安徽马鞍山高二数学上学期学业水平测试

安徽省马鞍山市20172018学年度第一学期学业水平测试高二数学必修试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知直线经过点，则该直线的斜率是A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据斜率公式，选D.2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是A. B. C. D. 【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，两点关于平面对称，竖坐标互为相反数，点的坐标是点关于平面对称的点的坐标是，选A.3. 直线的斜率为，在y轴上的截距为b，则有A. B. C. D. 【答案】A【解析】把直线方程化为斜截式：，可知斜率，截距，选A.4. 已知直线与平面，则下列结论成立的是A. 若直线垂直于内的两条直线，则B. 若直线垂直于内的无数条直线，则C. 若直线平行于内的一条直线，则D. 若直线与平面无公共点，则【答案】D【解析】根据直线与平面垂直的判定定理，当一条直线与平面内的两条相交直线垂直时，直线与平面垂直，所以A、B错误；根据直线与平面平行的判定定理，平面外的一条直线与平面内的一条直线平行时，直线与平面平行，因此C错误，直线与平面无公共点，符合直线与平面平行的定义，直线与平面平行，选D.5. 已知直线和互相平行，则间的距离是A. B. C. D. 【答案】C【解析】直线和互相平行，有，则间的距离是，选C.6. 如图，三棱柱中，底面三角形是正三角形，是的中点，则下列叙述正确的是A. 与是异面直线 B. 与是共面直线C. 与是异面直线 D. 与是共面直线【答案】C【解析】由于与均在平面内，不是异面直线；平面， 平面，点不在直线上，所以和是异面直线，平面， 平面，点不在直线上，则与是异面直线，选C.【点睛】判断两条直线是否为异面直线，第一两条直线平行或相交，则两条直线共面，第二若一条直线与一个平面相交于一点，那么这条直线与这个平面内不经过该点的直线是异面直线，这是判断两条直线是异面直线的方法，要根据题目所提供的线线、线面关系准确的做出判断.7. 已知直线和圆，则直线和圆的位置关系是A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 都有可能【答案】A【解析】把圆的方程化为，直线方程化为恒过定点，而在圆C的内部，则直线和圆相交，选A.8. 若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比是A. B. C. D. 【答案】C.9. 设、是两个不同的平面，、是两条不同直线，则下列结论中错误的是A. 若，则B. 若，则 、与所成的角相等C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】若，则是正确的，若，则 、与所成的角相等是正确的，若，则是正确的，若，则平面与平面可能相交，也可能平行，命题错误的选D.10. 在矩形中，将沿折起后，三棱锥的外接球表面积为A. B. C. D. 【答案】B【解析】矩形中，将沿折起后，得到三棱锥，由于三棱锥的外接球的直径为，所以外接球的半径为，三棱锥的外接球表面积为.选B.11. 已知圆（）截直线所得弦长是，则的值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】圆M： ，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，半弦长为，根据圆的弦长公式可知，选B.12. 如图，在正方体中 ，点在线段上运动，则下列判断中，正确命题的个数是 三棱锥的体积不变； ；与所成角的范围是.A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 个【答案】B【解析】在正方体中，三角形的面积为定值，又，可以推出平面，因此点到平面的距离为定值，三棱锥的体积不变是正确的；，可以推出平面 平面，平面，则 平面， 是正确的；由于 平面，则是正确的；当 为的中点时，与所成角的范围是，错误，选B. 【点睛】涉及到三棱锥的体积为定值问题，要考虑到动点（棱锥的顶点）在直线上，而直线与平面（棱锥的底面）平行，这样不论动点怎样移动，棱锥的高都不变，底面积为定值，高为定值，体积就是定值；两条异面直线所成的角的范围，首先平移一条直线，找出两条异面直线所成的角，移动动点观察特殊点时，异面直线所成的角，就会很容易得出你的角的范围，很适合做选填题.二、填空题：每小题4分，共20分请把答案填在答题卡的相应位置13. 两两相交的三条直线可确定_个平面.【答案】1或3【解析】当三条直线交于一点时，可以确定3个平面；当三条直线两两相交，有三个交点时，可确定1个平面. 两两相交的三条直线可确定1个或3个平面.14. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_【答案】【解析】根据三视图恢复原几何体为三棱锥，底面为直角三角形，两条直角边长分别为2和1，一条侧棱垂直于底面，高为1，则该几何体的体积为.15. 已知圆，则过点且与圆相切的直线方程为_【答案】【解析】由于点在圆上，所以圆的切线只有1条，设切线方程为，即：，利用圆心到切线的距离等于圆的半径得：得：，所求切线方程为：.16. 如果实数满足等式,那么的最小值为_【答案】【解析】表示圆上一点到原点距离的平方，由于圆心到原点的距离为，圆上一点到原点的距离的最小值为，那么的最小值为.17. 已知过点的直线交轴正半轴于点，交直线于点，且,则直线在轴上的截距是_ .【答案】7【解析】若直线的斜率不存在，直线，不符合题意要求，可见直线直线的斜率存在，不妨设斜率为，则直线的方程为，即：，求出，再解出与直线的交点，分别过A、C作轴的垂线，由于，可知， ，解得或（舍），当时，直线在轴上的截距是.【点睛】求直线方程首先要考虑直线的斜率不存在的情形，然后再设点斜式或斜截式，涉及两条直线交点问题要解方程组求出交点坐标，本题最重要的一点是涉及到线段长度关系时，有时转化为向量关系借助坐标关系解题，有时直接利用比例转化为横坐标或纵坐标的关系解题，这是很重要的一种方法.三、解答题：本大题共5题，共44分解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程解答写在答题卡上的指定区域内18. 直线经过直线和直线的交点，且与直线垂直，求直线的方程【答案】【解析】试题分析：直线经过两条直线的交点，所以先联立方程组，解出两条直线的焦点坐标，直线与已知直线垂直，根据垂直斜率存在两条直线垂直的条件，只需斜率互为负倒数，求出所求直线的斜率，最后利用直线方程的点斜式写出所求直线的方程，化为一般式给出答案.试题解析：由得 交点坐标为，又直线与直线垂直直线的斜率为3，直线的方程为，即 19. 如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，（1）求证：平面；（2）求直线和平面所成的角的正切值【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：证明线面垂直，可利用线面垂直的判定定理，证明直线与平面内的两条相交直线垂直，进而说明线面垂直.求线面角首先要寻求平面的垂线，作垂线找垂足，连垂足和斜足得到射影，斜线与射影所成的角为线面角，传统方法是“先作、再证、后求”，本题也可采用空间向量法去做.试题解析：（1）平面， ，又 ， 平面；（2） 平面， 为斜线在平面内的射影，为求直线和平面所成的角，在直角三角形中， ，直线和平面所成的角的正切值为【点睛】证明线面垂直，第一可利用线面垂直的判定定理，证明直线与平面内的两条相交直线垂直，进而说明线面垂直.第二可建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，借助空间向量解题，利用两个向量数量积为零，说明线线垂直，也是很简单的做法. 求线面角首先要寻求平面的垂线，作垂线找垂足，连垂足和斜足得到射影，斜线与射影所成的角为线面角，传统方法是“先作、再证、后求”，本题也可建立空间直角坐标系采用空间向量法借助法向量去做.20. 已知圆心在轴上且通过点的圆与直线相切 （1）求圆的方程；（2）已知直线经过点，并且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程【答案】（1）；（2）或【解析】试题分析：求圆的方程采用待定系数法，巧用圆心和半径，由于圆的切线垂直于过切点的半径，因此圆心到切线的距离就是半径，尽可能的减元，所设的参数越少解方程越简单，有关圆的弦长问题，基本都用弦心距，半弦，半径满足勾股定理去解决，求直线方程要注意斜率不存在的情况.试题解析：（1）设圆心的坐标为，则，解得a1，半径，圆的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线被圆截得的弦长为，满足条件；当直线的斜率存在时，设直线l的方程为，由题意得，解得，直线的方程为，综上所述，直线l的方程为或.【点睛】求圆的方程有两种设法，一是圆的标准方程，一是圆的一般方程，都是采用待定系数法，巧用圆心和半径，由于圆的切线垂直于过切点的半径，因此圆心到切线的距离就是半径，尽可能的减元，所设的参数越少解方程越简单，有关圆的弦长问题，基本都用弦心距，半弦，半径满足勾股定理去解决.21. 如图，在四棱锥中，底面, ，与底面成，是的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：证明线面平行有两种思路：第一寻求线线平行，利用线面平行的判定定理.第二寻求面面平行，本题借助平行四边形和三角形中位线定理可以得到线线平行，证明面面平行，进而得出线面平行；求体积问题最主要利用转化思想，包括平行转化、对称转化、比例转化，三棱锥求体积还要注意灵活使用棱锥的顶点.试题解析：（1）证明：取的中点，连接 ，面，面，平面，同理平面，又，平面平面，又平面，平面. （2）与底面成，又底面， ，底面，【点睛】证明线面平行有两种思路：第一寻求线线平行，利用线面平行的判定定理.第二寻求面面平行，求体积问题大多出现在文科考题，一般不是直接求出底面和高，大多需要利用转化思想，包括平行转化、对称转化、比例转化，三棱锥求体积还要注意灵活使用棱锥的顶点.22. 过点作圆 的切线，为坐标原点，切点为，且.（1）求的值；（2）设是圆上位于第一象限内的任意一点，过点作圆的切线，且交轴于点，交y轴于点，设，求的最小值【答案】（1）4；（2）8【解析】试题分析：首先利用圆的弦长公式，求出圆的半径；涉及到直线与两坐标轴的交点问题大多采用线方程的截距式，但务必要检验，设直线方程的截距式，由于直线与圆相切于第一象限，满足相切条件，且截距均为正，利用均值不等式进行“等转不等”，得出向量OQ的模的最小值.试题解析：（1）圆 的圆心为，于是，由题设知，是