高中数学 3.2.3.1 互斥事件课件 北师大版必修3.ppt

2 3互斥事件第1课时互斥事件 1 互斥事件与对立事件 1 互斥事件 在一个随机试验中 我们把一次试验下 的两个事件a与b称作互斥事件 2 对立事件 一般地 在一次试验中 不能同时发生且 的两个事件称为对立事件 事件a的对立事件记作 对立事件也称为 不能同时 发生 必有一 个发生 逆事件 2 互斥事件至少有一个发生 事件a b 的概率和对立事件的概率公式 1 事件a b发生的含义 给定事件a b 我们规定a b为一个事件 事件a b发生是指事件a和事件b 2 互斥事件的概率加法公式 一般地 如果事件a b互斥 那么事件a b发生的概率等于事件a b分别发生的概率的和 即 至少有一个发生 p a b p a p b 如果随机事件a1 a2 a3 an中任意两个是互斥事件 那么事件 a1 a2 a3 an 发生 即事件a1 a2 a3 an中至少有一个发生 的概率 等于这几个事件分别发生的概率的 即p a1 a2 a3 an p a1 p a2 p a3 p an 3 对立事件的概率公式 在每一次试验中 相互对立的事件a和不会同时发生 但一定有一个发生 即 和 1 判一判 正确的打 错误的打 1 事件a与事件b互斥 则事件a与b互为对立事件 2 设a b为对立事件 则一定也为对立事件 3 若事件a b c两两互斥 则p a p b p c 1 解析 1 错误 互斥不一定对立 所以 1 错 2 正确 a b对立 不会同时发生且必有一个发生 则也一定不会同时发生且必有一个发生 所以 2 对 3 错误 a b c两两互斥 有p a b c p a p b p c 但不一定有p a p b p c 1 所以 3 错 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 若事件a表示四件产品中至少有一件是次品 则表示 2 a b为对立事件 且p a 0 3 则p b 3 掷骰子的游戏中 向上的数字是1或2的概率是 解析 1 表示事件 四件产品中没有次品 答案 四件产品中没有次品 2 因为事件a b为对立事件 所以p a p b 1 故p b 1 0 3 0 7 答案 0 7 3 事件 向上的数字是1 与事件 向上的数字是2 为互斥事件 且二者发生的概率都是 所以 向上的数字是1或2 的概率是答案 要点探究 知识点1互斥事件1 事件a b的实质事件a b有三层意思 1 事件a发生 事件b不发生 2 事件b发生 事件a不发生 3 事件a 事件b同时发生 2 互斥事件的理解对于互斥事件要抓住如下特征进行理解 1 互斥事件研究的是两个事件之间的关系 2 所研究的两个事件是在一次试验中涉及的 3 两个事件互斥是从试验的结果不能同时发生来确定的 3 互斥事件的推广两个互斥事件的定义可以推广到n个事件中去 如果事件a1 a2 an中的任意两个事件互斥 就称事件a1 a2 an彼此互斥 4 从集合的角度理解互斥事件 1 如果事件a与事件b是互斥事件 反映在集合上 是指a b这两个事件所含结果所组成的集合是同一个全集下交集为空集的两个非空子集 2 n个事件互斥 反映在集合上 是各个事件所含结果组成的集合彼此的交集为空集 5 概率加法公式 1 公式p a b p a p b 中的事件a与事件b必须是互斥事件 否则公式不成立 2 求某些复杂事件的概率时 可将其分解为一些概率易求的彼此互斥的事件 然后利用概率公式的推广公式求解即可 微思考 1 互斥事件能否同时发生 能否同时不发生 提示 互斥事件不能同时发生 但可以同时不发生 2 在同一试验中 对于任意两个事件a b p a b p a p b 一定成立吗 提示 不一定 事件a b必须是互斥事件 即时练 1 从一批产品中取出三件产品 设a 三件产品全不是次品 b 三件产品全是次品 c 三件产品至少有一件是次品 则下列结论正确的是 a a与c互斥b 任何两个均互斥c b与c互斥d 任何两个均不互斥2 口袋内有大小相同的红球 白球和黑球 从中任意摸一个 摸得红球的概率为0 3 摸得黑球的概率为0 5 则摸得白球的概率为 解析 1 选a 因为从一批产品中取出三件产品包含4个基本事件 d1 没有次品 d2 一件次品 d3 两件次品 d4 三件次品 所以a d1 b d4 c d2 d3 d4 故a与c互斥 a与b互斥 b与c不互斥 2 p 1 0 3 0 5 0 2 答案 0 2 知识点2对立事件1 对立事件与互斥事件的区别和联系 1 区别 两个事件a与b是互斥事件 有如下三种情况 若a发生 则事件b就不发生 若事件b发生 则事件a就不发生 事件a b都不发生 两个事件a b是对立事件 仅有前两种情况 因此 若事件a与b是对立事件 则a b为必然事件 但是 若事件a b是互斥事件 则a b不一定是必然事件 亦即 事件a的对立事件只有一个 但事件a的互斥事件可以有多个 2 联系 互斥事件和对立事件在一次试验中都不能同时发生 而事件对立是互斥的特殊情况 即对立必互斥 互斥不一定对立 2 从集合的角度区分对立事件与互斥事件记事件a与b所含的结果组成的集合分别是a b 若事件a与b互斥 则集合a b 如图 1 所示 若事件a与b对立 则集合a b 且a b为全集 如图 2 所示 知识拓展 事件的关系与运算 微思考 判定两个事件是对立事件的两个条件是什么 提示 看是否是互斥事件 看两个事件是否必有一个发生 若满足这两个条件 则是对立事件 否则 不是 即时练 1 把红 黑 白 蓝4张纸牌随机地分给甲 乙 丙 丁4人 每个人分得1张 事件 甲分得红牌 与 乙分得红牌 是 a 对立事件b 不可能事件c 互斥但不对立事件d 以上都不对 2 抽查10件产品 设 至少抽到2件次品 为事件a 则为 a 至多抽到2件次品b 至多抽到2件正品c 至少抽到2件正品d 至多抽到1件次品 解析 1 选c 因为 甲分得红牌 与 乙分得红牌 不可能同时发生 所以两者为互斥事件 但又因为除了这两事件之外 还有可能 丙或丁分得红牌 所以 甲分得红牌 与 乙分得红牌 不是对立事件 2 选d 至少抽到2件次品 与 至多抽到1件次品 不能同时发生 但必有一个发生 题型示范 类型一互斥事件 对立事件的判断 典例1 1 2013 赣州高一检测 一个均匀正方体骰子 将这个骰子向上抛掷1次 设事件a表示向上的一面出现奇数点 事件b表示向上的一面出现的点数不超过3 事件c表示向上的一面出现的点数不小于4 则 a a与b是互斥而非对立事件b a与b是对立事件c b与c是互斥而非对立事件d b与c是对立事件 2 判断下列给出的每对事件是否为互斥事件 是否为对立事件 并说明理由 从40张扑克牌 红桃 黑桃 方块 梅花 点数从1 10各10张 中 任意抽取1张 抽出红桃 与 抽出黑桃 抽出红色牌 与 抽出黑色牌 抽出的牌点数为5的倍数 与 抽出的牌点数大于9 解题探究 1 题 1 中 事件a b c各包含哪些基本事件 2 题 2 中 红桃和黑桃能同时抽出吗 若抽出的不是红桃 是否一定是黑桃 探究提示 1 事件a包括向上的一面出现的点数为1 3 5三个基本事件 事件b包括向上的一面出现的点数为1 2 3三个基本事件 事件c包括向上的一面出现的点数为4 5 6三个基本事件 2 红桃和黑桃不能同时抽出 若抽出的不是红桃 也不一定是黑桃 自主解答 1 选d 抛掷一次骰子 表示向上的一面点数的所有可能情况的基本事件有1 2 3 4 5 6点 其中事件a包含1 3 5三种 事件b包含1 2 3三种 事件c包含4 5 6三种 所以a与b有可能同时发生 不是互斥事件 故答案a错 更不会是对立 所以b也错 b与c不可能同时发生 而且不是b发生就是c发生 所以是对立事件 故c错 d对 2 是互斥事件 不是对立事件 理由是 从40张扑克牌中任意抽取1张 抽出红桃 和 抽出黑桃 是不可能同时发生的 所以是互斥事件 同时 不能保证其中必有一个发生 这是由于还可能抽出 方块 或者 梅花 因此 二者不是对立事件 既是互斥事件 又是对立事件 理由是 从40张扑克牌中任意抽取1张 抽出红色牌 与 抽出黑色牌 两个事件不可能同时发生 且其中必有一个发生 所以它们既是互斥事件 又是对立事件 不是互斥事件 当然不可能是对立事件 理由是 从40张扑克牌中任意抽取1张 抽出的牌点数为5的倍数 与 抽出的牌点数大于9 这两个事件可能同时发生 如抽得点数为10 因此 二者不是互斥事件 当然不可能是对立事件 方法技巧 1 判断两个事件是否为互斥事件的关键能否同时发生是判断两个事件是否互斥的关键 若不能同时发生 则这两个事件是互斥事件 若能同时发生 则这两个事件不是互斥事件 2 判断两个事件是否为对立事件的方法 1 不能同时发生 即互斥事件 2 必有一个发生 不是这个事件发生就是另一个事件发生 这两个条件同时成立 那么这两个事件就是对立事件 只要有一个条件不成立 那么这两个事件就不是对立事件 变式训练 有100件产品 其中正品95件 次品5件 从中任取2件 观察正品件数与次品件数 判断下列事件是不是互斥事件 如果是 再判断它们是不是对立事件 1 恰好有1件次品和恰好有2件次品 2 至少有1件次品和全是次品 3 至少有1件正品和至少有1件次品 4 至少有1件次品和全是正品 解析 1 恰好有1件次品 和 恰好有2件次品 不能同时发生 所以是互斥事件 由于二者可以同时不发生 所以不是对立事件 2 至少有1件次品 和 全是次品 可以同时发生 不是互斥事件 3 至少有1件正品 和 至少有1件次品 可以同时发生 不是互斥事件 4 至少有1件次品 和 全是正品 不能同时发生 且二者必有一个发生 所以既是互斥事件又是对立事件 补偿训练 2013 黄石高一检测 从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球 那么互斥而不对立的两个事件是 a 至少有1个黑球与都是黑球b 至多有1个黑球与都是红球c 至少有1个黑球与至少有1个红球d 恰有1个黑球与恰有2个黑球 解析 选d 从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球 总共有 一红一黑 二红 两黑 三种可能 而 至少有1个黑球 包括 一红一黑 和 两黑 两种情况 与 都是黑球 有可能同时发生 所以不互斥 故a错 至多有1个黑球 包含 一红一黑 二红 两种情况 与 都是红球 有可能同时发生 所以不互斥 故b错 至少有1个红球 包含 一红一黑 二红 两种情况 与 至少有1个黑球 有可能同时发生 所以c错 d正确 类型二概率加法公式的应用 典例2 1 中国乒乓球队甲 乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛 甲夺得冠军的概率为 乙夺得冠军的概率为 那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 2 一盒中装有12个球 其中5个红球 4个黑球 2个白球 1个绿球 从中随机地取出1个球 求 取出的1个球是红球或黑球的概率 取出的1个球是红球或黑球或白球的概率 解题探究 1 题 1 中 事件 甲夺得冠军 与事件 乙夺得冠军 是什么关系 事件 中国队夺得冠军 与 甲夺得冠军 乙夺得冠军 是什么关系 2 题 2 中的事件是互斥事件吗 探究提示 1 事件 甲夺得冠军 与事件 乙夺得冠军 为互斥事件 事件 中国队夺得冠军 为事件 甲夺得冠军 与事件 乙夺得冠军 的和事件 2 是 自主解答 1 设事件a为 甲夺得冠军 事件b为 乙夺得冠军 则因为事件a和事件b是互斥事件 所以p a b p a p b 答案 2 方法一 记事件a1 从中任取1球得红球 事件a2 从中任取1球得黑球 事件a3 从中任取1球得白球 事件a4 从中任取1球得绿球 则根据题意 a1 a2 a3 a4彼此互斥 由互斥事件概率加法公式得 取出红球或黑球的概率为p a1 a2 p a1 p a2 取出红球或黑球或白球的概率为p a1 a2 a3 p a1 p a2 p a3 方法二 从12个球中任取1球得红球有5种取法 得黑球有4种取法 得红球或黑球共5 4 9 种 不同取法 任取一球有12种取法 所以任取1球是红球或黑球的概率为p1 从12个球中任取1球得红球有5种取法 得黑球有4种取法 得白球有2种取法 从而任取一球是红球或黑球或白球的概率为p2 延伸探究 把第 2 题中 从中随机地取出1个球 改为 随机地取出2个球 则取出的两球中 一红一黑 或 一红一白 的概率是多少 解析 从中随机地取出2个球 易知共有66种可能 其中 一红一黑 共20种 一红一白 共10种 记事件 一红一黑 为a 事件 一红一白 为b 则 一红一黑 或 一红一白 为a b a b两事件互斥 且所以p a b p a p b 方法技巧 应用互斥事件的概率加法公式的思路 注意点及常用步骤 1 思路 将一个事件的概率问题分拆为若干个互斥事件 分别求出各事件的概率 然后用加法公式求出结果 2 注意点 运用互斥事件的概率加法公式解题时 首先要分清事件间是否互斥 同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件 做到无重无漏 3 常用步骤 确定诸事件彼此互斥 诸事件中有一个发生 先求诸事件分别发生的概率 再求其和 变式训练 2014 海门高二检测 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花 然后以每枝10元的价格出售 如果当天卖不完 剩下的玫瑰花做垃圾处理 1 若花店一天购进17枝玫瑰花 求当天的利润y 单位 元 关于当天需求量n 单位 枝 n n 的函数解析式 2 花店记录了100天玫瑰花的日需求量 单位 枝 整理得下表 假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花 求这100天的日利润 单位 元 的平均数 若花店一天购进17枝玫瑰花 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率 求当天的利润不少于75元的概率 解题指南 1 根据题意建立利润与需求量的分段函数 2 由表中数据 每一段上的 天数 利润 求和后再取平均值 即得平均数 通过表格求得各段上的频率 然后利用互斥事件的概率加法公式求得不少于75元的概率 解析 1 当日需求量n 17时 利润y 85 当日需求量n 17时 利润y 10n 85 所以y关于n的函数解析式为 2 这100天中有10天的日利润为55元 20天的日利润为65元 16天的日利润为75元 54天的日利润为85元 所以这100天的日利润的平均数为 当且仅当日需求量不少于16枝时日利润不低于75元 故当天的利润不少于75元的概率为p 0 16 0 16 0 15 0 13 0 1 0 7 补偿训练 某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示 则年降水量在 50 150 mm范围内的概率为 年降水量不低于150mm的概率是 解析 因为事件 年降水量在 50 150 mm 是由 年降水量在 50 100 mm 和 年降水量在 100 150 mm 两个事件组成 而且它们互斥 所以由互斥事件概率加法公式可知 年降水量在 50 150 mm范围内的概率为0 30 0 32 0 62 同理 年降水量小于150mm 的概率为0 14 0 30 0 32 0 76 又事件 年降水量不低于150mm 是事件 年降水量小于150mm 的对立事件 所以 年降水量不低于150mm 的概率为1 0 76 0 24 答案 0 620 24 类型三复杂事件的概率的求法 典例3 1 如果事件a和b是互斥事件 且事件a b的概率是0 8 事件a的概率是事件b的概率的3倍 则事件b的对立事件的概率为 2 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息 安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据 如下表所示 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55 确定x y的值 并估计顾客一次购物的结算时间的平均值 求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率 将频率视为概率 解题探究 1 题 1 中 p a b 与p a p b 之间有什么关系 2 题 2 中 一次购物的结算时间不超过两分钟包括哪几种情况 探究提示 1 因为事件a与事件b是互斥事件 故p a b p a p b 2 一次购物的结算时间不超过2分钟 包括一次购物的结算时间为1分钟 1 5分钟和2分钟三种情况 自主解答 1 据题意有p a b p a p b 4p b 0 8 所以p b 0 2 则事件b的对立事件的概率为1 0 2 0 8 答案 0 8 2 由已知得25 y 10 55 x 30 45 所以x 15 y 20 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体 所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本 顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计 其估计值为 1 9 分钟 方法一 记a为事件 一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟 a1 a2 a3分别表示事件 该顾客一次购物的结算时间为1分钟 该顾客一次购物的结算时间为1 5分钟 该顾客一次购物的结算时间为2分钟 将频率视为概率得 因为事件a包括事件a1 a2 a3 且a1 a2 a3是两两互斥事件 所以p a p a1 a2 a3 p a1 p a2 p a3 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为 方法二 记a为事件 一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟 则表示事件 该顾客一次购物的结算时间超过2分钟 将频率视为概率 则由题意可知由对立事件概率公式可得故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为 方法技巧 求复杂事件概率的注意事项 1 正难则反是良策 2 用互斥事件的概率和进行求解时一定要将事件分拆为若干互斥的事件 不能重复和遗漏 3 采用对立事件求概率时 一定要找准对立事件 否则容易出现错误 变式训练 2014 邳州高二检测 猎人在相距100m处射击一野兔 命中的概率为 如果第一次未击中 则猎人进行第二次射击 但距离已是150m 如果又未击中 则猎人进行第三次射击 但距离已是200m 已知此猎人命中的概率与距离的平方成反比 求射击不超过三次击中野兔的概率 解析 设距离为d时命中的概率为p 则有p 将d 100 p 代入 得k