35[1].曲线与方程 综合练习

曲线与方程 综合练习【例题精选】：例1：如图，矩形ABCD中，M、N分别是AB、BC边上的动点，且=，AN与DM交于P点，求P点轨迹，并说出轨迹图形。分析：首先应该建立适当的坐标系，对于给出的基本图形是矩形，一般地，选取一个顶点为原点，两邻边所在直线为X轴、Y轴即可，坐标系建立以后，一些相关的点的坐标及有关的曲线的方程也就可以写出来了。由于题中的动点P是两条直线的交点，而其中的关键是点M（或点N），它一确定，DM与AN也就定下来了，点P也随着定下来，因此要找到点P坐标满足的等式，需要引入确定点M坐标的参数，然后写出DM，AN所在直线方程，求出其交点坐标再消去其中的参数，即可得到点P的轨迹方程。值得注意的是点只能在矩形中的某一部分，从几何图形也可以看出，当点M与点A重合时，点N与点B重合，点P也就与点A重合；当点M逐渐接近点B时，点N逐渐接近点C（注意点M不能与点B重合），从而点P逐渐接近矩形的中心，因此点P的轨迹图形是一小段曲线。解：以点A为原点，AB，AD所在直线分别为X轴、Y轴建立直角坐标系。 设点M（t，0） （0t a）=， =点N的坐标为（a， t）直线AN，DM方程分别为y=x， +=1 （0ta）设点，则由 解得 消去t，得整理后，得轨迹图形是以为中心，a、b（设）分别为长轴长、短轴长的椭圆的四分之一。说明：本题将两直线方程联立解点P坐标时，可以不必解出点P坐标的参数表达形式，只需将参数t表示为代入另一直线方程中，消去t即可。例2：已知圆C1：及点，B是圆上一点，以AB为一腰作等腰直角（A、B、P依顺时针方向），求点P的轨迹方程。分析：首先应考虑依题意点B是直角顶点，还是非直角顶点，如图1，图2所示的两种不同情况，然后又根据等腰直角三角形的性质可知，图1中，；图2中。因此，对于这个问题，如果用复平面中向量的互相转换，而求得动点的坐标满足的等式，会比较简便。解：设点P（x,y）,则在复平面上,对应复数x+yi (x,yR),向量对应复数(x-2)+yi如图1, =, BAP=45,对应复数(x-2)+yi (cos45+sin45) =(x-y-2)+i(x+y-2)对应的复数为(x-y-2)+i(x+y-2) +2点B在圆C1：x2+y2=1上，(x-y-2)+22+(x+y-2)2=1化简，得x2+y2-4y+2=0 即 x2+（y-2)2=2如图2，=，BAP=90对应复数(x-2)+yii=（x-2）i-y对应的复数为（x-2）i-y+2点B在圆C1：x2+y2=1上，（x-2）2+（y-2）2=1综上述，点P轨迹方程为x2+（y-2）2=2或（x-2）2+（y-2）2=1例3，求一宇宙飞船的轨道，使得在轨道上任一点处分别看地球、月球时的视角相等（地球、月球半径分别为R、r，球心距为d）。分析：这里所说的“视角”，指的是从一点向地球（或月球）的一个大圆所依的两条切线的角。假设轨道上一点P，它与两球的连心线确定一个平面（点P不在连心线上，若点P在连心上，则过连心线任作一平面）。如图所示，PA、PB分别与地球大圆O1切于A、B两点；PC、PD分别与月球大圆O2切于C、D两点，根据几何性质及已知条件，可以得到，从而，利用三角形的相似，列出比例式，就可以得到点P满足的等式，在适当坐标系下，就可以求得P点满足的方程。解：如图，以某一个过两球连心线O1O2的截面为直角平面，O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立坐标系。设点，PA、PB切O1于A、B，PC、PD切O2于C、D，RtPAO1RtPCO2化简，得，为所求轨迹方程。它是以为圆心，半径为的圆。说明：由于我们学习的是平面解析几何，所以上面的解中给出的仅是在某一个大圆截面上的轨迹。例4：（1）已知圆C1：和圆C2：，求和圆C1外切面和圆C2内切的圆的圆心轨迹方程；（2）求经过椭圆短轴一端所引弦的中点的轨迹方程。分析：这两个小题都可以从动点所满足的几何条件，再根据某些特殊曲线的定义去得出方程，有时这样得到曲线的轨迹方程是很方便的。解：（1）设动圆心，半径为R。圆C1的圆心为，半径为2， 圆C2的圆心为 ，半径为10，又圆C与圆C1外切，与圆C2内切，这说明动点C到C1、C2距离之和为12，所以C点轨迹为以C1、C2为焦点，半长轴长为6的椭圆。轨迹方程为（2）设已知椭圆方程为，两焦点为F1、F2，短轴一端点为B。 设过B的任一弦BA的中点。取BF1、BF2中点分别为R、Q，则 P在以R，Q为焦点，长轴长为a的椭圆上。点P轨迹方程为。例5：设椭圆与双曲线有共同的焦点，并且椭圆的长轴长是双曲线的实轴长的2倍，试求椭圆与双曲线交点的轨迹。分析：本题给出两种解法，一种完全由曲线方程求交点而得轨迹；另一种则根据椭圆、双曲线的定义由几何条件而得轨迹，可以看出后者方便得多。解法一：设双曲线的实轴长为2a（），则椭圆长轴长为4a。它们的方程分别为： 式4式，得代入式，得再将代入式，消去a2，得当时，化简得 当时，化简得 ，所求轨迹为分别以（5, 0），（5, 0）为圆心， 半径为3的两个圆（除去它们与x轴的交点）。解法二：两曲线有共同焦点，且长轴长是实轴长的2倍，设两曲线交点，即：以下同解法一例6：直线与抛物线交于A、B两点，在线段AB上有动点P，满足的倒数成等差数列，求P点的轨迹方程。分析：由于OA，OP，OB是以点O为一个端点的，且在同一直线上，联想直线参数方程中参数t的几何意义，设直线的参数方程会更合适此题求解。解：设直线的参数方程为（t为参数）将它代入抛物线方程，得即设此方程有两根，分别为，则则 即为点P所在的直线。而由 消去y，得当时，解得，为所求轨迹方程。例7：动直线l：与双曲线交于A、B两点，点P在l上，且满足，求点P的轨迹方程。解：设直线l的参数方程为：（t为参数）其中为点P的横、纵坐标。将它代入双曲线方程，得即令得由题意，设方程（*）两根为，则为所求的轨迹方程。例8：方程表示焦点在与x轴平行的直线上的双曲线，求此双曲线的左焦点轨迹，并画出轨迹图形的草图。分析：本题所给方程是一个以k为参数的曲线系方程，应该根据所给条件表示出左焦点坐标的参数形式，再消去参数得其方程，但应注意参数的取值范围，因此所得曲线方程也是有一定范围的。解：方程变形为 此方程表示的曲线为双曲线，k 0设双曲线左焦点则（的参数）消去k，得所求轨迹图形是以（2，3）为顶点，为焦点的抛物线的一段。如右图所示。（图中实数部分）【综合练习】：一、填空题：1、点P（2，1）在曲线上，则。2、已知是二次曲线方程，定点且，则曲线C1：与曲线交点的个数为。3、讨论曲线的对称性，所得结论是。（填关于x轴、y轴、原点、对称）4、两定点（均不为零），M为直线上的一个动点，则的重心的轨迹方程是。5、与圆C1：和圆都内切的圆的圆心轨迹是。二、解答题：1、已知双曲线方程为，证明：无论k为何实数曲线都过两个定点，并求这两点的坐标。2、已知圆C：外一定点，C上任一点Q，PQ上一点R满足PRRQ（的常数），求点R的轨迹方程。3、求下列轨迹方程：（1）求和圆C：与直线都相切的圆的圆心轨迹方程；（2）求和两圆C1：都内切的圆的圆心轨迹方程。4、的两个顶点A、B是椭圆的两个焦点，顶点C在顶点是（0，1），准线是的抛物线上运动，求重心的轨迹方程，并求它的顶点和焦点坐标。5、已知三点A（3,0），B（6,0）C（9,8）以点C为一个焦点作过A、B的椭圆。（1）求另一个焦点F的轨迹方程；（2）求此椭圆中心M的轨迹方程。【答案】：一、填空题：1、或32、个数为03、关于及均对称，关于原点也对称4、5、以（2，0）为中心，以（0，0）、（4、0）为焦点的双曲线的右支二、解答题：1、将方程变为令 解得 或 无论k为何实数曲线都过两定点（0，0）和。2、设C上任一点，点。PRPQ，得代入圆C方程，得 即为所求3、提示：参照例4的方程求解。（1）为所求轨迹方程；（2）为所求轨迹方程。4、先求出抛物线