小学奥数周期问题

周期问题典型例解例1把围棋里的黑白棋子按一定的规律排列着，其中第90颗是什么棋？第101颗是什么棋？【分析】仔细观察图中棋的排列，不难发现棋的排列规律是：2颗黑棋，1颗白棋，2颗黑棋，1颗白棋，也就是按“两颗黑棋，一颗白棋”的次序循环出现，因此，这道题的周期为3。再看看90,101里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，若是有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个。解答 903=30，正好有30个周期。 1013=332，有33个周期还多2个。 所以，第90颗棋是白棋，第101颗棋是黑棋。 答：第90颗是白棋，第101颗是黑棋举一反三1有一列数:5、6、2、4、5、6、2、4第129个数是多少？有同样大小的黑、白、红珠子共180个，按5个红珠，4个白珠，3个黑珠排列，第158个珠子是什么颜色？这158个珠子中有多少个黑珠？其中第99个是什么图形？例2 积的个位数字是几？分析要求202个7连乘的积的个位数字，因此，我们只需要考虑积的个位数字的排列规律。若干个7相乘 777777777777777777777和的个位数字 7 9 3 1 7 9从上表中，我们发现积的个位数字分别以7、9、3、1不断重复出现，即每4个7相乘为1个周期。202个7相乘中含有多少个这样的周期？余数是几？如果余数是1，那么积的个位数字是7；如果余数是2，那么积的个位数字是9；如果余数是3，那么积的个位数字是3；如果没有余数，那么积的个位数字是1。解答2024=50（周）2（个）答：202个7连乘，积的个位数字是9。举一反三2的积的个位数字是几? 积的个位数字是几？的积的个位数字是几？ 例32574的商的小数点后面第80位是几？小数点后面前80个数字之和是多少？分析先找出2574的商，2574=0.3378378378，从小数点后第二个数字开始，3,7,8这三个数字依次重复不断地出现，即循环节有三个数字组成：3,7,8，即2574=0.3378,显然这道题的周期是3(3,7,8)。（1） 要求小数点后第80位数字，先去掉第一个数字，还剩下801=79（个）数字，再算一算79个数字里有几个这样的周期；793=261，则小数点后面第80个数字是“3”。（2） 小数点后面前80个数字之和应由三部分组成；第一个数字3,26个周期中的数字和，最后一个数字3，把这三部分加起来，即可求得小数点后面80个数字之和。解答（1）这道题的周期是3（3,7,8） 801=79（个） 793=261 所以，小数点后第80位数字是3。 （2）小数点后面前80个数字之和。 3（378）263 =34683 =474答：小数点后面第80位数字是3，小数点后面前80个数字之和是474。举一反三3213的商的小数点后面第2005位上的数字是多少？27的商的小数点后面第2000位上的数字是多少？47的商的小数点后面第2011位上的数字是多少？例4有一个1111位数，各位数字都是1，这个数除以6，余数是几？商的末位数字是几？分析我们可以用列表的方法寻找周期被除数中“1”的个数1234567 除以6以后余数的末位数字1531531 除以6以后商的末位数字0185185 余数出现的周期为3（1，5，3）；第一个“1”上相对应的商为“0”，从第2个“1”开始，商的末位数字的周期为3（1，8，5）。解答（1）11113=3701 （2）（11111）3=370所以，这个数除以6的余数是1，商的末位数字是5。举一反三4，余数是几，商的末位数是几？ 的余数是几，商的末位数是几？ 有一个2005位数，个位数字都是1，这个数除以6的余数是多少？例5有一根200厘米长的绳子上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右向左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将绳子逐段剪短。长度是1厘米的短绳子有多少根？分析两种染色方法的方向不同，若能将两种染色方法统一，则容易找出染色的规律。因为200被5整除，所以不管按哪种方向染色，两种染色结果都相同。因此我们可以看作两次都是自左向右染色。6和5的最小公倍数是30，即在30,60，90,120,150,180的地方同时染色，所以30厘米为一个周期，每一周期的染色情况如下图所示：从上图可以看出：一个周期内有2根长度是1厘米的绳子，200里面有6个周期还多20厘米，最后20厘米中有1根长度是1厘米的绳子。解答这道题的周期是30厘米。 20030=620 261 =121 =13（根）答：长度是1厘米的短绳子有13根。举一反三5张华在一根长80米的木棍上，从左到右每隔3米染上一个红点，从右到左每隔5米染上一个红点，然后沿红点将木棍切开，那么，长度是2的短木棒有多少根？李健在一根长60分米的彩带上，从左到右每隔3分米染上一个红点，同时从右到左每隔4分米染上一个红点，然后沿红点将彩带剪开，一共有多少根短彩带？ 在一根肠110厘米的木棍上，从左到右每隔4厘米染上一个红点，同时从右到左每隔5厘米染上一个红点，然后沿红点将木棍逐段锯开，那么，长度是1厘米的短木棍有多少根？【整合集训】有同样大小的红、白、黑珠子共90个，按先3个红的后2个白的，再1个黑的顺序排列。其中白珠子有多少个？第68个珠子是什么颜色？用1、3、4、8四个数字组成不同的四位数，把他们从小到大排列，第17个数是多少？有2011个3连乘：333，它们的积的个位数字是几？有6位同学进行报数游戏，他们围城一圈，小强报“1”，小兰报“2”，小明报“3”，小红报“4”，小胖报“5”，小华报“6”，每位报的数总比前一位多1，那么72是谁报的？190呢？自然数按下列方式排列： A B C D E 1 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 17 16 15 14 18 则数2011在哪个字母下面？某个数里有三个星期日的日期为偶数，请你推算出这个月的15日是星期几？有一串数，第一个数是6，第二个数是3，从第二个数起，每隔数都比它前面那个数与后面哪个数的和少5，那么这串数中从第一个数起到398个数为止的398个数的和是多少？正方形ABCO和正方形ODEF的边长都是2厘米，一条小虫从O点出发,先爬到F点，然后沿箭头所指方向（经过O