截面外法线的指向一致 为正 反之为负 扭转 杆受扭时的内力计算 材料力学 扭转 杆受扭时的内力计算 截面2 2上的内力 材料力学 扭矩图 扭矩随构件横截面的位置变化的图线 扭矩图 扭转 杆受扭时的内力计算 材料力学 例题4 1图示传动轴上 经由A轮输入功率10KW 经由B C D轮输出功率分别为2 3 5KW 轴的转速n 300r min 求作该轴的扭矩图 如将A D轮的位置更换放置是否合理 扭转 杆受扭时的内力计算 材料力学 经由A B C D轮传递的外力偶矩分别为 解 扭转 杆受扭时的内力计算 材料力学 绘出扭矩图 扭转 杆受扭时的内力计算 材料力学 扭矩Mx 图 在CA段和AD段 扭转 杆受扭时的内力计算 材料力学 将A D轮的位置更换 则 扭矩Mx 图 AD段 因此将A D轮的位置更换不合理 扭转 杆受扭时的内力计算 材料力学 三 圆轴扭转时的应力和变形 材料力学 1 实验观察 扭转 圆轴扭转时的应力和变形 横截面上存在剪应力 不存在正应力 刚性平面截面假设 圆轴的横截面变形后保持为平面 圆轴上端截面上所绘的径向线保持直线 即轴横截面象刚性圆盘一样绕轴线作相对转动 材料力学 圆轴 许多个套在一起的薄壁圆管 各个薄壁圆管扭转时截面的相对扭转角相同 扭转 圆轴扭转时的应力和变形 横截面上的剪应力处处垂直于径向 且方向同旋转方向 横截面上各点剪应力的方向 材料力学 要知道圆轴扭转时 其横截面上剪应力的分布规律 由于横截面上有无穷多个点 而我们现在只知道其分布内力的合成结果 只通过静力学的知识无法解出 是一个超静定问题 必须从三方面考虑 Torsion MechanicsofMaterials 材料力学 3 理论分析 1 几何分析 扭转 圆轴扭转时的应力和变形 2 物理条件 剪切胡克定律 材料力学 同理 式中表示扭转角沿轴长的变化率称为单位扭转角 在同一截面上 常数 扭转 圆轴扭转时的应力和变形 材料力学 2 物理条件 剪切胡克定律 扭转 圆轴扭转时的应力和变形 材料力学 3 静力平衡条件 单位扭转角 单位 rad m 称为极惯性矩 是截面的几何性质 与截面的几何形状 尺寸有关 扭转 圆轴扭转时的应力和变形 材料力学 在扭矩相同的条件下 因此表示圆轴抵抗变形的能力 称为圆轴的抗扭刚度 横截面上剪应力的计算公式 式中称为抗扭截面模量 扭转 圆轴扭转时的应力和变形 材料力学 4 公式中几何量与的计算 a 实心圆截面 因此 而 扭转 圆轴扭转时的应力和变形 材料力学 b 空心圆截面 D 式中 而 扭转 圆轴扭转时的应力和变形 材料力学 四 圆轴的强度条件和刚度条件 材料力学 受扭圆轴破坏的标志 塑性材料 首先发生屈服 最后沿横截面被剪断 脆性材料 变形很小 在与轴线约成45 的面上断裂 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 一 强度条件 圆轴的强度条件为 式中 u为扭转极限应力 n为安全系数 材料力学 二 刚度条件 或 的数值按照对机器的要求决定 精密机器的轴 一般传动轴 精度要求不高的轴 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 材料力学 解 由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量 轴的最大剪应力 例题4 2某汽车传动轴 用45号钢无缝钢管制成 其外径D 90mm 壁厚t 2 5mm 使用时最大扭矩为Mx 1500N m 试校核此轴的强度 已知 60MPa 若此轴改为实心轴 并要求强度仍与原空心轴相当 则实心轴的直径为 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 材料力学 所以此轴安全 若此轴改为实心轴 而 式中 解得 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 材料力学 实心轴的横截面面积为 空心轴的横截面面积 空心轴与实心轴的重量之比 因此在承载能力相同的条件下 使用空心轴比较节约材料 比较经济 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 材料力学 采用空心轴可有效地减轻轴的重量 节约材料 因为 根据应力分布规律 轴心附近处的应力很小 对实心轴而言 轴心附近处的材料没有较好地发挥其作用 从截面的几何性质分析 横截面面积相同的条件下 空心轴材料分布远离轴心 其极惯性矩Ip必大于实心轴 扭转截面系数Wp也比较大 强度和刚度均可提高 通常所讲保持强度不变 即指最大切应力值不变 保持刚度不变 即指截面图形极惯性矩保持不变 对于轴的强度或刚度 采用空心轴比实心轴都较为合理 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 材料力学 例题4 3图示等截面圆轴 已知d 90mm l 50cm 轴的材料为钢 G 80GPa 求 1 轴的最大剪应力 2 截面B和截面C的扭转角 3 若要求BC段的单位扭转角与AB段的相等 则在BC段钻孔的孔径d 应为多大 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 材料力学 扭矩图 解 1 轴的最大剪应力 作扭矩图 因此 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 材料力学 2 扭转角 截面B 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 材料力学 截面C 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 材料力学 3 BC段孔径d 由 得 解得 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 材料力学 例题3 4图示圆截面杆AB左端固定 承受一集度为t的均布力偶矩作用 试导出计算截面B的扭转角公式 解 取微段作为研究对象 根据平衡条件求得横截面上的扭矩为 微段两端截面的相对扭转角为 A B 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 材料力学 因此 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 材料力学 五 圆轴扭转时斜截面上的应力 材料力学 材料力学 n 扭转 圆轴扭转时斜截面上的应力 a 材料力学 斜截面上的正应力和剪应力为 1 讨论 2 3 4 扭转 圆轴扭转时斜截面上的应力 材料力学 对于脆性材料 抗拉能力很差 所以在拉应力最大的倾角为45 及135 的斜截面上被拉断 对于塑性材料 抗剪能力比抗拉能力差 所以在剪应力最大的横截面上被剪断 材料力学 六 扭转的静不定问题 材料力学 例题3 5一两端固定的圆截面杆AB受力偶矩作用如图 已知AC段为实心轴 直径D 10cm BC段为空心轴 壁厚t 0 5cm 要求 1 作扭矩图 2 若材料的 100MPa 试校核强度 扭转 扭转的静不定问题 材料力学 例题3 6一组合杆由实心杆1和空心管2结合在一起所组成 杆和管的材料相同 剪切模量为G 试求组合杆承受外力偶矩M以后 杆和管内的最大剪应力 并绘出横截面上应力分布的规律 如果杆和管的材料不相同 结果又怎样 解 1 静力学关系 2 变形协调条件 扭转 扭转的静不定问题 材料力学 3 物理关系 代入变形协调方程 得补充方程 4 补充方程与静力平衡方程联立 解得 扭转 扭转的静不定问题 材料力学 5 最大剪应力 杆1 管2 扭转 扭转的静不定问题 材料力学 静不定问题的解法 1 建立静力平衡方程 2 由变形协调条件建立变形协调方程 3 应用扭矩与相对扭转角之间的物理关系