九年级数学92711011号教案

九年级数学92711011号教案 海航教育九年级（上）知识海洋，有我领航第三周教案9.27号二次函数方法点击?二次函数的定义中，a0是必不可少的条件，在应用时不能忽略这个隐含条件.?识别二次函数的步骤 （1）已知函数必须是整式函数； （2）化简后等号的右边是关于x的二次多项式；?在确定二次函数各项的系数时，应先把函数化成一般式，再确定a、b、c的值.练习题1下列函数， （1）y=32x2；32 （2）y=x?1； （3）y=3x(2x1)； （4）y=25x2； （5）y=x2(3x)2； （6）y=mx2+nx+p（其中m、n、p为常数）其中是二次函数的是（填序号）.2对于任意实数m，下列函数中一定是二次函数的是（）A.y=(m1)2x2B.y=(m+1)x2C.y=(m2+1)x2D.y=(m21)x2m3已知y=(m+m)x22?m是二次函数，求m的值.4已知二次函数y=mx2+p，当x=2时y=5；当x=1时y=1，求m、p的值.1海航教育九年级（上）知识海洋，有我领航5某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元.，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经过市场调查发现，如果每件衬衫每降1元，商场平均每天可多售出2件.设每件衬衫降价x元，每天的利润为y元， （1）试写出y与x之间的函数关系式； （2）若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？答案:1 （1）， （3）， （4）2.C3.24.m=2，P=-3.5 （1）y=-2x2+60x+800； （2）10元或20元.二次函数y=ax2的图象与性质1?函数y=ax2（a为常数，a0）的图象与性质函数开口方向顶点坐标对称轴函数的变化最大（小）值x0时，y随x增大而增大；x0时，y随x增大而增大；x0）2向上y轴（0，0）（直线x=0）当x=0时，y最小=0y=ax（a0时y随x增大而增大即当x0时y随x增大而减小最大（小）值即当x0向上y随x增大而减小即当x0时a0时，向上平行移动，当k0向上y随x增大而减小y随x增大而增大=0当x=h时y最大a0时，向右平移|h|个单位，当h0时，向左平移|h|个单位.练习题1抛物线y=3(x+2)2的开口方向，对称轴是，顶点坐标是，在对称轴左侧，即x时，y随x增5海航教育九年级（上）知识海洋，有我领航大而，在对称轴右侧,即x时y随x增大而，当x=时，y有最值为.2将抛物线y=x2沿x轴向平行移动个单位，可得到抛物线y=(x5)2；沿x轴向平行移动个单位，可得到抛物线y=(x+5)2.3顶点为(6，0)，开口向下，形状与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是（）.A.y=(x6)12121313131222B.y=(x+6)21212C.y=(x6)D.y=(x+6)24抛物线y=m(x5)2经过点（0，3），求抛物线解析式.5.一条抛物线其形状与抛物线y=2x2相同，对称轴和抛物线y=(x2)2相同，且顶点纵坐标为0，求这条抛物线的解析式.答案1下，直线x=-2，（-2，0），-2，减小，-2，大，0.2右，5；左，5.二次函数y=a(xh)2+k的图象与性质1.函数y=a(xh)2+k的图象是一条抛物线，它的顶点坐标（h,k），对称轴是直线x=h.函数的变化开口方向最大（小）值在对称轴左侧（xh）34y=25(x-5)2.5y=2(x-2)2.6海航教育九年级（上）知识海洋，有我领航a0向上y随x增大而减小y随x增大而增大当x=h时y最小值=k a0向下y随x增大而增大y随x增大而减小当x=h时y最大值=k2.?抛物线y=a(xh)2+k与y=ax2的关系，抛物线y=a(xh)2+k可由抛物线y=ax2平行移动得到，它们形状相同，只有位置不同.把y=ax2的图象先沿x轴向左或向右平移|h|个单位后，得到y=a(xh)2的图象，再沿y轴向上或向下平移|k|个单位，便可得到y=a(xh)2+k的图象.练习题1函数y=5(x3)22的图象可由函数y=5x2的图象沿x轴向平移个单位，再沿y轴向平移个单位得到.2若把函数y=5(x2)22的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式为.3二次函数当x=5时有最大值为4，图象形状与y=3x2相同，则该二次函数的解析式为.4将抛物线y=x21向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则新抛物线的解析式为（）.A.y=(x+2)23B.y=(x+2)22C.y=(x2)23D.y=(x2)225二次函数y=a(x+k)2+k(a0)，无论k取什么实数，图象顶点必在（）.7海航教育九年级（上）知识海洋，有我领航A.直线y=-x上B.x轴上C.直线y=x上D.y轴上1右，3，下，2.2y=5x2-4.3y=-3(x-5)2+4.4A.5A.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质1.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与性质b图象是一条抛物线，顶点坐标是(2ab2a，4ac?b24a).对称轴是直线x=.开口方向函数的变化在对称轴左侧bx2a最大（小）值bx=2aa0向上当y随x增大而增大y时y随x增大而减小4ac?b24a最小值=a0向下bx0)C.y=x24x5D.y=ax22ax+a3(a0)5若b0，则函数y=2x2+bx5的图象的顶点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案1y=2(x-2)2-4.2-3，-3，小，-4.3左，5，下，3.4D.5D.二次函数y=ax2+bx+c的最值方法点击求二次函数y=ax2+bx+c的最值的基本方法有 （1）顶点法二次函数在顶点处取得最值； （2）配方法由实数的非负性，又y=a(x+)仅当x=时，y有最值.解决实际问题中函数的最值问题应特别注意自变量的取值范围，此时函数图象只是抛物线的一部分，解题时往往要结合图象，通过观察或计算这段抛物线端点处的函数值，并与顶点处的函数值进行比较，以确定最值.练习题9b2ab22a4ac?b2+4a，当且海航教育九年级（上）知识海洋，有我领航1已知二次函数y=(3+x)(12x)，当x=时，函数有最值为.2二次函数y=x28x+c的最小值为0，那么c的值等于（）.A.4B.8C.4D.163某旅社有客房120间，每间客房的月租金为50元，每天都客满，旅社装修后要提高租金，经市场调查，如果一间客房的日租金增加5元，则客房每天出租会减少6间，不考虑其它因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增加多少元？4.如图在矩形ABCD中，AB=6，BC=12，点P从点A出发，沿AB边向点B以1/秒的速度移动，同时点Q从点B出发，沿BC边，向点C以2/秒的速度移动，如果P、Q两点分别到达B、C两点后，就停止移动，回答下列问题A PB DC Q （1）运动开始后第几秒时，PBQ的面积等于8cm2？ （2）设运动开始后第t秒时，五边形ACD的面积为S cm2.写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围; （3）t为何值时S最小？求出S的最小值.5已知函数y=x2+4x5，试求在3x0范围内函数的最大值和最小值.6.如图26.7.3，D是边长为4的正ABC的边BC上一点10海航教育九年级（上）知识海洋，有我领航，EDAC交AB于E，DFAC交AC于F，设DF=x，x为何值时EDF的面积最大？最大面积是多少？495答案1-4，大，8.2D.3将每间客房的日租金提到75元时，总收入最高，比装修前的日租金总收入增加750元.4 （1）运动开始后2秒或4秒时，SPBQ=8； （2）S=t2-6t+72.(0t6)； （3）当t=3时，S最小值=63.5因为y=(x+2)2-9，x=-2在-3x0内，所以当x=-2时，y最小值=-9。 又因为x=-3时，y=-8，x=0时，y=5，所以当x=03时，y最小值=-5.6提示y与x的函数关系式y=-3x2+2x，自变量x的取值范围是00?抛物线与x轴有2个交点；b24ac=0?抛物线与x轴只有一个交点；b24ac0的解集.图象在x轴下方的部分上的点的纵坐标为负，其各点的横坐标是一元二次不等式ax2+bx+c0的解集.利用图形求一元二次方程ax2+bx+c=0的解时，可把它变形为11海航教育九年级（上）知识海洋，有我领航?b cx2=axa的形式，然后再在坐标系内分别画出?b cy=x2及y=axa的图象，其交点的横坐标即为方程的解.练习题1不论m为何实数时，抛物线y=x2mx1与x轴的交点（）.A.有0个B.有1个C.有2个D.无法确定2已知抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且交点为A(2，0). （1）求b、c的值； （2）若抛物线与y轴的交点为B，坐标原点为O，求OAB的周长（答案可带根号）.123已知抛物线y=2x2+(6m)x+m3与x轴有A、B两个交点，且A、B两点关于y轴对称. （1）求m的值； （2）写出抛物线解析式及顶点坐标； （3）根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来.4如图26.11.3，已知抛物线y=x2ax+a+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于D(0，8)点，直线DC平行于x轴，交抛物线于另一点C.动点P以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CD运动，同时点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AB运动，连结、CB.设点P的运动时间为t秒.12海航教育九年级（上）知识海洋，有我领航 （1）求a的值； （2）当t为何值时，平行于y轴； （3）当四边形BC的面积等于14时，求t的值.y5已知二次函数y=2x2+bx+c的图象过点(2，3)，且顶点在直线y=3x2上，求它的解析式.6无论k为何值时，直线y=2kx1和抛物线y=x2+x+k（）A.都有一个公共点B.都有两个公共点C.没有公共点D.公共点个数不确定答案1.C.2 (1)b=-4，c=4； (2)OAB周长为6+25.3 (1)设A(x1，0)，B(x2，0)，A，B两点关于y轴对称，x1+x2=02(6-m)=0x1x202(m-3)02D PC OA QB x11222m22解得m=6. （2）求得y=-x+3.顶点坐标(0，3). (3)方程-x+(6-)x+m-3=0的两根互为相反数（或两根之和为零等等）.4 （1）a=6 （2）提示当a=6时，抛物线解析式为y=x2-6x+8.当y=8时，x2-6x=0，x1=0，x2=6.C(6，8).当y=0时x2-6x+8=0，x1=2，x2=4A(2，0)，B(4，0).CP=2t，AQ=t，441P(6-2t，8)，Q(2+t，0)，.由6-2t=2+t得t=3.即当t=3秒时. （3）S BC=2(4-2-t+2t)8=4t+8.33由4t+8=14得t=2.当t=2秒时四边形BC的面积为14.5.y=2x2-6x+7或y=2x2-4x+3.6.B13海航教育九年级（上）知识海洋，有我领航第四周10.06和10.11教案二次函数的图象综合讲解知识点回顾1.二次函数解析式的几种形式2y?ax?bx?c（a、b、c为常数，a0）一般式2顶点式y?a(x?h)?k（a、h、k为常数，a0），其中（h，k）为顶点坐标。 交点式y?a(x?x1)(x?x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标，即一元二次方程ax2?bx?c?0的两个根，且a0，（也叫两根式）。 2y?ax?bx?c的图象2.二次函数2y?ax?bx?c的图象是对称轴平行于（包括重合）y二次函数轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。 22y?ax y?a(x?h)?k任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为左加右减，上加下减，具体平移方法如下表所示。 14海航教育九年级（上）知识海洋，有我领航在画y?ax?bx?c的图象时，可以先配方成y?a(x?h)?k的形2y?ax式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平2222y?ax?bx?c y?a(x?h)?k的形式，移法；也可用描点法也是将配成这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。 然后取图象与y轴的交点（0，c），及此点关于对称轴对称的点（2h，c）；如果图象与x轴有两个交点，就直接取这两个点（x1，0），（x2，0）就行了；如果图象与x轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。 3.二次函数的性质函数2y?ax?bx?c二次函数y?a(x?h)2?k（a、h、k为常数，a0）a0a0a、b、c为常数，a0图象a0a0 (1)抛物线开口向上，并 (1)抛物线开口向下，并 (1)抛物线开口 (1)抛物线开口向上无限延伸向下无限延伸向上，并向上无向下，并向下无限延伸限延伸15海航教育九年级（上）知识海洋，有我领航性 (2)对称轴是x (2)对称轴是xb b?h，顶点是（h，k）h，顶点是（h，k）2a (2)对称轴是x， (2)对称轴是x2a，顶点是顶点是b4ac?b2b4ac?b2?，?，2a4a2a4a）（）（质 (3)当xh时，yb bx?h时， (3)当yx?x?随x的增大而增2a时，y随 (3)当2a时，y随 (3)当x的增大而减小；当x的增大而增大；当x?b bx?2a时，y随x的2a时，y随x的增大而减小随x的增大而减大；当xh时，小；当xh时，y随x的增大而y随x的增大而减小增大。 增大而增大 (4)抛物线有最低点，当 (4)抛物线有最高点，当 (4)抛物线有最 (4)抛物线有最低点，当xh时，高点，当xh时，b bx?x?y有最小值y有最大值2a时，y有最小2a时，y有最大y最小值?k值，4.求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法y最小值?4ac?b4ac?by最大值?4a值，4a22y最大值?k22y?ax?bx?c y?a(x?h)?k的形式，顶配方法将解析式化为点坐标为（h，k），对称轴为直线x?h，若a0，y有最小值，当xh时，y最小值?k；若a0，y有最大值，当xh时，y最大值?k。 b4ac?b2?，4a）公式法直接利用顶点坐标公式（2a，求其顶点；x?b2a，若对称轴是直线b4ac?b2a?0，y有最小值，当x?时，y最小值?；2a4a若a?0，y有最大值，b4ac?b2x?时，y最大值?2a4a当16海航教育九年级（上）知识海洋，有我领航5.抛物线与x轴交点情况2y?ax?bx?c(a0)对于抛物线当?b2?4ac?0时，抛物线与x轴有两个交点，反之也成立。 当?b2?4ac?0时，抛物线与x轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。 当?b2?4ac?0时，抛物线与x轴无交点，反之也成立。 练习题例1.下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数y?ax2?(a?c)x?c与一次函数y?ax?c的大致图象，有且只有一个是正确的，正确是（）2y?ax?(a?c)x?c与y?ax?c常数项均为c，解由所以两个图象与y轴交点应是一个点（0，c），17海航教育九年级（上）知识海洋，有我领航A、B不对当y?0时，ax2?(a?c)x?c?0的解为x1?1，x2?caca抛物线与x轴的交点为（1，0），（当y?0时，ax?c?0的解为x?ca?，0）ca直线与x轴的交点为（?，0）抛物线与直线另一交点在x轴上，应选C。 例2.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m。 （1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式。 （2）在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，试求出用d表示h的函数关系式； （3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？解 （1）拱桥是一个轴对称图形，对称轴为图中y轴，因此可知18海航教育九年级（上）知识海洋，有我领航抛物线上一些特殊点坐标，用待定系数法可求解析式。 d，h?42 （2）当水位上升时，抛物线与水面交点在变化，设为（）代入抛物线解析式可得d与h关系式； （3）根据逆向思维可求水面宽度为18m，即d18时，水位上升多少米？解 （1）设抛物线的解析式为yax2，且过点（10，4）故?4?a102，a?12x25125y?d，h?4 （2）设水位上升h m时，水面与抛物线交于点 （2）1d2h?4?254则d?104?h （3）当d18时，18?104?h，h?0.76.?2?276.076当水深超过2.76m时会影响过往船只在桥下顺利航行。 例3.如图半圆的直径AC2，点B在半圆上，CB不与C、A重合，F在AC上，且AEBC，EFAC于F，设BCx，EFy，求y与x的函数关系式和自变量的取值范围，并在直角坐标系中画出它的图象。 19海航教育九年级（上）知识海洋，有我领航分析求几何图形中的函数关系式，通常就是寻求自变量与函数之间的一个等量关系式，可用几何的方法证AEFACB得到比例式求出y与x的函数关系式。 解AC是直径，B90又EFAC，BAFE，AAAEFACB AEEF x y?，即?2xACBCy?12x2当B为ABC的中点时，E与B重合，此时BC?2，自变量x的取值范围是0?x?2，它的图象如图所示?例4.某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单位不得高于每千克7020海航教育九年级（上）知识海洋，有我领航元，也不得低于30元，市场调查发现单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克，在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算），设销售单价为x元，日均获利为y元。 （1）求y与x的二次函数关系式，并注明x的取值范围。 b24ac?b2y?a(x?)?2a4a （2）将 （1）中所求出的二次函数配方成的形式，写出顶点坐标，在如图所示的坐标系中画出草图，观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？ （3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？分析首先明确获利的含义，即每千克获利销售单价购进单价，其次注意自变量的取值范围由此在画图象时只能是原函数图象的一部分。 在 （3）中必须分别计算这两种销售方式的总获利，通过比较大小作答解 （1）若销售单价为x元，则每千克降低了（70x）元，日均多售出2（70x）千克，日均销售量为602（70x）千克，21海航教育九年级（上）知识海洋，有我领航每千克获利（x30）元。 依题意得y?(x?30)60?2(70?x)?5002?2x?260x?6500(30?x?70)2 （2）由 （1）有y?2x?260x?65002?2(x?65)?1950顶点坐标为（65，1950），其图象如图所示，经观察可知，当单价为65元时，日均获利最多是1950元。 （3）当日均获利最多时单价为65元，日均销售量为60?2(70?65)?70kg那么获总利为19507000?19500070元，当销售单价最高时单价7000117为70元，日均销售60kg，将这批化工原料全部售完需60天，那么获总利为(70?30)7000?117500?221500元，而221500?195000时且221500?195000?26500元。 销售单价最高时获总利最多，且多获利26500元。 例5.某一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与22海航教育九年级（上）知识海洋，有我领航隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m，若行车道总宽度AB为6m，请计算车辆经过隧道时的限制高度是多少米？（精确到0.1m）。 解以矩形的下底所在直线为x轴，矩形下底中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线解析式为y?6?y?12x?6(?4?x?6)4，令x?3，得9?3.75m375.?05.?325.32.m，因此，货车限高为3.2m。 4例5.已知抛物线在x轴上所截线段为4，顶点坐标为（2，4），求这个函数的关系式分析由于抛物线是轴对称图形，设抛物线与x轴的两个交点为（x1，0），（x2，0），则有对称轴方便地求二次函数的解析式解顶点坐标为（2，4）对称轴是直线x2抛物线与x轴两交点之间距离为4两交点坐标为（0，0），（4，0）2y?a(x?2)?4设所求函数的解析式为x?1(x1?x2)2，利用这个对称性很图象过（0，0）点0?4a?4，a?123海航教育九年级（上）知识海洋，有我领航2y?x?4x所求函数的解析式为2例6.已知二次函数y?(m?1)x?2mx?(3m?2)(m1)的最大值是零，求此函数的解析式。 分析依题意，此函数图象的开口应向下，则有a?m?1?0，且4(m?1)(3m?2)?(2m)2?04(m?1)顶点的纵坐标的值为零，则有。 以上两个条件都应满足，可求m的值。 ?m?1?0?4(m?1)(3m?2)?(2m)2?0?4(m?1)?解依题意由得m?1由得m1?1，m2?22（舍去）111y?(?1)x2?2x?(3?2)222所求函数式为y?121x?x?22即2y?2x例7.已知某抛物线是由抛物线经过平移而得到的，且该抛物线经过点A（1，1），B（2，4），求其函数关系式。 2y?ax?bx?c，则由于它是分析设所求抛物线的函数关系式为抛物线y?2x经过平移而得到的，故a2，再由已知条件列出b、c的二元一次方程组可解本题。 2y?ax?bx?c，则由已知可得解设所求抛物线的函数关系式为2a2，又它经过点A（1，1），B（2，4）24海航教育九年级（上）知识海洋，有我领航?2?b?c?1?故?8?2b?c?4?b?3?b?c?1即?2b?c?4解得?c?22y?2x?3x?2所求抛物线的函数表达式为2y?2x说明本题的关键是由所求抛物线与抛物线的平移关系，得到a?2例8.如图2，已知点A（4，0）和点B（6，0），第三象限内有一点P，它的横坐标为2，并且满足条件tanPABtanPBA?1图2 （1）求证PAB是直角三角形。 （2）求过P、A、B三点的抛物线的解析式，并求顶点坐标。 222分析 （1）中须证PA?PB?AB，由已知条件PABt anPBA?1，应过P作PCx轴t an （2）中已知P、A、B三点的坐标，且根据点的位置可用三种不同的方法求出抛物线的解析式解 （1）过P作PCx轴于点C，由已知易知AC2，BC825海航教育九年级（上）知识海洋，有我领航从而tanPAB?PC PC，tanPBA?28PC PC?182，解得PC4P点的坐标为（2，4）222由勾股定理可求得PA?AC?PC?202222PB?BC?PC?80，又AB?100222AB?PA?PB，APB?90故APB是直角三角形 （2）解法1，可设过P、A、B三点的抛物线的解析式为2y?ax?bx?c，?4a?2b?c?4?16a?4b?c?0?36a?6b?c?0?则有y?1?a?4?1?b?2?c?6?121125x?x?6?(x?1)2?4244?254）顶点坐标（1，解法2由抛物线与x轴交于A（4，0），B（6，0），可设y?a(x?4)(x?6)，又抛物线过点P（2，4）可求a值解法3由A（4，0），B（6，0）可知抛物线的对称轴为x?12y?a(x?1)?k，将A、B点的坐标代入解析式可求a，k的值可设例9.如图3所示，是某市一条高速公路上的隧道口，在平面直角26海航教育九年级（上）知识海洋，有我领航坐标系上的示意图，点A和A1，点B和B1分别关于y轴对称，隧道拱部分BCB1为一段抛物线，最高点C离路面AA1的距离为8米，点B离地面AA1的距离为6米，隧道宽AA1为16米图3 （1）求隧道拱抛物线BCB1的函数表达式； （2）现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与路面的距离均为7米，问它能否安全通过这个隧道？请说明理由。 分析 （1）由已知可得顶点C的坐标为（0，8），B点坐标为（8，6），从而可求其函数关系式。 （2）假设汽车从正中行驶，则其最右边到y轴的距离是2，于是求出抛物线上横坐标为2的点的坐标，再看它到地面AA1的距离是否大于7米，由此可判断运货汽车能否安全通过隧道。 解 （1）如图所示，由已知得OAOA18，OC8，故C点坐标（0，8），B点坐标为（8，6）2y?ax?8，设隧道拱抛物线BCB1的函数表达式为则(?8)2a?8?6，得a?13227海航教育九年级（上）知识海洋，有我领航隧道拱抛物线BCB1的函数关系式为y?12x?832 （2）设货运汽车从正中行驶，则其最右边正上方抛物线上的点的横坐标为2，设这个点为D，过D作DEx轴于E当x2时，y?11722?8?8?7328877?7D点坐标为（2，78），DE8DE?7787该运货汽车能安全通过这个隧道。 说明要求抛物线的函数关系式，关键是确定其上的点的坐标，再选用适当的形式求其关系式。 本题第 （2）小题中，还可以求出抛物线上纵坐标为7的点的坐标（有两个），再比较这两点间的水平距离是否大于4。 例10如图，在矩形ABCD中，BD20，ADAB，设ABD2，已知sin是方程25x?35x?12?0的一个实数根，点E、F分别是BC、DC上的点，ECCF8，设BEx，AEF的面积等于y （1）求y与x之间的函数关系式；28海航教育九年级（上）知识海洋，有我领航 （2）当E、F两点在什么位置时，y有最小值？并求出最小值2解 （1）解方程25x?35x?12?0可得sin?34或sin?55AD?AB，sin?45?204?165在RtABD中，ADBDsin2222AB?BD?AD?20?16?12设BE为x，则有CE?16?x，FC?8?CE?x?8，DF?12?FC?20?x SAEF?S矩形ABCD?SABE?SCEF?SADFy?1612?11112x?16(20?x)?(16?x)(x?8)22212x?10x?962(8?x?16) （2）y?121x?10x?96?(x?10)2?4622当x?10时，y有最小值是46故当BE10，CF2时，y有最小值是46例11.如图，ABC中，BC4，B45，AB?32，M、N分别是AB、AC上的点，MNBC，设MN为x，MNC的面积为S。 29海航教育九年级（上）知识海洋，有我领航 （1）求出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。 （2）是否存在平行线段MN，使MNC的面积等于2，若存在，求出MN的长；若不存在，请说明理由。 解 （1）过点A作ADBC，垂足为D，则有AD?32sin45?3设MNC的MN上的高为hMNBC x3?h12?3x?，h?344S?1112?3x33MNh?x?x2?x(0?x?4)22482 （2）若存在这样的平行线段MN，使SM NC?2，则方程33?x2?x?2?0282必有实数解，即方程3x?12x?16?0必有实数解，但2?(?12)?43该方程的判别式16?48?0，说明它没有实解，矛盾，所以不存在这样的平行线段MN，使SMNC?2例12.某商场购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商场决定提高销售价格，经试验发现，若按每30海航教育九年级（上）知识海洋，有我领航件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数。 （1）试求y与x之间的关系式 （2）在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少元？解 （1）设y?kx?b，依题意，得?20k?b?360?k?30?25k?b?210?解得?b?960y?30x?960(16?x?32) （2）设月利润为w，则w?y(x?16)?(?30x?960)(x?16)2?30(x?24)?1920a?30?0，w有最大值。 当x?24时，w最大，最大利润为1920元。 例13.心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力y随着时间t的变化规律有如下关系式?t2?24t?100?y?240?7t?380?(0?t?10)(10?t?20)(20?t?40)31海航教育九年级（上）知识海洋，有我领航 （1）讲课开始后，第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？ （2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？ （3）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？解 （1）当x?5时，y?195，当x?25时，y?205讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟更集中22y?t?24t?100?(t?12)?244，该图像的0?t?10 （2）当时，对称轴为t?12，在对称轴左侧，y随t的增大而增大，所以，当t?10时，y有最大值240，当20?t?40时，y?7t?380，y随t的增大而减小，所以，当t?20时，y有最大值240所以，讲课开始后10分钟时，学生的注意力最集中，能持续10分钟2y?t?24t?100?180 （3）当0?t?10时，令t?4.当20?t?40时，令y?7t?380?180，t?2857.?4?2457.（分钟）所以，学生注意力在180以上的持续时间为2857所以，老师可经过适当安排，能在学生的注意力达到所需的状态下讲解完这道题目。 32海航教育九年级（上）知识海洋，有我领航2y?ax?bx?c与y例14.已知，在平面直角坐标系xOy中，抛物线轴交于点C（0，4），与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，tanBCO?1，且SABC4SBOC?41，求此抛物线的解析式。 解 （1）当A、B两点在原点同侧时，如图1图1tanBCO?1OB1?4，OC4C（0，4），OC4，OB1B（1，0）SABCSBOC?4，ABBO?4，即AB?4A（5，0）设二次函数解析式y?a(x?1)(x?5)，由于抛物线过点C4?5a，a?45y?4(x?1)(x?5)5，y?4224x?x?455即二次函数解析式33海航教育九年级（上）知识海洋，有我领航 （2）当A、B两点在原点异侧时，如图2tanBCO?1OB1，?4OC4又C（0，4），OC4，OB1，B（1，0）由SABCSBOC?4，ABOB?4即AB4，A（3，0）设二次函数解析式为y?a(x?1)(x?3)，由于抛物线过点C4?3a，a?434y?(x?1)(x?3)3y?428x?x?433即二次函数解析式为2y?2x，二次函数y?x?112例15.已知一次函数 （1）根据表中给出的x值，计算对应的函数值y1，y2，并填在表格中x3210123y1?2x y2?x2?134海航教育九年级（上）知识海洋，有我领航 （2）观察第 （1）问表中有关数据，证明如下结论在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1?y2均成立。 2 （3）试问是否存在二次函数y3?ax?bx?c，其图象经过点（5，2），且在实数范围内，对于同一个值，这三个函数所对应的函数值y1?y3?y2均成立，若存在，求出函数y3的解析式，若不存在，请说明理由。 解 （1）x361024512xx1222453610y1?2xy2?x2?1222y?y?2x?(x?1)?x?2x?1?(x?1)?012 （2）证明当自变量x取任意实数时，y1?y2均成立。 （3）由y3经过（5，2），得25a?5b?c?2当x?1时，y1?y2?2，y3?a?b?c依题意，有2?a?b?c?2，a?b?c?2由、可得b?4a，c?2?5a2y?ax?4ax?(2?5a)32令w?y?y?ax?(4a?2)x?(2?5a)恒大于0，131?a?0?2?(3a?1)?0?则满足a?132w?y?y?(1?a)x?4ax?(5a?1)恒大于0，则223令?1?a?0?2?(3a?1)?0满足?a?1335海航教育九年级（上）知识海洋，有我领航综上，可得解析式为a?141，b?，c?333y?1241x?x?333综合提高题 一、填空题2 （1）抛物线y?x?4x?4的顶点坐标是_2y?4(x?2)?5的对称轴是_，有最 （2）抛物线_值是_ （3）有一个抛物线形桥拱，有最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中（如图1所示），则此抛物线的解析式为_2y?x?ax?b的图象如图2所示，则函数值y?0时， （4）二次函数对应x的取值范围是_36海航教育九年级（上）知识海洋，有我领航图22y?x?2x?3的图象与x轴交于A、B两点， （5）已知二次函数在x轴上方的抛物线上有一点C，且ABC的面积等于10，则C点的坐标为_2 （6）已知二次函数y?ax?bx?c的图象与x轴交点的横坐标是2和6，图象与y轴交点到原点的距离是3，则这个二次函数是_ （7）把y?12x?x?12y?a(x?h)?k的形式是4配方成_2y?