正比例和反比例

1 用文字描述 两种相关联的量 一种量变化 另一种量也随着变化 如果这两种量 相对应的两个数的比值 也就是商 一定 这两种量就叫做成正比例 的量 它们的关系 叫做正比例关系 2 用字母表示 如果用字母 x 和 y 表示两种相关联的量 用 k 表示它们的比值 一 定 正比例关系可以用以下关系式表示 x y k 一定 还可表示为 x ky 3 正比例关系两种相关联的量的变化规律 同时扩大 同时缩小 比值不变 例如 汽车每小时行驶的速度一定 所行的路程和所用的时间是否成正比例 以上各种 商都是一定的 那么被除数和除数 所表示的两种相关联的量 成正比例 关系 注意 在判断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量 虽然也是一 种量 随着另一种的变化而变化 但它们相对应的两个数的比值不一定 它们就不能成正 比例 例如 一个人的年龄和它的体重 就不能成正比关系 正方形的边长和它的面积也 不成正比例关系 两种相关联的量 一种量变化 另另一一种种量量也也随随着着变变化化 如果这两种量 相对应的两个数的积一定 这两种量就叫做成反比例的量 它们的关系叫做反比例关系 如如果果用用字字母母 x x 和和 y y表示示两两种种相相关关联联的的量量 用用 k k 表表示示它它们们的的积积 一一定定 反反 比例关系 可以用下面关系式表示 x y k 一定 反比例关系是通过应用题的总数与份数关系帮助学生认识的 在总数与份数关系中 包含总数 份数和每份数 当总数一定时 每份数和份数是两种相关联的变量 如果每份 数变化 份数也随着变化 同样如果份数变化 每份数也随着变化 它们的变化 无论扩 大还是缩小 相对应的两个量的乘积 也就是总数 一定 具体说 当总数一定时 每份 数 或份数 扩大或缩小若干倍 份数 或每份数 反而缩小或扩大相同的倍数 简称为 一扩一缩 或一缩一扩 具备这种变化关系的每份数和份数成反比例关系 反比例 关系在典型应用题中属于归总问题 反映在除法中 当被除数一定 除数和商成反比例关 系 在分数中 当分数的分子一定 分母与分数值成反比例关系 在比例中 比的前项一 定 比的后项与比值成反比例关系 如果再把总数与份数关系具体化为 在购物问题中 总价一定 单价和数量成反比例关系 在行程问题中 路程一定 速度和时间成反比例关 系 在做工问题中 工作总量一定 工作效率和工作时间成反比例关系 如果两种量成反 比例 那么一种量的任意两个数的比 等于另一种量的两个对应数的反比 如 加工零件 的总数一定 是 600 个 如果每小时加工 10 个 60 个小时完成任务 如果每小时加工 20 个 30 个小时完成任务 每小时加工数量的比1 2 与它相对应的完成时间比是 2 1 2 1 是 1 2 的反比 之后 进一步理解反比例的意义 分析反比例的意义 成反比例的量包括三个数量 一个定量和两个变量 研究两个变量之间的扩大 或缩 小 的变化关系 一种量发生变化 引起另一种量发生相反的变化 这两种量是反比例的 量 它们的关系成反比例关系 成反比例的量 前提 两种相关的量 乘法关系 要求 一个量变化 另一个量也随着变化 并且 这两个量中相对应的两个数的乘积 一定 结论 这两个量就叫做反比例的量 它们的关系叫做反比例关系 字母表示法 设 x 与 y 是两个相关的量 具有相乘的关系 k 是 x 与 y 的乘积 k 一定 即 x y k 一定 接着用字母 x y 表示两种相关联的量 把正比例关系进一 步抽象概括成 k 一定 一列火车行驶的时间和所行的路程如下表 时间 时 1234567 路程 km 90180270360450540630 通过引导学生观察 思考 认识到路程和时间是两种相关联的量 路程是随着时间的变化 而变化的 路程和时间的比值都相等 一定 写成关系式就是速度 一定 在这两个例子的基础上 让学生比较它们有什么共同规律 从而进一步概括出 两 种相关联的量 一种量变化 另一种量也随着变化 如果这两种量中相对应的两个数的比 值一定 这两种量就叫做成正比例的量 它们的关系叫做正比例关系 在此基础上 让学生利用正比例的意义判定上述两个例子中相关联的量是不是成正比例关系 并说明为 什么 在研究具体数量关系 明确什么是正比例关系后 可引导学生用字母表示出正比例关 系 k 一定 结合这个关系式让学生说一说上面两个例子中 x y k 各表示什么 最后让学生举出一些生活中成正比例关系的例子 汇报时应说说所举例子中的两个量 为什么是成正比例关系的量 2 例 2 编编写写意意图图 教学正比例图像 函数的图像是用平面 直角坐标系 表示的 由于学生没有直角坐标系 方面的知识 教材直接呈现出例1 中体积与高度的正比例关系图像 正比例关系的图像是 一条经过原点的直线 因为小学阶段研究的数都是正数 所以表示的图像都限于平面直角 坐标系的第一象限 再通过图下面的两个问题 让学生体会正比例图像的特点和作用 加深对正比例的认识 教教学学建建议议 教学时 可以先出示坐标系说明如何描点连线画出正比例关系图像 再通过图下面的 两个问题体会正比例图像的特点 1 用图像表示正比例关系 可以先出示例1 的数据表和坐标系 说明正比例关系 可以通过一个图像来表示 然后介绍坐标系横轴上和竖轴上的数据表示的含义 并结合例1 数据表中的一对数据说明 表中的每一组数据都可以用一个点来表示 如 高度2 cm 体积 50 cm 这对数据 就可以用 2 50 表示 照此方法师生共同描出其余的点 并把描 好的点连起来 形成一条直线 告诉学生这就是体积与高度的正比例关系图像 2 认识正比例关系图像 结合问题 1 使学生了解从这个图像可以直观看到高 度与体积的变化情况 高度增加 体积也随着增大 通过问题 2 使学生知道 利用 正比例关系图像 不用计算 可以由一个量的值 直接找到对应的另一个量的值 如 知 道高度是 7 cm 可以从图像上找到高度是 7 的点 再找这个点对应的竖轴上的数175 即高度是 7 cm 时 对应的体积 175 cm 做一做 是正比例知识的综合练习 可以边讨论边完成 3 例 3 编编写写意意图图 教学反比例的意义 教材通过研究装水实验中 水的高度和水杯底面积的关系来认识 反比例的意义 编排思路与例1 相类似 教教学学建建议议 有了学习正比例意义的基础 反比例意义的学习应更加体现学生的主体性 除了让学 生发现成反比例的量之间的关系 也可以让学生仿照正比例意义 尝试归纳反比例的意义 教学时 可以让学生找一找生活中有哪些成反比例的量 也可以举出一些数量关系 让学生判断是否成反比例 并说说理由 以巩固对反比例意义的认识 相同点 正比例和反比例都含有三个数量 在这三个数量中 均有一个定量 两个变量 在正 反比例的两个变量中 均是一个量变化 另一个量也随之变化 并且变化方 式均属于扩大 乘以一个数 或缩小 除以一个数 若干倍的变化 不同点 正比例的定量是两个变量中相对应的两个数的比值 反比例的定量是两个变 量中相对应的两个数的积 正比例的图像时上升直线 反比例是曲线 公式不同 正比例是 x y k 一定 反比例是 xy k 一定 规律不同 正比例是一