微分几何office2003.ppt

微分几何 用微积分方法研究几何图形的性质 包括平面几何和立体几何 用代数的方法研究图形的几何性质 代数几何分形几何计算几何 返回主目录 蓝色字母代表向量 向量函数或者矩阵 如a r u v A等粉红色字母代表特殊常数 如圆周率p和自然对数的底数e等黄色字母代表特殊函数 如正弦函数sinq等 特殊空间 如欧氏空间R3 平面R2和实数集R 特殊向量 如单位坐标向量 如i j k 或者变换群字母右上角的撇号代表对一般参数求导数 右上角或者顶上的圆点代表对弧长参数求导数 符号说明 返回主目录 第一章预备知识第二章曲线论第三章曲面的基本理论第四章黎曼曲率张量与测地线例题选讲 主目录 主目录 第一章约16学时第二章约12学时第三章约24学时第四章约18学时例题选讲约2学时机动约2学时总共大约74学时学习进度表 学时分配 返回主目录 返回主目录 第一章预备知识 微分几何 第一章预备知识 向量代数 向量分析 曲线与曲面的概念 等距变换 本章补充习题 第一章内容概要 本章讨论三维欧氏空间的向量代数 向量微积分 曲线与曲面的解析几何 等距变换等内容 这些内容是后面讨论曲线曲面的微分几何时所需要的 本章的重点是第三节 曲线与曲面的概念 这一节包括曲线与曲面的概念 曲线的法线和曲面的切平面方程 向量代数包括向量的线性运算 加法和数乘 向量积 内积 混合积 向量的长度和夹角等内容 其中拉格朗日公式是这一节的重点 向量函数的微积分和普通函数的微积分基本类似 所以本节作为一般了解 返回章首 1 1向量代数 内容 向量积 内积 混合积的性质与计算重点 拉格朗日公式 返回章首 集合R3 x y z x y z R 称为三维实向量空间 其元素 x y z 叫做一个向量 a i j k O 返回章首 1 1向量代数 向量 例如i 1 0 0 j 0 1 0 k 0 0 1 是R3的三个向量 除了i j k这三个向量以外 我们一般用蓝色小写英文字母或希腊字母表示向量 如a r a b等 几何上 我们用一个箭头表示向量 箭头的起点叫向量的起点 箭头的末端点叫向量的终点 再设a x y z l R 则l与a的数乘定义为la lxi lyj lzk lx ly lz 设a1 x1 y1 z1 a2 x2 y2 z2 则它们的和定义为a1 a2 x1 x2 y1 y2 z1 z2 a1 a2 a1 a2 a la 返回章首 1 1向量代数 线性运算 设i 1 0 0 j 0 1 0 k 0 0 1 则任意向量a x y z 可表示为a xi yj zk 如图 a i j k O zk yj xi xi yj xi yj zk 返回章首 1 1向量代数 向量 设ai xi yi zi i 1 2 是R3中的两个向量 它们的内积定义为a1 a2 x1x2 y1y2 z1z2 内积具有如下性质 正定性 a a 0 等式成立当且仅当a 0 对称性 a b b a 线性性 a kb hc ka b ha c 向量a的长度为 a a a 1 2 长度为1的向量叫单位向量 返回章首 1 1向量代数 内积 1 1向量代数 两个不等式 定理 对任意的两个向量a b R3有下面两个不等式成立 许瓦滋不等式a b a b 闵可夫斯基不等式 a b a b 这两个不等式中的等式成立的充分必要条件是a b 返回章首 1 1向量代数 两向量的夹角 向量a与b的夹角为 如果两个向量的夹角是p 2 就称这两个向量相互垂直或正交 因此两向量正交的充分必要条件是它们的内积为零 由许瓦兹不等式可知 cosq 1 返回章首 1 1向量代数 距离 两个向量a b作为R3的点 它们之间的距离定义为d a b a b 在R3上装备了这样的距离函数之后就叫欧氏空间 距离具有如下性质 正定性 d a b 0 等式成立当且仅当a b 对称性 d a b d b a 三角不等式 d a b d a c d c b 返回章首 1 1向量代数 向量积 a b a b q 伸出右手 让大拇指和四指垂直 让四指从向量a朝向量b旋转一个较小的角度 小于180 到达b 则大拇指所指的方向就是a b的方向 如图 设向量a b的夹角为q 则它们的向量积 也叫叉积 a b是这样一个向量 其长度为 a b a b sinq 方向满足右手法则 返回章首 1 1向量代数 向量积的性质 根据向量积的定义 我们有i j k j k i k i j 反交换律 a b b a 见下图 分配律 a b c a b a c a b a b a b b a 返回章首 1 1向量代数 向量积的计算公式 注意 a b 等于由a和b张成的平行四边形的面积 如图 设ai xi yi zi i 1 2 是R3中的两个向量 则有 a b q a sinq a b sinq a b 返回章首 1 1向量代数 混合积 三个向量a b c的混合积定义为 a b c a b c 向量的混合积满足轮换不变性 a b c b c a c a b 向量的混合积满足反交换性 即交换两个向量的位置改变混合积的符号 如 a b c c b a 等等 返回章首 注意 a b c 等于由向量a b c张成的平行四面体的体积 如图 b a c q a b q c cosq a b a b c a b c a b c cosq 平行四面体的体积 返回章首 1 1向量代数 混合积的几何意义 1 1向量代数 混合积的计算公式 设ai xi yi zi i 1 2 3 是R3中的三个向量 则有 两个向量垂直的充分必要条件是它们的内积为零 两个向量平行的充分必要条件是它们的叉积为零 三个向量共面的充分必要条件是它们的混合积为零 返回章首 1 1向量代数 拉格朗日公式 设a b c d是R3的四个向量 则 特别地有 返回章首 看证明 练习题1 证明 a b c a c b b c a 提示 用分量验证 并由此证明拉格朗日公式 返回章首 1 2向量分析 内容 向量函数的导数 积分 泰勒公式 复合函数求导的链式法则重点 链式法则 返回章首 1 2向量分析 向量函数的极限 设r t 是一个向量函数 a是常向量 如果对任意的e 0 存在d 0 使得当0 t t0 d时 r t a e成立 则称a是r t 当t趋向于t0时的极限 记为 或者记为r t a 当t t0 一元向量函数是形如r t x t y t z t 的向量 其中x t y t z t 是普通的一元函数 叫该向量函数的分量函数 返回章首 1 2向量分析 向量函数极限的计算 这个定理表明对向量函数求极限就是对它的每个分量求极限 这样 向量函数的极限就转化成普通函数的极限 定理 设r t x t y t z t a x0 y0 z0 则 当且仅当 返回章首 1 2向量分析 向量函数的极限的性质 推论 极限的运算性质 设当t t0时 有r t a s t b l t c 则我们有 r t s t a b l t r t ca r t s t a b r t s t a b 返回章首 1 2向量分析 向量函数的连续性 如果当t t0时有r t r t0 成立 则称向量函数r t 在t0处连续 如果r t 在它的定义域内的每一点都连续 则称r t 是连续函数 连续函数的和 差 积 内积 向量积 混合积 数乘 是连续的 r t x t y t z t 在t0处连续的充分必要条件是每个分量x t y t z t 都在t0处连续 返回章首 1 2向量分析 一元向量函数的导数 显然 若r t 在一点t0处可导 则它在该点处必定连续 存在 则称向量函数r t 在t0处可导 而该极限就叫r t 在t0处的导数 记为r t0 如果r t 在它的定义域内处处可导 则称r t 可导 此时r t 叫r t 的导函数 也简称导数 设r t 是一元向量函数 如果极限 返回章首 1 2向量分析 向量函数导数的性质 向量函数r t x t y t z t 的导数为r t x t y t z t 设l是普通函数 r s u都是向量函数 则 lr lr l r r s r s r s r s r s r s r s r s r s u r s u r s u r s u 返回章首 可导的向量函数r t 具有固定长度的充要条件是r t 垂直于r t 可导的向量函数r t 具有固定方向的充要条件是r t 平行于r t 1 2向量分析 具有固定长度和固定方向的向量函数 返回章首 看证明 1 2向量分析 一元向量函数的链式法则 定理 一元向量函数的链式法则 设r u 可微的向量函数 u u t 是可微的普通函数 则复合函数r t r u t 也可微 并且 返回章首 1 2向量分析 二元向量函数的偏导数 设r u v 是二元向量函数 如果极限 存在 则称它为函数r u v 在点 u0 v0 处关于u的偏导数 记为ru u0 v0 同样 我们可以定义关于v的偏导数rv u0 v0 二元向量函数是形如r u v x u v y u v z u v 的向量 其中x u v y u v z u v 是普通的二元函数 返回章首 1 2向量分析 二元向量函数的微分 返回章首 设r u v 是二元向量函数 令Dr r u0 Du v0 Dv r u0 v0 如果存在向量a b使Dr aDu bDv o Du 2 Dv 2 1 2 则称r u v 在点 u0 v0 处可微 而aDu bDv就叫r u v 在点 u0 v0 处的微分 记为dr u0 v0 aDu bDv r的微分简记为dr aDu bDv或dr adu bdv 定理 如果r是可微向量函数 则dr rudu rvdv 返回章首 1 2向量分析 微分的计算 1 2向量分析 二元向量函数的链式法则 定理 链式法则 设r u v 可微 如果u u s t 和v v s t 有连续偏导数 则 返回章首 1 2向量分析 向量函数的积分 其中a t0 t1 tk 1 tk b是区间 a b 的分点 xi是区间 ti 1 ti 内任一点 lk是定义如下 向量函数r t 在区间 a b 上的积分定义为 返回章首 向量函数的积分就是将其每个分量进行积分 定理 设r t x t i y t j z t k 则有 返回章首 1 2向量分析 向量函数积分的计算 1 2向量分析 向量函数的积分的性质 设r t s t 是向量函数 c是常向量 则有 c为常数 返回章首 c为常向量 c为常向量 练习题1 已知r t a a为常向量 求r t 2 已知r t ta a为常向量 求r t 返回章首 1 3曲线与曲面的概念 内容 曲线的切线与法平面 曲面的法线与切平面 曲线和曲面的参数变换 曲线的弧长等重点 切线 法线 切平面 法平面的方程 返回章首 1 3曲线与曲面的概念 曲线 一元向量函数r t 所描绘的图形C叫曲线 r t 叫曲线C的参数化 或者叫曲线的向量函数 t叫曲线的参数 曲线C连同它的参数化r t 一起叫参数曲线 参数曲线用C r r t 表示 如果对某个t0使得r t0 0 就称r t0 或者简称t0 是曲线的正则点 如果曲线上处处是正则点 就称该曲线是正则曲线 相应的参数叫正则参数 今后为了简便 我们把 参数曲线 简称为 曲线 把R2中的曲线叫平面曲线 把R3中的曲线叫空间曲线 返回章首 圆弧 曲线C r cost sint t 0 2p 是正则曲线 它是一条半径为1的圆弧 如图 返回章首 t O cost sint 1 3曲线与曲面的概念 曲线的例子圆弧 cost sint 1 3曲线与曲面的概念 曲线的例子抛物线 抛物线 曲线C r x x2 x 也是一条正则曲线 它是抛物线 返回章首 圆柱螺线 曲线C r acost asint bt t 也是一条正则曲线 它是缠绕在半径为a的圆柱面x2 y2 a2上的一条圆柱螺旋线 返回章首 1 3曲线与曲面的概念 曲线的例子圆柱螺线 r 1 3曲线与曲面的概念 曲面 二元向量函数r u v 所描绘的图形S叫曲面 r u v 就叫曲面S的参数化 也叫曲面的位置向量 或者叫曲面的向量函数 u和v都叫曲面的参数 曲面S连同它的参数化r u v 一起叫参数曲面 返回章首 S O 参数曲面用S r r u v 表示 设r u v x u v y u v z u v 则x x u v y y u v z z u v 就是曲面的参数方程 返回章首 1 3曲线与曲面的概念 曲面的参数方程 1 3曲线与曲面的概念 正则曲面 设曲面S r r u v 如果ru u0 v0 与rv u0 v0 线性无关 就称r u0 v0 是曲面的正则点 如果曲面上的所有点都是正则点 就称该曲面是正则曲面 相应的参数叫正则参数 曲面S r r u v 是正则曲面的充分必要条件是ru rv 0 返回章首 1 3曲线与曲面的概念 正则曲面的例子平面 平面 设a a1 a2 a3 是R3的一个固定的非零向量 r0 x0 y0 z0 是曲面S r r u v 上的一个定点 r x y z 是该曲面上的动点 如果 r r0 a 0 则该曲面是以a为法向量的平面 该平面可表示成如下点法式方程 a1 x x0 a2 y y0 a3 z z0 0 返回章首 O r0 r r r0 a S r r0 a 0 圆柱面 半径为R 中心轴为z 轴的圆柱面的向量函数为r Rcosq Rsinq z 其中0 q 2p a z b 返回章首 1 3曲线与曲面的概念 曲面的例子圆柱面 1 3曲线与曲面的概念 曲面的例子球面 球面 半径为R 中心为原点的球面的向量函数为r Rcosjcosq Rcosjsinq Rsinj p 2 j p 2 0 q 2p 返回章首 旋转曲面 考虑Oxz平面上的曲线C x j t z y t a t b绕z轴旋转一周得到的曲面叫旋转曲面 其向量函数为 r j t cosq j t sinq y t a t b 0 q 2p 球面和圆柱面都是旋转曲面 返回章首 1 3曲线与曲面的概念 曲面的例子旋转曲面 练习题1 讨论上面例子中的曲面的正则性 2 证明S r r u v 是正则曲面的充分必要条件是ru rv 0 返回章首 1 3曲线与曲面的概念 曲线的切线和法平面 返回章首 P O C r t0 r 设有曲线C r x t y t z t 一点P 对应的参数设为t0 以r t0 作为方向向量的直线叫做曲线C在P 曲面在P点的法平面 在曲线上固定 把过P点 且 过P点且垂直于切向量的平面叫做 点的切线 切线 法平面 1 3曲线与曲面的概念 曲线的切线和法平面方程 该曲线在该点的法平面方程为 曲线C r t x t y t z t 在点r t0 x t0 y t0 z t0 处的切线方程为 返回章首 1 3曲线与曲面的概念 切线和法平面举例 法平面方程为 解 圆柱螺线为C r acost asint bt 切向量是r asint acost b 所以切线方程为 例 求圆柱螺线的切线与法平面方程 返回章首 1 3曲线与曲面的概念 曲线的弧长 例 求星形线 如图 C r t acos3t asin3t 0 t 2p的弧长 设有一段正则曲线r t x t y t z t a t b 则该曲线的弧长为 返回章首 1 3曲线与曲面的概念 曲线的弧长 解 由于星形线关于原点对称 所以只需计算曲线在第一象限部分的弧长 当0 t p 2时有 r t 3asintcost 所以第一象限部分的弧长为 因此 星形线的弧长为6a 返回章首 练习题1 求旋轮线x a t sint y a 1 cost 在0 t 2p一段的弧长 2 求圆柱螺线x 3acost y 3asint z 4at从点 3a 0 0 到任一点的弧长 3 将圆柱螺线r t acost asint bt 化成自然参数形式 4 求封闭曲线r t cos3t sin3t cos2t 的全长 返回章首 S 1 3曲线与曲面的概念 曲面的切平面 设S r r u v 是正则曲面 P r u0 v0 因为ru rv 0 所以ru rv线性无关 因此张成一张过P点的平面 我们把由ru u0 v0 rv u0 v0 所张成的平面叫曲面S在点P的切平面或者叫切空间 记为TPS P点叫切点 返回章首 P TPS O 切平面 r0 曲面在点P r0处的切平面方程为 R r0 ru rv 0 返回章首 S P TPS O ru rv R R r0 1 3曲线与曲面的概念 曲面的切平面方程 R r0 ru rv三个向量共面 所以它们的混合积为零 1 3曲线与曲面的概念 曲面的法线 切平面的法向量为ru u0 v0 rv u0 v0 法线方程是R ru rv t r0 返回章首 O ru rv ru rv R r0 R r0 ru rv R r0 ru rv t 1 3曲线与曲面的概念 切平面上的仿射坐标 因为ru rv构成切空间的基 所以任意切向量x都可表示成ru rv的线性组合 x x1ru x2rv 我们把 x1 x2 叫切向量x的仿射坐标 由于dr rudu rvdv 所以dr是曲面的切向量 而且它的仿射坐标为 du dv 返回章首 O rv ru x x2rv x1ru x1ru x2rv 1 3曲线与曲面的概念 曲线的重新参数化 设C r r t t I 是一条正则曲线 h J I是从开区间J到开区间I的光滑同胚 即h和h 1都是光滑映射 则称r r h是曲线C的重新参数化 弧长与参数的选取无关 注意 如果参数曲线r r t 是正则参数曲线 则它的重新参数化r r h也是正则参数曲线 返回章首 1 3曲线与曲面的概念 自然参数 设有正则曲线C r r t 设s t 是曲线C上从参数a到参数t的曲线段的弧长 由于s t r t 0 所以由反函数定理 s有反函数t t s 代入曲线的向量函数就得到了以弧长为参数的向量函数C r r s 正则曲线总可以经过重新参数化 将其参数变成弧长参数 曲线的弧长参数也叫自然参数 返回章首 1 3曲线与曲面的概念 自然参数 因为弧长函数可以取负值 所以弧长参数也可以为负值 弧长参数根据基点的不同选择可能相差一个常数 关于弧长参数 我们用r 表示r对s的导数 r 是单位向量 返回章首 1 3曲线与曲面的概念 曲面的重新参数化 设S r x u v y u v z u v 是一张曲面 u v U 其中U是R2的开区域 设V是R2的另一个开区域 f V U是一个光滑同胚 即双方光滑的映射 则称r r f是曲面S的重新参数化 f 1 u v u v 和f u v u v 都叫曲面的参数变换 定理 正则曲面的切空间和法线都与曲面参数的选取无关 返回章首 1 3曲线与曲面的概念 曲面的正反向参数变换 如果 u v u v 是正向参数变换 则n u v n u v 如果 u v u v 是反向参数变换 则n u v n u v 如果参数变换的雅可比行列式大于零 则称此参数变换为正向参数变换 如果参数变换的Jacobi行列式小于零 此时的参数变换叫反向参数变换 下面的向量n叫曲面S r r u v 的单位法向量 返回章首 内容 欧氏空间等距变换的定义 解析表达式重点 等距变换的解析表达式 1 4等距变换 返回章首 1 4等距变换 定义 设a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 是R3中的任意两点 它们之间的距离为 如果T R3 R3是一一对应 且对任意a b R3有d a b d T a T b 则称T是R3的等距变换 也叫合同变换 保长变换或欧氏变换 返回章首 1 4等距变换 正交矩阵 如果一个3阶矩阵T满足TTt E 则T是一个3阶正交矩阵 其中Tt表示T的转置矩阵 E表示3阶单位矩阵 所有3阶正交矩阵关于矩阵的乘法构成群 叫三阶正交矩阵群 记为O 3 由线性代数知 对任意3阶矩阵A以及任意的向量a b R3 有 aA b a bAt 这里 aA表示1 3矩阵a与3 3矩阵A的积 bAt等也作同样的解释 返回章首 1 4等距变换 解析表达式 定理 变换T R3 R3是等距变换的充要条件是存在T O 3 以及p R3 使T r rT p对任意的r x y z R3成立 看证明 返回章首 1 4等距变换 等距变换群 欧氏空间的等距变换的全体关于变换的复合构成一个群 叫等距变换群 上面的定理说明等距变换一定是形如rT p的变换 并且T O 3 因此T的行列式等于 1 当T的行列式等于 1时 对应的等距变换叫刚体运动 简称运动 当T的行列式等于 1时 对应的等距变换叫反向刚体运动 刚体运动的全体也构成等距变换群的子群 叫运动群 返回章首 1 4等距变换 切向量 设P R3 C是过P点的曲线 我们把C在P点的切向量叫R3在P点的切向量 过P点可以作很多曲线 因此就有很多切向量 R3在P点的切向量的全体组成的集合记为TPR3 叫做R3在P点的切空间 注意到R3在P点的任一切向量是某条过P点的曲线在该点的切向量 所以对任意v TPR3有如下形式v r t0 x t0 y t0 z t0 切向量也可以看成是R3的点 这样 R3与TPR3就自然等同起来了 返回章首 1 4等距变换 幺正标架 R3的一个标架 P e1 e2 e3 是由R3的一个点P 叫标架的原点 和P点的3个线性无关的有序切向量e1 e2 e3所构成 如果这三个切向量是两两正交的单位向量 则称相应的标架为正交标架或幺正标架 显然 O i j k 是R3的一个幺正标架 O e1 e3 e2 P 返回章首 1 4等距变换 正标架 设 P e1 e2 e3 是另一个标架 其中ei aii bij cik i 1 2 3 令 如果detA 0 则称 P e1 e2 e3 是正标架或右手标架或右手系 P e1 e2 e3 是正标架的充分必要条件是混合积 e1 e2 e3 0 返回章首 返回主目录 第二章曲线论 微分几何 第二章曲线论 平面曲线 空间曲线 本章补充习题 第二章内容概要 本章我们讨论平面曲线和空间曲线的微分几何性质 内容包括曲线的伏雷内标架 曲率 相对曲率 挠率 伏雷内公式 近似结构 基本定理等 重点 伏雷内标架 曲率 相对曲率 挠率的计算 伏雷内公式的应用 如无特别说明 我们都是在曲线的正则点附近进行讨论 返回章首 2 1平面曲线 内容 曲率 相对曲率 伏雷内标架 伏雷内公式等重点 曲率与相对曲率的计算 返回章首 2 1平面曲线 伏雷内标架 设平面曲线C r r s 以弧长为参数 则其切向量a s r s 是一个单位向量 即a s a s 1 两边求导数得a s a s 0 所以a s 垂直于a s 这说明a s 是曲线的法向量 令b a a 则对于每一个s r s a s b s 构成平面曲线C上的一个幺正标架 我们称之为曲线C上的伏雷内标架 返回章首 由导数的定义我们可知b总是指向曲线弯曲的那一侧 C a s a s Ds a s Ds 2 1平面曲线 b的指向 返回章首 2 1平面曲线 伏雷内公式 由b的定义有a s a s b s 令k s a s 则有a s k s b s 我们把k s 叫曲线C在r s 处的曲率 定理 伏雷内公式 我们有a kb b ka 以上伏雷内公式叫平面曲线的基本公式 返回章首 2 1平面曲线 曲率计算公式 平面曲线为直线的充分必要条件是其曲率为零 如果曲线方程为y y x 取x为参数 则曲线的参数表示为r x y x 其曲率为 定理 设曲线C r t x t y t 则其曲率为 返回章首 2 1平面曲线 例子 例 求椭圆 x2 a2 y2 b2 1的曲率 解 椭圆可参数化为r t acost bsint 参数方程为x acost y bsint 所以有x asint x acost y bcost y bsint 代入曲率公式得 返回章首 练习题1 求曲线y sinx的曲率 2 求曲线x acos3t y asin3t的曲率 返回章首 2 1平面曲线 标准伏雷内标架 前面我们有了平面曲线上的伏雷内标架 r s a s b s 但伏雷内标架不一定是平面正标架 即它们关于平面上的标准基的分量的行列式不一定为正数 但我们总可以在曲线上选取一单位法向量n s 使 r s a s n s 构成正标架 这个标架叫平面曲线的标准伏雷内标架 a b a n 返回章首 2 1平面曲线 相对曲率与伏雷内公式 因a n 所以可令a s kr s n s 我们称kr为曲线的相对曲率 注意 相对曲率可正可负 定理 我们有下述形式的伏雷内公式 a krn n kra 返回章首 2 1平面曲线 相对曲率计算公式 如果曲线由y y x 给出 则相对曲率为 kr x y y x 特别地 当用自然参数时 相对曲率为 定理 在一般参数下 相对曲率为 返回章首 2 1平面曲线 在一点附近的结构 设曲线C r r s 则当k s 不为0时 曲线近似于抛物线 当k s 0 但k s 不为0时 曲线近似于一条近似立方抛物线 看证明 返回章首 2 2空间曲线 内容 三个基本向量 伏雷内标架 伏雷内公式 曲率 挠率 密切平面 从切平面 一般螺旋线等重点 曲率与挠率的计算 密切平面与从切平面方程 伏雷内公式的应用 返回章首 2 2空间曲线 密切平面 过曲线C上一点P处的切线和曲线上位于P点附近的另一点Q作一平面s Q 当Q沿曲线趋向于P时s Q 的极限位置s称为曲线C在P点的密切平面 过曲线上一点可以作无数切平面 通过切线的平面 而密切平面则是在P点附近最贴近于曲线的平面 平面曲线的密切平面显然就是该曲线所在的平面 而直线的密切平面不确定 或者说直线有无穷多个密切平面 返回章首 2 2空间曲线 密切平面方程 用坐标把密切平面方程表示为 R r t0 r t0 r t0 0 设曲线C r x t y t z t 是光滑的 P是曲线上一点 其参数是t0 设R X Y Z 是P点的密切平面上任意一点 则密切平面方程为 返回章首 例 求螺旋线r cost sint t 在点P 1 0 0 处的密切平面方程 解 直接计算得r t sint cost 1 r t cost sint 0 在给定点P处的参数t 0 所以有r 0 1 0 0 r 0 0 1 1 r 0 1 0 0 代入密切平面方程并整理得 Y Z 0 2 2空间曲线 例子 返回章首 2 2空间曲线 基本向量与伏雷内标架 设有空间曲线C r r s s是弧长参数单位切向量a r 单位主法向量b a a 设r 不为零 单位副法向量g a b曲线C的伏雷内标架 r a b g C a b g r O 返回章首 伏雷内标架 法 密切 从切 C P b a g 主法向量和副法向量决定的平面是法平面 切向量和副法向量决定的平面叫从切平面 切向量和主法向量决定的平面就是密切平面 2 2空间曲线 三棱锥 返回章首 2 2空间曲线 基本向量的计算公式 设C r r t 由一般参数给出 则三个基本向量的计算公式为a r r g r r r r b g a 返回章首 2 2空间曲线 例子 例 求螺旋线r cost sint t 在点P 1 0 0 处的三个基本向量 解 直接计算得r t sint cost 1 r t cost sint 0 在给定点P处的参数t 0 所以有r 0 0 1 1 r 0 1 0 0 代入上面的基本向量计算公式得 返回章首 练习题1 求曲线x acost y bsint z et在t 0点的切线 主法线 副法线 密切平面 从切平面与法平面方程 2 证明曲线的密切平面与曲线的参数选取无关 返回章首 2 2空间曲线 曲率与挠率 设C r r s 是空间曲线 称k s a s 为曲线C在点r s 处的曲率 而a 叫曲率向量 空间曲线除了弯曲外 还有扭转 为了刻画扭转的程度 我们引进挠率的概念 我们把t叫曲线的挠率 这里 返回章首 2 2空间曲线 伏雷内公式 定理 伏雷内公式 a kb b ka tg g tb 返回章首 2 2空间曲线 曲率与挠率计算公式 挠率 曲率 用一般参数表示的曲率与挠率计算公式 返回章首 2 2空间曲线 曲率与挠率为零的曲线 曲线的曲率为零的充要条件是该曲线是直线 曲线的挠率为零的充要条件是该曲线为平面曲线 返回章首 2 2空间曲线 曲率和挠率计算举例 解 直接计算得 r asinq acosq b r acosq asinq 0 r asinq acosq 0 r a2 b2 r r absinq abcosq a2 r r a2b2 a4 1 2 r r r a2b 所以有k a a2 b2 t b a2 b2 例 求圆柱螺旋线r acosq asinq bq 的曲率和挠率 返回章首 练习题1 求曲线r t acosht asinht at 的曲率和挠率 这里a 0 2 求曲线r t a 3t t3 3at2 a 3t t3 的曲率和挠率 这里a 0 3 求a b 使曲线r t acosht asinht bt 上每一点的曲率和挠率相等 返回章首 2 2空间曲线 一般螺旋线 定理 设有曲线C r r s 假定kt 0 则下列条件等价 C是一般螺线 C的主法向量与固定方向垂直 C的副法向量与固定方向成定角 C的曲率与挠率之比是常数 如果曲线的切向量与固定方向成定角 则称该曲线为一般螺线 看证明 返回章首 证 由伏雷内公式得r a kb r kb k2a k b ktg r 3kk a k k3 kt2 b kt tk g 所以 r r r k5 t k 由此即得结论 例 曲线r r s 是一般螺线的充分必要条件是 r r r 0 2 2空间曲线 例子 返回章首 2 2空间曲线 曲线在一点附近的结构 空间曲线在一点附近的形状 设kt 0 在法平面上的投影为半立方抛物线 在从切平面上的投影为立方抛物线 在密切平面上的投影为抛物线 从不穿过从切平面 b总是指向凹入的方向 a b g 返回章首 a b g g a b a g b 法平面 从切平面 密切平面 2 2空间曲线 曲线在一点附近的结构 练习题1 求曲线x etcost y etsint z et在t 0处的切线方程 2 求曲线x t y t2 z t3经过已知点M0 2 1 3 6 的密切平面方程 返回章首 2 2空间曲线 基本定理 唯一性 定理 唯一性 设C r r s 与C0 r0 r0 s 是两条正则的空间曲线 s属于区间I是曲线C的弧长参数 如果对区间I中的每个s 有k s k0 s t s t0 s 那么 存在一个等距变换T R3 R3 使r0 Tr 并且T所对应的正交矩阵T的行列式为 1 也就是说这样的两条曲线可以经过一个运动使它们重合 返回章首 2 2空间曲线 基本定理 存在性 曲线的存在性定理和唯一性定理叫曲线的基本定理 定理 存在性 设k s t s 是一组定义在0 R的一个邻域上的可微函数 并且k s 0 则存在一个包含0的邻域I和一条以弧长为参数的曲线C r r s s I 使得其曲率函数就是k s 挠率函数就是t s 看证明 返回章首 返回主目录 第三章曲面的基本理论 微分几何 第三章曲面的基本理论 曲面的第一基本形式 曲面的第二基本形式 曲面的主方向与主曲率 高斯曲率与平均曲率 直纹面 本章补充习题 第三章内容概要 本章讨论曲面的第一基本形式 第二基本形式 法曲率 主方向 主曲率 Weingarten变换 平均曲率 高斯曲率 直纹面等内容重点 两个基本形式以及各种曲率的计算 返回章首 3 1曲面的第一基本形式 内容 第一基本形式的概念 切向量的长度和夹角 曲面曲线的弧长 曲面区域的面积等重点 利用第一基本形式计算弧长和面积 返回章首 3 1曲面的第一基本形式 第一基本形式的概念 设有曲面S r r u v dr rudu rvdv是曲面上的任一切向量 它的长度的平方记为I dr dr 则I Edu2 2Fdudv Gdv2 其中E ru ru F ru rv G rv rv 对正则曲面而言 I是切平面上的一个正定的二次型 我们称二次型I为曲面的第一基本形式 称E F G为曲面的第一类基本量 返回章首 3 1曲面的第一基本形式 例子 例 设曲面由z f x y 给出 求第一基本形式 解 该曲面的向量函数表示为r r x y x y f x y 令p fx q fy 则rx 1 0 p ry 0 1 q 由此得E rx rx 1 p2 F rx ry pq G ry ry 1 q2 I 1 p2 dx2 2pqdxdy 1 q2 dy2 返回章首 3 1曲面的第一基本形式 例子 例 求球面S2的第一基本形式 解 球面的参数表示为r Rcosjcosq Rcosjsinq Rsinj 直接计算得E rq rq R2cos2j F rq rj 0 G rj rj R2 因此I R2cos2jdq2 R2dj2 返回章首 练习题1 求圆柱面r u v Rcosv Rsinv u 的第一基本形式 2 求一般螺面r u v aucosv ausinv f u bv 的第一类基本量 3 求悬链面r u v acoshucosv acoshusinv au 的第一类基本量 这里 coshu eu e u 返回章首 3 1曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长 曲面上的曲线C r r u t v t 切向量r ruu rvv 则该曲线相应于a t b的曲线段的弧长为 返回章首 3 1曲面的第一基本形式 曲面上的切向量与切方向 曲面上的切向量dr rudu rvdv可用其仿射坐标 du dv 来表示 而该切向量所代表的切方向则可用仿射坐标的比值来du dv表示 例如 假设曲面上有一条曲线u v 0 则该曲线的切方向为du dv 1 1 返回章首 3 1曲面的第一基本形式 曲面上切方向的夹角 令两切方向分别为d du dv d du dv 则 给定曲面上两个切方向du dv和du dv 设它们的夹角为q 则可以通过计算切向量dr rudu rvdv与dr rudu rvdv的夹角来计算这两个切方向的夹角 返回章首 曲面的第一基本形式 第一基本形式与参数选取无关 定理 曲面的第一基本形式与曲面的参数选取无关 证明 用一阶微分的形式不变性很容易证明这个定理 通过直接计算也可以证明这个定理 详情点击这里 练习题1 设曲面的第一基本形式为I du2 u2 a2 dv2 求其上两条曲线u v 0和u v 0的夹角 2 在曲面r u v ucosv usinv u2 上 求曲线v u 1与v 3 u之间的夹角 3 求在第一基本形式为I du2 sinh2udv2的曲面上 方程为u v v1 v v2 的曲线段的弧长 4 设一个曲面的第一基本形式为I du2 u2 a2 dv2 求它上面由曲线u av2 v 1所构成的曲线三角形的周长 返回章首 3 1曲面的第一基本形式 曲面域的面积 设有曲面S r r u v u v D 则曲面的面积元素为 返回章首 3 1曲面的第一基本形式 曲面域的面积 如果s是曲面上的一个区域 G是对应的 u v 平面上的区域 则此曲面区域的面积为 返回章首 定理 曲面区域的面积与参数的选取无关 证明点击这里 由第一类基本量所决定的量叫内蕴量 由第一类基本量所决定的性质叫内蕴性质 曲面的面积 曲面上曲线的弧长 曲面上切向量的夹角等都是内蕴量 3 1曲面的第一基本形式 内蕴量 返回章首 练习题1 求正螺面r aucosv ausinv bv 上由曲线u 0 u a v 0 v 1所围成的四边形的面积 2 求球面r j q acosjcosq acosjsinq asinj 的面积 返回章首 3 1曲面的第一基本形式 正交网 设曲面S r r u v 让u u0固定 v变化 则r r u0 v 也在曲面上描绘出一条曲线 叫v 曲线 让v v0固定 u变化 则r r u v0 就在曲面上描绘出一条曲线 叫u 曲线 u 曲线 v 曲线 返回章首 3 1曲面的第一基本形式 正交网 如果在曲面上任意一点处的u 曲线与v 曲线正交 则称这样的参数叫正交参数 相应的参数网叫正交参数网 曲面上的所有u 曲线和v 曲线构成曲面上的一个曲线网 叫参数网或曲纹坐标网 返回章首 3 1曲面的第一基本形式 正交网 参数网为正交网的充分必要条件是F 0 设有曲面S r r u v 其中 u v U 对任意的 u v U x u v a u v ru u v b u v rv u v 是S在r u v 处的一个切向量 称为曲面上的一个切向量场 如果a u v 和b u v 都是光滑函数 就称x u v 是光滑切向量场 如果a u v 和b u v 都是连续函数 就称x u v 是连续切向量场 返回章首 3 1曲面的第一基本形式 正交网 引理 设x u v 与y u v 是曲面S r r u v 上两个线性无关的连续切向量场 则在曲面上任意一点附近可选取新的参数 u v 使得x切于u 曲线 y切于v 曲线 证明点击这里 返回章首 3 1曲面的第一基本形式 正交网 定理 曲面r r u v 上任意一点附近存在正交参数网 证明 将ru和rv实施Schmidt正交化 令 则e1和e2是曲面上的两个正交向量场 由引理 存在参数 u v 使u 曲线与e1相切 v 曲线与e2相切 这样的参数网是正交网 返回章首 练习题1 求曲面z axy上坐标曲线x x0和y y0的交角的余弦值 2 双曲抛物面r u v a u v b u v 2uv 的第一基本形式 3 设曲面的第一基本形式为I du dv du2 u2 a2 dv2 求其上的三条曲线u av v 1所围成的三角形的面积 返回章首 3 2曲面的第二基本形式 内容 第二基本形式的概念 计算与几何意义重点 第二基本形式的计算 返回章首 设曲面S r r u v n ru rv ru rv 是它的单位法向量 称二次型II n d2r为曲面的第二基本形式 容易算出II Ldu2 2Mdudv Ndv2 其中L ruu n M ruv n N rvv n 函数L M和N都叫曲面的第二类基本量 由于n dr 0 两边求微分可得n d2r dn dr 因此II dr dn 由此可得L ru nu M ru nv rv nu N rv nv 返回章首 3 2曲面的第二基本形式 概念 3 2曲面的第二基本形式 例子 例 设球面S2的参数表示为r Rcosjcosq Rcosjsinq Rsinj 则它的第一 第二基本形式成比例 事实上 直接计算得 I R2cos2jdq2 R2dj2 II Rcos2jdq2 Rdj2 于是 II I 1 R 返回章首 3 2曲面的第二基本形式 例子 例 设曲面由z f x y 给出 求该曲面的第二基本形式 解 曲面的参数表示为r r x y x y f x y 令p fx q fy r fxx s fxy t fyy 则rx 1 0 p ry 0 1 q rxx 0 0 r rxy 0 0 s ryy 0 0 t 返回章首 于是有 3 2曲面的第二基本形式 例子 3 2曲面的第二基本形式 几何意义 定理 如图 II 2d S p P Q dx dy P n 证明见这里 d II 2 练习题 求正螺面r u v aucosv ausinv bv 的第二基本形式 求旋转抛物面r u v ucosv usinv u2 的第二基本形式 求圆柱面r u v Rcosv Rsinv u 的第二基本形式 求悬链面r u v acoshucosv acoshusinv au 的第一 第二基本形式 其中coshu eu e u 返回章首 3 3曲面的主方向与主曲率 内容 法曲率 主曲率 主方向 Weingarten变换 曲率线 曲率网 全脐曲面的特征 欧拉公式 罗德里格定理重点 主方向的判断与主曲率的计算 返回章首 3 2曲面的第二基本形式 法曲率 设曲面S r r u v 容易看出II I表面上依赖于切向量 du dv 但实际上只依赖于切方向du dv 给定曲面S r r u v 上一点P处的一个切方向d du dv 则P点沿方向d的法曲率定义为kn d II du dv I du dv 返回章首 3 2曲面的第二基本形式 法曲率 定理 设C是曲面S上的一条曲线 则沿曲线C的切方向的法曲率kn是该曲线的曲率向量r 在曲面的法向量n上的投影 即kn r n 法曲率的几何意义见这里 返回章首 3 2曲面的第二基本形式 全脐曲面 定理 正则曲面是全脐曲面的充要条件是它为平面或球面 看证明 练习题1 试求出椭圆抛物面z 2x2 y2在原点处沿方向d 1 2的法曲率 2 求曲面z x2 y2的脐点 即两个基本形式成比例的点 3 求曲面z ax2 by2在 0 0 点处法曲率的极值 提示 要考虑1 0方向 返回章首 3 3曲面的主方向与主曲率 Weingarten变换 曲面的切平面上由下式定义的线性变换W ru nu W rv nv 叫Weingarten变换 看例子 注意 W与参数的选取无关 返回章首 Weingarten变换也可以写成W dr dn 3 3曲面的主方向与主曲率 Weingarten变换的性质 定理 Weingarten变换W满足dr W dr dr dn dr W dr W dr dr 其中第二个式子说明W是对称的 由于Weingarten变换是对称的线性变换 所以有两实特征值 法曲率达到最值的方向叫主方向 法曲率的最值叫主曲率 返回章首 定理 Weingarten变换的特征值就是主曲率 特征方向就是主方向 看证明 3 3曲面的主方向与主曲率 Weingarten变换的性质 返回章首 3 3曲面的主方向与主曲率 欧拉公式 推论 欧拉公式 设k1 k2是两个主曲率 kn是d方向的法曲率 q是d方向与第一特征方向的夹角 则有kn k1cos2q k2sin2q 返回章首 注意 第一特征方向就是k1对应的特征方向 由你任意选定 2 方向d du dv是主方向的充要条件是 定理 1 函数l是主曲率的充要条件是 返回章首 3 3曲面的主方向与主曲率 主曲率与主方向的判断 看证明 3 3曲面的主方向与主曲率 罗德里格定理 定理 罗德里格定理 如果方向d du dv是主方向 则dn ldr 其中 kn kn是沿d方向的法曲率 反之 如果方向d满足dn ldr 则d是主方向 且 kn kn是沿d方向的法曲率 返回章首 练习题1 求马鞍面z xy在原点处的主方向与主曲率 2 求柱面r u v acos u a asin u a v 的主方向和主曲率 3 用欧拉公式求曲面z ax2 by2在 0 0 点处的两主方向的中线方向的法曲率 4 证明 曲面在任意固定点处沿任意两个彼此正交的切方向的法曲率之和是常数 返回章首 3 3曲面的主方向与主曲率 曲率网 如果曲面上一条曲线的每一点处的切方向都是主方向 则称该曲线是曲率线 如果曲面上的曲线网由两族曲率线构成 则称该网为曲率网 定理 曲面的曲纹坐标网是曲率网的充分必要条件是F M 0 返回章首 看证明 3 3曲面的主方向与主曲率 曲面上点的分类 使得k1k2 0的点叫曲面的椭圆点 使得k1k2 0的点叫曲面的双曲点 使得k1k2 0的点叫曲面抛物点 特别地 当k1 k2 0时 对应的点