全国高中数学竞赛专题-三角函数

1 三角恒等式与三角不等式三角恒等式与三角不等式 一 基础知识一 基础知识 定义 1 角 一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角 角的大小是任意的 若旋转方向为逆时针方向 则角为正角 若旋转方向为顺时针方向 则角为负角 若不旋转则为零角 定义 2 角度制 把一周角 360 等分 每一等分为一度 弧度制 把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度 360 度 2 弧度 若圆心角的弧长为 L 则其弧度数的绝对值 其中 r 是圆的半径 r L 定义 3 三角函数 在直角坐标平面内 把角 的顶点放在原点 始边与 x 轴的正半轴重合 在角的终边上任意 取一个不同于原点的点 P 设它的坐标为 x y 到原点的距离为 r 则正弦函数 sin 余弦函数 r y cos 正切函数 tan 余切函数 cot 正割函数 sec 余割函数 csc r x x y y x x r y r 定理 1 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tan sin cos cot 1 csc 1 sec 1 商数关系 tan sin cos cot cos sin 乘积关系 tan cos sin cot sin cos 平方关系 sin2 cos2 1 tan2 1 sec2 cot2 1 csc2 定理 2 诱导公式 sin sin cos cos tan tan cot cot sin sin cos cos tan tan cot cot sin sin cos cos tan tan cot cot sin cos cos sin tan cot 奇变偶不变 符号看象限 2 2 2 定理 3 正弦函数的性质 根据图象可得 y sinx x R 的性质如下 单调区间 在区间上为增函数 在区间上为减函数 2 2 2 2 kk 2 3 2 2 2kk 最小正周期 2 奇偶性 奇函数 有界性 当且仅当 x 2kx 时 y 取最大值 1 当且仅当 x 3k 时 y 取最小值 1 值域为 1 1 2 2 对称性 直线 x k 均为其对称轴 点 k 0 均为其对称中心 这里 k Z 2 定理 4 余弦函数的性质 根据图象可得 y cosx x R 的性质 单调区间 在区间 2k 2k 上单调递减 在区间 2k 2k 上单调递增 最小正周期 2 奇偶性 偶函数 有界性 当且仅当 x 2k 时 y 取最大值 1 当且仅当 x 2k 时 y 取最小值 1 值域为 1 1 对称性 直线 x k 均为其对称轴 点均为其对称中心 这里 k Z 0 2 k 定理 5 正切函数的性质 由图象知奇函数 y tanx xk 在开区间 k k 上为增函数 2 2 2 最小正周期为 值域为 点 k 0 k 0 均为其对称中心 2 定理 6 两角和与差的基本关系式 cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin tan tantan1 tan tan 2 两角和与差的变式 2222 sinsincoscossin sin 2222 cossincossincos cos 三角和的正切公式 tantantantantantan tan 1tantantantantantan 定理 7 和差化积与积化和差公式 sin sin 2sincos sin sin 2sincos 2 2 2 2 cos cos 2coscos cos cos 2sinsin 2 2 2 2 sin cos sin sin cos sin sin sin 2 1 2 1 cos cos cos cos sin sin cos cos 2 1 2 1 定理 8 二倍角公式 sin2 2sin cos cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 tan2 tan1 tan2 2 三倍角公式及变式 3 sin33sin4sin 3 cos34cos3cos 1 sin 60 sinsin 60 sin3 4 1 cos 60 coscos 60 cos3 4 定理 9 半角公式 sin cos 2 2 cos1 2 2 cos1 tan 2 cos1 cos1 sin cos1 cos1 sin 定理 10 万能公式 2 tan1 2 tan2 sin 2 2 tan1 2 tan1 cos 2 2 2 tan1 2 tan2 tan 2 定理 11 辅助角公式 如果 a b 是实数且 a2 b20 则取始边在 x 轴正半轴 终边经过点 a b 的一个角为 则 sin cos 对任意的角 asin bcos sin 22 ba b 22 ba a 22 ba 定理 12 正弦定理 在任意 ABC 中有 R C c B b A a 2 sinsinsin 其中 a b c 分别是角 A B C 的对边 R 为 ABC 外接圆半径 定理 13 余弦定理 在任意 ABC 中有 a2 b2 c2 2bcosA 其中 a b c 分别是角 A B C 的对边 定理 14 射影定理 在任意 ABC 中有 coscosabCcB coscosbaCcA coscoscaBbA 定理 15 欧拉定理 在任意 ABC 中 其中 O I 分别为 ABC 的外心和内心 22 2OIRRr 定理 16 面积公式 在任意 ABC 中 外接圆半径为 R 内切圆半径为 r 半周长 2 abc p 则 2 11 sin2sinsinsin sinsinsin 224 a abc SahabCrpRABCrRABC R 222 1 cotcotcot 4 p papbpcaAbBcC 定理 17 与 ABC 三个内角有关的公式 3 1 sinsinsin4coscoscos 222 ABC ABC 2 coscoscos14sinsinsin 222 ABC ABC 3 tantantantantantan ABCABC 4 tantantantantantan1 222222 ABBCCA 5 cotcotcotcotcotcot1 ABBCCA 6 sin2sin2sin24sinsinsin ABCABC 定理 18 图象之间的关系 y sinx 的图象经上下平移得 y sinx k 的图象 经左右平移得 y sin x 的图象 相位 变换 纵坐标不变 横坐标变为原来的 得到 y sin 的图象 周期变换 横坐标不变 1 x 0 纵坐标变为原来的 A 倍 得到 y Asinx 的图象 振幅变换 y Asin x 0 的图象 周期变换 横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 得到 y Asinx 的图象 振幅变换 y Asin x 0 A 叫作振幅 的图象向右平移个单位得到 y Asinx 的图象 定义 4 函数 y sinx的反函数叫反正弦函数 记作 y arcsinx x 1 1 2 2 x 函数 y cosx x 0 的反函数叫反余弦函数 记作 y arccosx x 1 1 函数 y tanx的反函数叫反正切函数 记作 y arctanx x 2 2 x 函数 y cotx x 0 的反函数称为反余切函数 记作 y arccotx x 定理 19 三角方程的解集 如果 a 1 1 方程 sinx a 的解集是 x x n 1 narcsina n Z 方程 cosx a 的解集是 x x 2kxarccosa k Z 如果 a R 方程 tanx a 的解集是 x x k arctana k Z 恒等式 arcsina arccosa arctana arccota 2 2 定理 20 若干有用的不等式 1 若 则 sinx x tanx 2 0 x 2 函数在上为减函数 函数在上为增函数 sin x y x 0 tan x y x 0 2 3 嵌入不等式 设 A B C 则对任意的 x y z R 有 222 2cos2cos2cosxyzyzAxzBxyC 等号成立当且仅当 yzsinA zxsinB xysinC 二 方法与例题二 方法与例题 1 结合图象解题 例 1 求方程 sinx lg x 的解的个数 解 在同一坐标系内画出函数 y sinx 与 y lg x 的图象 由图象可知两者有 6 个交点 故方程有 6 个解 2 三角函数性质的应用 例 2 设 x 0 试比较 cos sinx 与 sin cosx 的大小 解 若 则 1 cosx 0 所以 cos 2 x 0 2 x 所以 sin cosx 0 又 00 所以 cos sinx sin cosx 若 则因为 sinx cosx sin x 0 2 x 2 所以 0 sinx cosxcos cosx sin cosx 2 综上 当 x 0 时 总有 cos sinx 0 例 6 已知 f x sin x 0 0 是 R 上的偶函数 其图象关于点对称 且在区间 0 4 3 M 上是单调函数 求和的值 2 0 解 由 f x 是偶函数 所以 f x f x 所以 sin x sin x 所以 cossinx 0 对任意 x R 成立 又 0 解得 2 因为 f x 图象关于对称 所以 0 0 4 3 M 4 3 4 3 xfxf 5 取 x 0 得 0 所以 sin所以 k Z 即 2k 1 k Z 4 3 f 0 24 3 24 3 k 3 2 又 0 取 k 0 时 此时 f x sin 2x 在 0 上是减函数 2 2 取 k 1 时 2 此时 f x sin 2x 在 0 上是减函数 2 2 取 k 2 时 此时 f x sin x 在 0 上不是单调函数 3 10 2 2 综上 或 2 3 2 7 三角公式的应用 例 7 已知 sin sin 且 求 sin2 cos2 的值 13 5 13 5 2 2 2 3 解 因为 所以 cos 2 13 12 sin1 2 又因为 所以 cos 2 2 3 13 12 sin1 2 所以 sin2 sin sin cos cos sin 169 120 cos2 cos cos cos sin sin 1 例 8 已知 ABC 的三个内角 A B C 成等差数列 且 试求的值 BCAcos 2 cos 1 cos 1 2 cos CA 解 因为 A 1200 C 所以 cos cos 600 C 2 CA 又由于 120cos cos cos 120cos cos 1 120cos 1 cos 1 cos 1 0 0 0 CC CC CCCA 22 2 1 2120cos 60cos 2 2120cos 120 cos 2 1 60cos 60cos2 0 0 00 00 C C C C 所以 0 解得或 23 2 cos2 2 cos24 2 CACA 2 2 2 cos CA 8 23 2 cos CA 又 0 所以 2 cos CA 2 2 2 cos CA 例 9 求证 tan20 4cos70 3 解 tan20 4cos70 4sin20 20cos 20sin 20cos 40sin220sin 20cos 20cos20sin420sin 20cos 40sin10cos30sin2 20cos 40sin40sin20sin 3 20cos 20cos60sin2 20cos 40sin80sin 例 10 证明 7 cos77cos521cos335cos64cosxxxxx 6 分析 等号左边涉及角 7x 5x 3x x右边仅涉及角x 可将左边各项逐步转化为xsin xcos的表达式 但相对较繁 观察到右边的次数较高 可尝试降次 证明 因为 cos33coscos4 cos3cos43cos 33 xxxxxx 所以 从而有xxxxx 226 cos9cos3cos63coscos16 2cos1 2 9 2cos4 cos3 2 6cos1 xxx x xxxxxxxx xxxxx cos20cos2cos30cos4cos12cos6cos2cos64 2cos992cos64cos66cos1cos32 7 6 cos353cos215cos77cos cos20cos153cos153cos65cos65cos7cos xxxx xxxxxxx 评述 本题看似 化简为繁 实质上抓住了降次这一关键 很是简捷 另本题也可利用复数求解 令 77 1 cos128 1 cos2 sincos z z z ziz 从而则 展开即可 例 11 已知 20012tan2sec 2001 tan1 tan1 求证 证明 4 tan 2 2 sin 2 2 cos 1 2cos 2sin1 2tan2sec 2001 tan1 tan1 2001 tan1 tan1 例 12 证明 对任一自然数n 及任意实数mnk m x k 2 1 0 2 为任一整数 有 2cotcot 2sin 1 4sin 1 2sin 1 xx xxx n n 思路分析 本题左边为 n 项的和 右边为 2 项之差 故尝试将左边各项 裂 成两项之差 并希冀能消去其中许 多中间项 证明 2cotcot 2sin 2cos cossin2 cos2 2sin 2coscos2 2sin 1 22 xx x x xx x x xx x 同理 xx x 4cot2cot 4sin 1 xx x nn n 2cot2cot 2sin 1 1 评述 本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得 裂项相消 在解题中具有一定的普遍性 类似可证下列各题 n n nn tan tan tan 1tan 3tan2tan2tantan 1cot1cos 89cos88cos 1 2cos1cos 1 1cos0cos 1 2cot2cot2tan22tan22tan2tan 1122 nnnn 7 例 13 设的内角所对的边成等比数列 则 的取值范围是 ABC A B C a b c sincotcos sincotcos ACA BCB A B C D 0 51 0 2 5151 22 51 2 解 设的公比为 则 而 a b cq 2 baq caq sincotcossincoscossin sincotcossincoscossin ACAACAC BCBBCBC sin sin sin sin sin sin ACBBb q BCAAa 因此 只需求的取值范围 q 因成等比数列 最大边只能是或 因此要构成三角形的三边 必需且只需且 a b cac a b cabc 即有不等式组bca 即解得 2 2 aaqaq aqaqa 2 2 10 10 qq qq 1551 22 5151 22 q qq 或 从而 因此所求的取值范围是 故选 C 5151 22 q 5151 22 例 14 ABC 内接于单位圆 三个内角 A B C 的平分线延长后分别交此圆于 A1 B1 C1 则的值为 CBA C CC B BB A AA sinsinsin 2 cos 2 cos 2 cos 111 A 2B 4C 6D 8 解 如图 连 BA1 则 AA1 2sin B 22 cos 2 222 sin 2 2 CBCBCBAA 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 22 cos 2 2 cos 1 C BCACBAACBA AA 同理 sinsin 2 cos BCB sinsin 2 cos 1 CA B BB sinsin 2 cos 1 BA C CC 原式 选 A sinsin sin2 2 cos 2 cos 2 cos 111 CBA C CC B BB A AA 2 sinsinsin sinsin sin2 CBA CBA 例 15 若对所有实数 均有 则 xsinsincoscoscos 2 kkk xkxxkxx k A6B5C4D3 解 记 则由条件 恒为 取 得 sinsincoscoscos 2 kkk f xxkxxkxx f x0 2 x 则为奇数 设 上式成为 因此为偶数 令 则 sin1 2 kk k21kn sin1 2 n n2nm 故选择支中只有满足题意 故选 D41km 3k 例 16 已知是偶函数 则函数图象与轴交点的纵坐标的最大值是 22222 12f xxabxaabb y A B 2 C D 422 2 解 由已知条件可知 函数图象与 22 10ab 8 轴交点的纵坐标为 令 则y 22 2aabb scosinba 因此 选 A 2222 2sincossincos2sin2c s22oaabb 例 17 已知 直线与 R 1 sinsinsincos xy 1 cossincoscos xy 的交点在直线上 则 yx cossincinsso 解 由已知可知 可设两直线的交点为 且为方程 00 xx inssco 00 1 sincos xx tt 的两个根 即为方程的两个根 2 0 sinc cos sinos cos i0s nttx 因此 即0 cos sinsincos cossincinsso 1 22 cos 15756 xxxx 2 已知函数 则f x 的最小值为 4 5 4 1 2 cos sin x x x x xf 3 已知 且 则的值是 3 sin 2sin 2 2 1 Zknnk tan tan 4 设函数f x 3sinx 2cosx 1 若实数a b c使得af x bf x c 1 对任意实数x恒成立 则 a cbcos 5 设 0 2 1 1 11 n n a a 2 2 n 8 已知 cos sin tan 1 sin sin A AA 求证 9 若 A B C 为 ABC 三个内角 试求 sinA sinB sinC 的最大值 10 证明 2 sin 2 1 sin 2 sin sin 2sin sin sin nn n 11 已知 为锐角 且 x 0 求证 2 2 sin cos sin cos x x 12 求证 16 1 78cos66cos42cos6cos sin1 sin2 sin3 sin89 106 4 1 45 9 全国高中数学竞赛专题全国高中数学竞赛专题 三角恒等式与三角不等式三角恒等式与三角不等式 实战演练答案实战演练答案 1 解 根据题意要求 于是有 因此 2 605xx 2 0571xx 2 715xx 因此答案为 1 22 cos 15756 cos01xxxx 2 解 实际上 设 则g x 0 g x 在 4 5 4 1 2 4 sin 2 x x x xf 4 5 4 1 4 sin 2 x xxg 上是增函数 在上是减函数 且y g x 的图像关于直线对称 则对任意 存在 4 3 4 1 4 5 4 3 4 3 x 4 3 4 1 1 x 使g x2 g x1 于是 而f x 在上是 4 5 4 3 2 x 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 xf x xg x xg x xg xf 4 5 4 3 减函数 所以 即f x 在上的最小值是 5 54 4 5 fxf 4 5 4 1 5 54 3 解 2 13 13 1 sin 2sin 1 sin 2sin sin 2 sin 2 1 sin 2 sin 2 1 sin cos cos sin tan tan ba 4 解 令c 则对任意的x R 都有f x f x c 2 于是取 c 则对任意的x R af x 2 1 ba bf x c 1 由此得 1 cos a cb 一般地 由题设可得 其中且 1 sin 13 xxf1 sin 13 cxcxf 2 0 3 2 tan 于是af x bf x c 1 可化为 即1 sin 13 sin 13 bacxbxa 0 1 cos sin13cos sin 13 sin 13 baxcbcxbxa 所以 0 1 cos sin13 sin cos 13 baxcbxcba 由已知条件 上式对任意x R恒成立 故必有 3 01 2 0sin 1 0cos ba cb cba 若b 0 则由 1 知a 0 显然不满足 3 式 故b 0 所以 由 2 知 sinc 0 故c 2k 或c 2k k Z 当c 2k 时 cosc 1 则 1 3 两式矛盾 故c 2k k Z cosc 1 由 1 3 知 所以 2 1 ba 1 cos a cb 5 解 因为 0 0 cos 0 22 0 2 2 所以 sin 1 cos 2sin cos2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 sin22 222 3 222 3 2 cos 2 cos 2 sin2 2 9 34 27 16 10 当且仅当 2sin2 cos2 即 tan 2arctan时 sin 1 cos 取得最大值 2 2 2 2 2 2 2 2 9 34 6 思路分析 等式左边同时出现 12tan18tan 12tan18tan 联想到公式 tantan1 tantan tan 证明 12tan312tan18tan18tan3 1 12tan18tan 12tan18tan1 1218tan 3 12tan18tan 12tan18 tan3 1 12tan18tan 12tan18tan1 1218tan 3 12tan18tan 12tan18 tan3 1 12tan18tan 12tan18tan1 1218tan 3 12tan18tan 12tan18 tan3 评述 本题方法具有一定的普遍性 仿此可证 43tan1 2tan1 1tan1 22 2 44tan1 等 7 证明 由题设知 an 0 令 an tanan an 2 0 则 an tan 2 tan sin cos1 tan 1sec tan 1tan1 1 1 1 1 1 1 1 2 n n n n n n n n a a a a a a a a 因为 an 所以 an 所以 an 2 1 n a 2 0 1 2 1 n a 2 1 0 a n 又因为 a0 tana1 1 所以 a0 所以 4 n n a 2 1 4 又因为当 0 xx 所以 2 22 tan 22 nn n a 注 换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性 另外当 x 时 有 tanx x sinx 这是个熟 2 0 知的结论 暂时不证明 学完导数后 证明是很容易的 8 分析 分析 条件涉及到角 而结论涉及到角 故可利用 或消除 条件与结论间角的差异 当然亦可从式中的 A 入手 证法 1 sin sin A sin sin A cos sin cossin sin sin cos cos sin A A cos sin tan 0 cos 0cos 1 A A A 从而 cos sin tan 0 cos 0cos 1 A A A 从而 cos sin tan 0 cos 0cos 1 A A A 从而 cos sin tan 0 cos 0cos 1 A A A 从而 证法 2 sin sin cos sin sin sin sin cos sin sin sin A tan sin cos sin sin sin sin cos sin sin tan sin cos sin sin sin sin cos sin sin tan sin cos sin sin sin sin cos sin sin 9 解 因为 sinA sinB 2sincos 2 BA 2 sin2 2 BABA 11 sinC sin 2 3 sin2 2 3 cos 2 3 sin2 3 CCC 又因为 3 sin2 4 3 cos 4 3 sin2 2 3 sin 2 sin CBACBAC BA 由 得 sinA sinB sinC sin 4sin 3 3 所以 sinA sinB sinC 3sin 当 A B C 时 sinA sinB sinC max 3 2 33 3 2 33 注 三角函数的有界性 sinx 1 cosx 1 和差化积与积化和差公式 均值不等式 柯西不等式 函数的单 调性等是解三角最值的常用手段 10 证明 2 cos 2 cos 2 1 2 sinsin sin 2sin sin sin 2 sin 2 12 cos 2 12 cos 2 1 2 sin sin 2 3 cos 2 5 cos 2 1 2 sin 2sin 2 cos 2 3 cos 2 1 2 sin sin n nn n 各项相加得 类似地 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 12 cos 2 1 nn n 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 12 cos 2 1 nn n 所以 2 sin 2 1 sin 2 sin sin sin sin nn n 评述 类似地 有 2 sin 2 cos 2 1 sin cos cos cos nn n 利用上述公式可快速证明下列各式 2 sin 2 1 cos 2 sin cos3cos2coscos nn n 2 1 9 7 cos 9 5 cos 9 3 cos 9 cos 2 1 7 5 cos 7 3 cos 9 cos 等 2 1 9 7 cos 9 5 cos 9 3 cos 9 cos 2 1 7 5 cos 7 3 cos 9 cos 等 11 证明 若 则 x 0 由 0 得 cos cos sin 所以 0 sin cos 所以 0 1 2 sin cos 12 所以 2 sin cos sin cos sin cos sin cos 0 0 x x 若 则 x 0 由 0 cos sin 0 所以 1 2 2 2 2 sin cos 又 0 sin 1 2 sin cos 所以 得证 2 sin cos sin cos sin cos sin cos 0 0 x x 注 以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式 值得注意的是角的讨论 12 证明 cos6 cos42 cos66 cos78 cos6 cos54 cos66 54cos 78cos42cos 16 1 54cos4 183cos 4 1 54cos4 78cos42cos18cos 16 1 54cos4 183cos 4 1 54cos4 78cos42cos18cos 16 1 54cos4 183cos 4 1 54cos4 78cos42cos18cos sin1 sin2 sin3 sin89 sin1 sin59 sin61 sin2 sin58 sin62 sin29 sin31 sin89 sin30 sin60 4 3 87sin6sin3sin 4 1 29 60sin30sin 87sin33sin27 sin 66sin54sin6 sin63sin57sin3 sin3 4 1 30 45sin 54sin36 sin63sin27 sin72sin18 sin18sin9 sin3 4 1 81sin18sin9sin3 4 1 40 40 45sin 54sin36 sin63sin27 sin72sin18 sin18sin9 sin3 4 1 81sin18sin9sin3 4 1 40 40 又 72cos1 36cos1 4 1 36