《推理与证明》全章教案

推理与证明全章教案 选修1-2第二章推理与证明教案课题:合情推理掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。 通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。 感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。 教学重点归纳推理及方法的总结。 教学难点归纳推理的含义及其具体应用。 教具准备与教材内容相关的资料。 课时安排1课时教学过程一.问题情境 (1)原理初探引入“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”提问大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？探究他是怎么发现“杠杆原理”的？从而引入两则小典故（图片展示-阿基米德的灵感）A一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？B修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。 思考整个过程对你有什么启发？启发在教师的引导下归纳出“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。 观察猜想证明归纳推理的发展过程 (2)皇冠明珠追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠“歌德巴赫猜想”。 链接:哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，世界近代三大数学难题之一。 生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。 1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。 如633，1257等等。 公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想:(a)任何一个6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b)任何一个9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。 欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正这就是着名的哥德巴赫猜想。 确的，但他不能证明。 叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。 从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。 当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如:6=3+3,8=3+5,10=5+5=3+7,12=5+7,14=7+7=3+11,16=5+11,18=5+13,.等等。 有人对33108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想1(a)都成立。 但验格的数学证明尚待数学家的努力。 从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。 200年过去了，没有人证明它。 哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。 到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。 选修1-2第二章推理与证明教案思考其他偶数是否也有类似的规律？讨论组织学生进行交流、探讨。 检验2和4可以吗？为什么不行？归纳通过刚才的探究，由学生归纳“归纳推理”的定义及特点。 二、数学建构把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).注:归纳推理的特点;简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。 归纳推理的一般步骤 三、数学应用例1前提蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。 蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.结论所有的爬行动物都是用肺呼吸的。 例2前提三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，结论凸n边形的内角和是（n2）1800。 例3探究上述结论都成立吗？强调归纳推理的结果不一定成立！“一切皆有可能！” 四、提高巩固22?122?222?3?,?,?,?33?133?233?3b b+m由此我们猜想?(a,b,m均为正实数)。 a a+m?a n?的第一项a1?1,且a n?1?例4已知数列数列的通项公式。 a n(n?1,2,.),试归纳出这个1?a n探索先让学生独立进行思考。 活动“千里走单骑”鼓励学生说出自己的解题思路。 2选修1-2第二章推理与证明教案活动“圆桌会议”鼓励其他同学给予评价，对在哪里？错在哪里？还有没有更好的方法？【设计意图】提供一个舞台,让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。 【一点心得】在“千里走单骑”和“圆桌会议”的探究活动中，教师一定要以“鼓励和表扬”为主，面带微笑，消除学生的恐惧感，提高学生的自信心能力培养（例2拓展）例4拓展:a1?2,a2?1,a3?21,a4?,求a n?32思考怎么求a n？组织学生进行探究，寻找规律。 归纳由学生讨论，归纳技巧，得到技巧和。 技巧:有整数和分数时,往往将整数化为分数.技巧:当分子分母都在变化时,往往统一分子(或分母),再寻找另一部分的变化规律. 五、课堂小结 (1)归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。 通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。 (2)归纳推理的一般步骤通过观察个别情况发现某些相同的性质从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）课题类比推理3选修1-2第二章推理与证明教案教学目标通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去。 类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。 正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。 认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。 教学重点了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。 教学难点用类比进行推理，做出猜想。 教具准备与教材内容相关的资料。 课时安排1课时教学过程一问题情境从一个传说说起春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？二数学建构我们再看几个类似的推理实例。 例 1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。 等式的性质猜想不等式的性质 (1)a=b?a+c=b+c; (1)ab?a+cb+c; (2)a=b?ac=bc; (2)ab?acbc; (3)a=b?a2=b2;等等。 (3)ab?a2b2;等等。 问这样猜想出的结论是否一定正确？例 2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆球弦截面圆直径大圆周长表面积面积体积4选修1-2第二章推理与证明教案圆的性质圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长球的性质球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且垂直于切面的直线必经过球心圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理的一般步骤找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；检验猜想。 即观察、比较联想、类推猜想新结论 三、数学应用例3.在平面上,设h a,h b,h c是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为p a,p b,p c,我们可以得到结论:p ap bp c?1h hha bc试通过类比,写出在空间中的类似结论. 四、巩固提高5选修1-2第二章推理与证明教案1(xx年上海)已知两个圆x2+y2=1:与x2+(y-3)2=1,则由式减去式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为-2类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想直角三角形3个面两两垂直的四面体C90，PDFPDE3个边的长EDF90度a，b，c，4个面的面积S1，2条直角边S2，S3和S a，b和1条3个“直角面”S1，斜边c。 S2，S3和1个“斜面”S3（xx，北京）定义“等和数列”在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。 已知数列a n是等和数列，且a1?2，公和为5，那么a18的值为_，这个数列的前n项和S n的计算公式为_ 五、课堂小结1类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。 类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。 2类比推理的一般步骤找出两类事物之间的相似性或者一致性。 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）课题演绎推理6选修1-2第二章推理与证明教案教学目标1.了解演绎推理的含义。 2.能正确地运用演绎推理进行简单的推理。 3.了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。 教学重点正确地运用演绎推理进行简单的推理教学难点了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。 教学过程一复习:合情推理归纳推理从特殊到一般类比推理从特殊到特殊从具体问题出发观察、分析比较、联想归纳。 类比提出猜想二问题情境观察与思考1所有的金属都能导电铜是金属,所以，铜能够导电2.一切奇数都不能被2整除,(2100+1)是奇数，所以，(2100+1)不能被2整除.3.三角函数都是周期函数,tan?是三角函数,所以，tan?是周期函数。 提出问题像这样的推理是合情推理吗？三建构数学演绎推理的定义从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理；“三段论”是演绎推理的一般模式；包括大前提-已知的一般原理；小前提-所研究的特殊情况；结论-据一般原理，对特殊情况做出的判断三段论的基本格式MP（M是P）（大前提）SM（S是M）（小前提）SP（S是P）（结论）3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.1.所有的金属都能导电大前提铜是金属,-小前提所以，铜能够导电结论2.一切奇数都不能被2整除大前提(2100+1)是奇数，小前提所以，(2100+1)不能被2整除.结论7选修1-2第二章推理与证明教案3.三角函数都是周期函数,大前提tan?是三角函数,小前提所以，tan?是周期函数。 结论四.数学运用例 1、把“函数y?x2?x?1的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论。 解二次函数的图象是一条抛物线（大前提）函数y?x2?x?1是二次函数（小前提）2所以，函数y?x?x?1的图象是一条抛物线（结论）例2.已知lg2=m,计算lg0.8解 （1）lgan=nlga(a0)-大前提lg8=lg23小前提lg8=3lg2结论lg(a/b)=lga-lgb(a0,b0)大前提lg0.8=lg(8/10)小前提lg0.8=lg(8/10)结论例3.如图;在锐角三角形ABC中,ADBC,BEAC,D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等解 (1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形,大前提在ABC中,ADBC,即ADB=90-小前提所以ABD是直角三角形结论 (2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,大前提因为DM是直角三角形斜边上的中线,小前提所以DM=1AB结论2同理EM=AB所以DM=EM.练习第35页练习第1，2，3，4，题五课堂小结演绎推理具有如下特点:课本第33页。 演绎推理错误的主要原因是1大前提不成立；2,小前提不符合大前提的条件。 作业第35页练习第5题。 习题2。 1第4题。 课题推理案例赏识课型新授课8选修1-2第二章推理与证明教案教学目标1.了解合情推理和演绎推理的含义。 2.能正确地运用合情推理和演绎推理进行简单的推理。 3.了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。 教学重点了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别教学难点了解合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的。 教学过程 一、复习回顾合情推理和演绎推理的过程 二、问题情境例正整数平方和公式的推导。 提出问题我们知道，前n个正整数的和为S1(n)?1?2?.?n?1n(n?1)2那么，前n个正整数的平方和S2(n)?12?22?.?n2?？ 三、数学建构思路1（归纳的方案）参照课本第36页37页三表猜想S2(n)?n(n?1)(2n?1)6思考上面的数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？思路2（演绎的方案）尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和。 2.把正整数的平方和表示出来，参照课本棣37页左右两边分别相加，等号两边的S2（n）被消去了，所以无法从中求出S2(n)的值，尝试失败了。 （2）从失败中吸取有用信息，进行新的尝试 （3）尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式。 左右两边相加，终于导出了公式。 思考上面的数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用。 上面的案例说明 （1）数学发现过程是一个探索创造的过程.是一个不断地提出猜想验证猜想的过程，合情推理和论证推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程。 （2）合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论，提供思路的作9选修1-2第二章推理与证明教案用。 （3）演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据。 四、巩固提高阅读课本第39页棱台体积公式的探求通过阅读或查资料，寻找合情推理和演绎推理在数学推理在数学活动中的作用的案例，并回答问题1。 案例中的数学活动是由哪些环节构成的？2。 在上这个过程中提出了哪些猜想？3，提出猜想时使用了哪些推理方法？4，合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？ 五、课堂小结 （1）数学发现过程是一个探索创造的过程.是一个不断地提出猜想验证猜想的过程，合情推理和论证推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程。 （2）合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论，提供思路的作用。 （3）演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据。 课题直接证明-综合法与分析法1教学目标10选修1-2第二章推理与证明教案知识与技能结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。 过程与方法:多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 2教学重点了解分析法和综合法的思考过程、特点3教学难点分析法和综合法的思考过程、特点4教具准备与教材内容相关的资料。 5教学设想分析法和综合法的思考过程、特点.“变形”是解题的关键，是最重一步。 因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。 6教学过程:学生探究过程证明的方法 （1）、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。 在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。 综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。 对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。 （2）、例1设a、b是两个正实数，且ab，求证a3+b3a2b+ab2证明(用分析法思路书写)要证a3+b3a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2ab成立。 (a+b0)只需证a2-2ab+b20成立，即需证(a-b)20成立。 而由已知条件可知，ab，有a-b0，所以(a-b)20显然成立，由此命题得证。 (以下用综合法思路书写)ab，a-b0，(a-b)20，即a2-2ab+b20亦即a2-ab+b2ab由题设条件知，a+b0，(a+b)(a2-ab+b2)(a+b)ab即a3+b3a2b+ab2，由此命题得证2422例 2、若实数x?1，求证3(1?x?x)?(1?x?x).证明采用差值比较法3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2242423=3?3x?3x?1?x?x?2x?2x?2x=2(x?x?x?1)=2(x?1)(x?x?1)114322选修1-2第二章推理与证明教案132(x?1)2(x?)2?.24=13?x?1,从而(x?1)2?0,且(x?)2?0,24132(x?1)2(x?)2?0,2424223(1?x?x)?(1?x?x).?a b b aa,b?R,a b?a b.例 3、已知求证本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明1)差值比较法注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设a?b?0.?a?b?0?aa bb?ab b a?ab bb(aa?b?ba?b)?0，从而原不等式得证。 2）商值比较法设a?b?0,a aa b ba?1,a?b?0,?ba?()a?b?1.bbab故原不等式得证。 注比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。 用比较法证明不等式的步骤是作差（或作商）、变形、判断符号。 讨论若题设中去掉x?1这一限制条件，要求证的结论如何变换？课堂小结本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点.“变形”是解题的关键，是最重一步。 因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。 课题间接证明-反证法1教学目标知识与技能结合已经学过的数学实例，了解间接证明12选修1-2第二章推理与证明教案的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点。 过程与方法:多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 2.教学重点了解反证法的思考过程、特点3.教学难点反证法的思考过程、特点4教具准备与教材内容相关的资料。 5教学设想利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。 6教学过程:学生探究过程综合法与分析法 (1)、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。 反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。 用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为 (1)反设； (2)归谬； (3)结论。 反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。 推理必须严谨。 导出的矛盾有如下几种类型与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。 (2)、例子例 1、求证2不是有理数n na?b（n?N且n?1）a?b?0例 2、已知，求证13选修1-2第二章推理与证明教案例 3、设a?b?2，求证a?b?2.证明假设a?b?2，则有a?2?b，从而33a3?8?12b?6b2?b3,3322a?b?6b?12b?8?6(b?1)?2.26(b?1)?2?2，所以a3?b3?2，这与题因为设条件a?b?2矛盾，所以，原不等式a?b?2成立。 2f(x)?x?px?q，求证例 4、设二次函数1f (1),f (2),f (3)中至少有一个不小于2.1f (1),f (2),f (3)证明假设都小于2，则33 （1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有f (1)?2f (2)?f (3)?2.f (1)?2f (2)?f (3)?f (1)?2f (2)?f (3)?(1?p?q)?2(4?2p?q)?(9?3p?q)?2 （2） （1）、 （2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。 注意诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。 议一议一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。 试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？例 5、设04,(1?b)c4,(1?c)a4,1则三式相乘ab(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a0，ab+bc+ca0，abc0，求证a,b,c0证设a0,bc0,则b+c=?a0ab+bc+ca=a(b+c)+bc0矛盾，必有a0同理可证b0,c0课堂小结反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。 反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。 用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为 (1)反设； (2)归谬； (3)结论。 反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。 推理必须严谨。 导出的矛盾有如下几种类型与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。 2 一、教学目标1了解本章知识结构。 2进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。 课题:数学归纳法15选修1-2第二章推理与证明教案3认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力。 二、教学重点进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。 难点认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力 三、教学过程【创设情境】 一、知识结构合情推理推理推理与证明证明演绎推理综合法直接证明分析法数学归纳归纳推理类比推理【探索研究】我们从逻辑上分析归纳、类比、演绎的推理形式及特点；揭示间接证明反证法了分析法、综合法、数学归纳法和反证法的思维过程及特点。 通过学习，进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。 【例题评析】例1如图第n个图形是由正边形“扩展”而来,（，?）。 则第n2个图形中共有_个顶点。 16选修1-2第二章推理与证明教案变题黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案第1个第2个第3个则第n个图案中有白色地面砖块。 例2长方形的对角线与过同一个顶点的两边所成的角为?,?，则cos2?sin2?=1，将长方形与长方体进行类比，可猜测的结论为_;变题1已知，m是非零常数，xR,且有f(x?m)=1?f(x)1?f(x),问f(x)是否是周期函数？若是，求出它的一个周期，若不是，说明理由。 变题2数列an的前n项和记为S n，已知a?21?1,a n?1?nnS n(n?1,2,3?).证明（）数列Snn是等比数列；（）S n?1?4a n.例3设f(x)=ax2+bx+c(a0),若函数f(x+1)与函数f(x)的图象关于y轴对称，求证f(x?12)为偶函数。 17选修1-2第二章推理与证明教案例4设S111nn=1+2+3+.+n(n1,nN),求证S2n?1?2（n?2,n?N）评析数学归纳法证明不等式时，经常用到“放缩”的技巧。 变题是否存在a、b、c使得等式122+232+?+n(n+1)2=n(n?1)(an212+bn+c)对于一切正整数n都成立？证明你的结论。 解假设存在a、b、c使题设的等式成立，?4?1?6(a?b?c)?这时令n=1,2,3,有?22?1a?3(4a?2b?c)?2?b?11?70?9a?3b?c?c?10?于是，对n=1,2,3下面等式成立122+232+?+n(n+1)2=n(n?1)12(3n2?11n?10)记S n=122+232+?+n(n+1)2 （1）n=1时，等式以证，成立。 （2）设n=k时上式成立，即S k=k(k?1)(3k212+11k+10)那么S k+1=S k+(k+1)(k+2)2=k(k?1)(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)22=(k?1)(k?2)12(3k2+5k+12k+24)=(k?1)(k?2)123(k+1)2+11(k+1)+10也就是说，等式对n=k+1也成立18选修1-2第二章推理与证明教案综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立【课堂小结】体会常用的思维模式和证明方法。 【反馈练习】1（xx辽宁）在R上定义运算?:x?y?x(1?y).若不等式(x?a)?(x?a)?1对任意实数x成立，则A?1?a?1D?B0?a?2C?13?a?2231?a?222定义A*B，B*C，C*D，D*B分别对应下列图形 （1） （2） （3）那么下列图形中 （1） （2） （3）可以表示A*D，A*C的分别是()