第十六章 二次根式全章教案.doc

人教版义务教育教材数学八年级下册第十六章 二次根式本章概述本节共分二次根式、二次根式的乘除、二次根式的加减三节内容第1节研究二次根式的概念和性质，教材通过几个具体问题，引导学生用平方根和算术平方根的知识写出结果，并概括它们的共同特征，从而引出二次根式的概念. 第2节是二次根式的乘除运算. 教材通过“研究”栏目，引导学生利用二次根式的性质，从具体数字的运算中发现规律，进而归纳出二次根式的乘、除法法则.第3节是二次根式的加减运算. 教材利用了分配率，采用归纳的方法，从特殊到一般，引导学生概括出二次根式加减法法则. 教学目标1了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由.2. 了解最简二次根式的概念3. 理解二次根式的性质：0(a0)；()2a（a0）；a（a0）4. 了解二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算5. 了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用 教学关键1潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点2培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，培养学生一丝不苟的科学精神课时安排本单元教学时间约需9课时，具体分配如下：16.1 二次根式 2课时16.2 二次根式的乘法 3课时16.3 二次根式的加减 2课时教学活动、习题课、小结 2课时16.1 二次根式教案A第1课时教学目标1. 了解二次根式的概念，并利用(a0)的意义解答具体题目2. 能用二次根式表示实际问题中的数量和数量的关系3. 经历观察、比较，总结二次根式概念和被开方数取值的过程，发展学生的归纳概括能力.教学重点形如(a0)的式子叫做二次根式的概念.教学难点利用“(a0)”解决具体问题教学过程一、问题导入1. 面积为3的正方形的边长是多少？面积为S的正方形的边长是多少？2. 一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽是多少m？3. 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系h5t2如果用含有h的式子表示t，那么t为 二、新课教学教师引导学生思考上面的问题，用算术平方根表示结果，可以进行适当的评价，帮助学生实现从数的算术平方根过渡到用含有字母的式子表示算术平方根.教师：第1、2题中得到的、的依据是什么？它们有什么区别和联系？学生1：依据是算术平方根的定义.学生2：区别是、分别表示具体数3、65的算术平方根， 是字母S表示的数的算术平方根；联系是都表示非负数的算术平方根.教师：第3题中，当h的值分别是10、15、25时，得到的结果分别是什么？学生：当h的值分别是10、15、25时，得到的结果分别是、.教师：上面的问题的结果分别是、（当h的值分别是10、15、25时，得到的结果分别是、），很明显，这些都是一些正数的算术平方根像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式因此，一般地，我们把形如(a0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号三、实例探究例1 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、(x0）、（x0，y0）分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0解：二次根式有、(x0）、（x0，y0）；不是二次根式的有、例2 当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以x-20，才有意义解：由x-20，得x2.当x2时，在实数范围内有意义四、巩固练习教材第3页练习1、2五、应用拓展当x是多少时，在实数范围内有意义？分析：要使在实数范围内有意义，必须同时满足中的2x30和中的x+10解：依题意，得.由上式可得，当x且x1时，在实数范围内才有意义六、归纳小结1形如(a0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号2要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数七、布置作业1. 习题16.1复习巩固1、综合应用52. 同步训练. 第2课时教学目标1. 理解(a0)是一个非负数和()2a（a0）、a（a0），并利用它们进行计算和化简2. 通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出(a0)是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出()2a（a0）；最后运用结论严谨解题3. 通过具体数据的解答，探究a（a0），并利用这个结论解决具体问题教学重点1理解(a0)是一个非负数2. ()2a（a0），a（a0）及其运用教学难点1对(a0)是一个非负数的理解.2. 对等式()2a（a0）及a（a0）的理解及应用教学过程一、导入新课1什么叫二次根式？2当a0时，叫什么？当a0时，有意义吗？二、新课教学思考：(a0)是一个什么数呢？（学生分组讨论，提问解答）教师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出(a0)是一个非负数探究 根据算术平方根的意义填空：()2_；()2_；()2_；()2_；()2_；()2_；()2_教师点评：是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，因此有()24同理，()22，()29，()23，()2，()2，()20一般地()2a（a0）例1 计算：1()2； 2(2)2.解：1()21.5； 2(2)222()24520.探究2 根据算术平方根的意义填空：_；_；_； _通过计算我们可以得到2，0.1， 0一般地，根据算术平方根的意义，a（a0）例2 化简1； 2.解：14； 25.三、巩固练习计算下列各式的值：1()2； 2(3)2； 3； 4.参考答案：1. 3；2. 18；3. 0.3；4. .四、归纳总结回顾我们学过的式子，如5，a，ab，ab，x3，(a0)，它们都是用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式五、内容小结本节课应掌握的内容：1(a0)是一个非负数2()2a（a0）；反之a()2（a0）3a（a0）六、布置作业习题16.1第2、3、4、7、8题教案B第1课时教学目标1. 了解二次根式的概念，并利用(a0)的意义解答具体题目2. 能用二次根式表示实际问题中的数量和数量的关系3. 经历观察、比较，总结二次根式概念和被开方数取值的过程，发展学生的归纳概括能力.教学重点形如(a0)的式子叫做二次根式的概念.教学难点利用“(a0)”解决具体问题教学过程一、导入新课电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域就越广电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单位：km）之间存在近似关系r，其中R是地球半径，R6 400km如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径之比是你能将这个式子化简吗？问题：式子表示什么？等式r中的表示什么意义？教师引导学生讨论，通过讨论让学生发现：式子和整式运算、分式运算一样，也是一种运算. 只有认识了的意义，才能进一步研究这类式子的性质和运算. 二、新课教学思考：1. 面积为3的正方形的边长为 ，面积为S的正方形的边长为 .2. 一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为 m.3. 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系h5t2如果用含有h的式子表示t，那么t为 上面问题的结果分别是、，它们表示一些正数的算术平方根. 像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式一般地，我们把形如(a0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号学生活动：议一议1在实数范围内，1有平方根吗？20的算术平方根是多少？3当a0）、（x0，y0）解：二次根式有：、（x0）、-、（x0，y0）；不是二次根式的有：、三、课堂训练填空：1形如_的式子叫做二次根式 2面积为a的正方形的边长为_3在实数范围宁内，负数_平方根参考答案：1. (a0) 2. 3. 没有四、归纳小结 1形如(a0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号2要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数六、布置作业习题16.1第1、5题第2课时教学目标1. 理解(a0)是一个非负数和()2a（a0）、a（a0），并利用它们进行计算和化简2. 通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出(a0)是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出()2a（a0）；最后运用结论严谨解题3. 通过具体数据的解答，探究a（a0），并利用这个结论解决具体问题教学重点1理解(a0)是一个非负数.2. ()2a（a0），a（a0）及其运用教学难点1对(a0)是一个非负数的理解.2. 对等式()2a（a0）及a（a0）的理解及应用教学过程一、导入新课教师口述并板书上节课的内容：形如（a0）的式子叫做二次根式；（a0）是一个非负数.二、探究新知探究1 根据算术平方根的意义填空：()2_；()2_；()2_； ()2_教师引导学生思考：是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，因此有()24同理可以得到其他三个答案：()22， ()2， ()20一般地()2a（a0）探究2 根据算术平方根的意义填空：_；_；_； _通过计算我们可以得到2，0.1， 0一般地，根据算术平方根的意义，a（a0）三、实例探究例1 计算：1()2； 2(2)2.解：1()21.5； 2(2)222()24520.例2 化简1； 2.解：14； 25.例3 填空：当a0时，_；当aa，则a可以是什么数？分析：因为a（a0），所以要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“( )2”中的数是正数，因为，当a0时，那么-a01. 根据结论求条件；2. 根据第二个填空的分析，逆向思想； 3.根据1、2可知a，而a要大于a，只有什么时候才能保证呢？aa，即使aa所以a不存在；当aa，即使-aa，a0综上，a、0)和(a0，b0)及利用它们进行运算2. 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简3. 发展有条理的思考和语言表达能力，培养化归的数学思想.教学重点理解(a0，b0)和(a0，b0)及利用它们进行运算教学难点发现规律，归纳出二次根式的除法规定教学过程一、复习引入请学生写出二次根式的乘法规定及逆向等式，由此引出二次根式的除法法则二、新课教学探究：计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？（1）_，_；（2）_，_；（3）_，_每组推荐一名学生上台阐述运算结果，教师点评学生计算，观察、讨论后，可以发现：（1）； （2）； （3）刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，二次根式的除法法则是(a0，b0).被除式的算术平方根除以除式的算术平方根等于商的算术平方根. 把上式反过来，就得到(a0，b0).商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.让学生讨论这两个式子成立的条件是什么？a0，b0，对于为什么b0，要使学生通过讨论明确，因为b0时分母为0，没有意义. 利用这两个式子可以进行二次根式的化简与运算.下面我们利用这个法则来计算和化简一些题目三、实例探究例1 计算：（1）； （2）.解：（1）2； （2）3.例2 化简：（1）； （2）.解：（1）； （2）. 例3 计算：（1）； （2）； （3）.解：（1）解法1：；解法2：. （2）. （3）.四、巩固练习教材第10页练习第1题五、应用拓展已知，且x为偶数，求(1+x)的值分析：式子，只有a0，b0时才能成立，因此得到9x0且x60，即6x9，又因为x为偶数，所以x8解：由题意得，即，所以60)和(a0，b0)，及利用它们进行运算 七、布置作业习题16.2第2、3、4、8题 第3课时 教学目标1. 理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式2. 通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求教学重点最简二次根式的运用教学难点会判断这个二次根式是否是最简二次根式教学过程一、问题导入教师引导学生观察上节课例题中的最后结果，比如，等，看看有什么特点.通过观察，发现这些式子中的共同点，从而总结出最简二次根式的概念.二、新课教学通过观察，我们可以发现这些式子有如下两个特点：1. 被开方数不含分母；2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式现在我们来看本章引言中的问题.如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径的比是这个式子是最简二次根式吗？如果不是，把它们化成最简二次根式学生分组讨论，推荐34个人到黑板上板书 师生总结：不是.通过化简，我们哭看到，这个比与地球的半径无关. 这样，只要知道h1，h2，就可以求出比值.例 设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b，已知S2，b，求a.解：因为Sab，所以a.三、巩固练习教材第10页练习2、3题.四、应用拓展观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：（1）； （2）； （3）.解：（1）1；（2）；（3）同理我们可得：.教师引导学生从上面计算结果中找出规律，并利用这一规律计算下式：（）（1）.分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的解：原式(1)(1)(1)(1)200212001.五、归纳小结最简二次根式的概念及其运用六、布置作业习题16.2第7、9、13题教案B第1课时教学目标1. 理解（a0，b0），（a0，b0），并利用它们进行计算和化简.2. 由具体数据，发现规律，导出（a0，b0）并运用它进行计算；利用逆向思维，得出（a0，b0）并运用它进行解题和化简3. 经历“探索发现猜想验证”的过程引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖，相互补充的辩证关系，激发学生的好奇心和求知欲，体验数学活动中的探索和创新，感受数学的严谨性.教学重点（a0，b0），（a0，b0）及其运用教学难点发现规律，导出（a0，b0）教学过程一、导入新课学生活动：计算下列各式（1）_，_；（2）_，_；（3）_，_ 参考上面的结果，用“、0)和(a0，b0)及利用它们进行运算2. 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简3. 发展有条理的思考和语言表达能力，培养化归的数学思想.教学重点理解(a0，b0)和(a0，b0)及利用它们进行运算教学难点发现规律，归纳出二次根式的除法规定教学过程一、复习引入教师引导学生复习上节内容，由此导入对二次根式的除法法则的学习.二、新课学习探究：计算下列各式，观察运算结果，看看有什么规律？ （1）_，_； （2）_，_； （3）_，_； （4）_，_ 参考上面的结果，用“、0).例1 计算：（1）； （2）； （3）； （4） 解：（1）2； （2）2；（3）2；（4）2教师：通过上面的例题，你们发现什么规律吗？学生讨论，师生共同总结：把反过来，就得到(a0，b0)，利用它可以进行二次根式的化简 例2化简： （1）； （2） ； （3） ； （4） 分析：直接利用(a0，b0)就可以达到化简之目的解：（1）；（2）；（3）；（4）例3 计算：（1）； （2）； （3）.解：（1）解法1：；解法2：. （2）. （3）.三、巩固练习教材第10页练习第1题 四、归纳小结掌握(a0，b0)和(a0，b0)及利用它们进行运算 五、布置作业 1习题16.2第2、8、9题 2选用课时作业设计 第3课时教学目标 理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求教学重点最简二次根式的运用教学难点会判断这个二次根式是否是最简二次根式教学过程一、复习引入 学生活动：请三位同学上台板书，完成下列各题. （1）； （2）； （3）参考答案：，二、新课教学观察上面的最后结果，我们可以发现这些式子有如下两个特点：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式例1 设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b，已知S2，b，求a.解：因为Sab，所以a.例2 电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域就越广电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单位：km）之间存在近似关系r，其中R是地球半径，R6 400km如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径之比是这个式子是最简二次根式吗？如果不是，把它们化成最简二次根式学生分组讨论，推荐34个人到黑板上板书 师生总结：不是.通过化简，我们哭看到，这个比与地球的半径无关. 这样，只要知道h1，h2，就可以求出比值.三、巩固练习教材第10页练习第2、3题. 四、归纳小结 本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用五、布置作业 习题16.2第3、7、10题 16.3 二次根式的加减教案A第1课时 教学目标1. 理解和掌握二次根式加减的方法2. 会进行二次根式的加减运算教学重点二次根式化简为最简根式教学难点会判定是否是最简二次根式教学过程一、导入新课学生活动：计算下列各式（1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3.教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并同类项合并就是字母不变，系数相加减二、新课教学问题 现有一块长为7.5dm、宽为5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？因为大、小正方形木板的边长分别为dm和dm，显然木板够宽下面考虑木板是否够长由于两个正方形的边长的和为() dm这实际上是求，这两个二次根式的和，我们可以这样来计算：23 （化成最简二次根式）(23) （分配率） 5.由1.5可知57.5，即两个正方形的边长的和小于木板的长，因此可以用这块木板按要求截出两个面积分别是8dm2和18dm2的的正方形木板分析上面计算的过程，可以看到，把和化成最简二次根式2和3后，由于被开方数相同(都是2)，可以利用分配律将2和3进行合并总结：一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并三、实例探究例1 计算：（1）； （2）+分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并解：（1）43； （2）+3+58例2 计算：（1）263；（2）()()解：（1）263421214；（2）()()223四、巩固练习教材第13页练习1、2五、归纳小结本节课应掌握：1. 不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；2. 相同的最简二次根式进行合并六、布置作业习题16.3第1、2、3、5题第2课时 教学目标用含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用教学重点二次根式的乘除、乘方等运算规律 教学难点由整式运算知识迁移到含二次根式的运算教学过程一、复习引入上节课，我们讲解了二次根式运算中加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并那么，在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式还能适用吗？我们就通过计算来说明学生活动：请同学们完成下列各题. （1）(2x+y)zx； （2）(2x2y+3xy2)xy；（3）（2x+3y)(2x3y)； （4）(2x+1)2+(2x1)2教师点评：这些内容是整式运算的再现如果把上面的x、y、z改写成二次根式，以上的运算规律是否仍成立呢？二、探索新知 整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式例1 计算：（1）()； （2）(43)2分析：二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律解：（1）()43；（2）(43)242322例2 计算：（1）(3)(5)； （2）()().分析：二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立解：（1）(3)(5)()235152215132； （2）()()()2()2532.三、巩固练习教材第14页练习1、2四、布置作业习题16.3第4、7题教案B第1课时教学目标1使学生了解同类二次根式的概念，加深对最简二次根式的概念的了解.2能判断二次根式中的同类二次根式.3能够利用同类二次根式进行二次根式的加减运算. 教学重点同类二次根式的识别.教学难点二次根式的化简.教学过程一、导入新课复习引入：1. 什么样的二次