用射影面积法求二面角在高考中妙用

1 用射影面积法求二面角在高考中的妙用用射影面积法求二面角在高考中的妙用 广西南宁外国语学校 隆光诚 邮政编码 530007 立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念 求二面角的大小更是历年高考的热点问题 在每 年全国各省市的高考试题的大题中几乎都出现 求二面角的方法很多 但是 对无棱二面角 或者不容易 作出二面角的平面角时 如何求这个二面角的大小呢 用射影面积法是解决这类问题的捷径 本文以近 年高考题为例说明这个方法在解题中的妙用 以飨读者 定理定理 已知平面已知平面内一个多边形的面积为内一个多边形的面积为 S 它在平面 它在平面内的射影图形的面积为内的射影图形的面积为 平面 平面与平面与平面 S 所成的二面角的大小为所成的二面角的大小为 则 则 S S cos 本文仅对多边形为三角形为例证明 其它情形请读者自证 证明 如图 平面内的 ABC 在平面的射影为 作于 D 连结 AD BCA BCAD 于 AA A D 在内的射影为 AD DA 又 BCBCAD 三垂线定理的逆定理 BCDA 为二面角 BC 的平面角 ADA 设 ABC 与 的面积分别为 S 与 则 BCA S ADADABCSADBCS 2 1 2 1 S S ADBC DABC AD DA 2 1 2 1 cos 典题妙解典题妙解 下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的妙用 例例 1 如图如图 已知正方体已知正方体 ABCD A1B1C1D1中 中 E 是是 A A1棱的中点 则棱的中点 则 面面 BE C1与面与面 AC 所成的二面角的大小为所成的二面角的大小为 A B C D 45 2 1 arctan 4 2 arctan 3 2 arccos 解 连结解 连结 AC 则 则 在面在面 AC 内的射影是内的射影是 ABC 设它们的 设它们的 1 EBC 面积分别为面积分别为 S 与与 所成的二面角为 所成的二面角为 S 设正方体的棱长为设正方体的棱长为 2 则 则 AB BC 2 3 1 22 22 5 22 11 ECBCBE 10 3 cos1sin 10 1 2 cos 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 EBCEBC BCBE ECBCBE EBC 3 2 cos 2 2 1 3sin 2 1 11 S S BCABSEBCBCBES 3 2 arccos 故答案选故答案选 D 例例 2 04 北京 如图北京 如图 已知四棱锥已知四棱锥 S ABCD 的底面是边长为的底面是边长为 1 的正方形的正方形 SD 面面 AC SB 3 1 求证求证 BC SC 2 求面求面 ASD 与面与面 BSC 所成的二面角的大小所成的二面角的大小 3 设棱设棱 SA 的中点为的中点为 M 求异面直线求异面直线 DM 与与 SB 所成的角的大小所成的角的大小 1 证明 SD 面 AC SC 在面 AC 内的射影是 SD 又四边形 ABCD 是正方形 面 AC BC BC SC 三垂线定理 A A B D C A B D1 C1 D C A1 B1 E A B D1 C1 D C A1 B1 E A B D C S B M B D 2 2 解 SD 面 AC 面 AC CDCDSD 又四边形 ABCD 是正方形 CDAD 而 CD 面 ASD DSDAD 又 AB CD BA 面 ASD SBC 在面 SAD 的射影是 SAD 设它们的面积分别为 S 与 所成的二面角为 S 1 2 3 1 90 2222 CDSCSDBCSBSCSBBCSCB 故 2 2 cos 2 1 2 1 2 2 2 1 S S SDADSSCBCS 4 所以面 ASD 与面 BSC 所成的二面角的大小为 4 3 解 取 AB 的中点 E 连结 DE ME ME SB EBAEMSAM 异面直线 DM 与 SB 所成的角就是 设 DME DME 2 5 2 3 2 1 22 AEADDESBME 2 2 2 1 2 22 SAMDSDADSA 故 0 2 cos 222 MEMD DEMEMD 2 所以异面直线 DM 与 SB 所成的角的大小为 2 解法二 解法二 面 SAD BA SB 在面 SAD 内的射影是 SA 又 SADMMSAMSDAD 1 而面 SAD 三垂线定理 DMSBDM 所以异面直线 DM 与 SB 所成的角的大小为 2 例例 3 04 浙江 如图 已知正方形浙江 如图 已知正方形 ABCD 与矩形与矩形 ACEF 所在的平面所在的平面 互相垂直 互相垂直 AB AF 1 M 是线段是线段 EF 的中点的中点 2 1 求证 求证 AM 平面平面 BDE 2 求证 面求证 面 AE 平面平面 BDF 3 求二面角求二面角 A DF B 的大小的大小 证明 1 设 则 连结 OE OBDAC ACAO 2 1 四边形 ACEF 是矩形 EFEM 2 1 EM AO AOEM 四边形 AOEM 是平行四边形 从而 AM EO 又平面 BDE EO AM 平面 BDE 2 四边形 ABCD 是正方形 ACBD 又正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在的平面互相垂直 面 BD面 AE AC ACEC 从而 BDEC面 BDEC 而 CECAC AEBD面 平面 BDF BD 面 AE 平面 BDF D A M C B E F D A M C B E F O A B D C S B M B D E A B D C S B M B D 3 3 解 解 AAFADAFBAADBA ADFBA面 BDF 在面在面 ADF 上的射影是上的射影是 ADF 设它们的面积分别为 设它们的面积分别为 S 与与 所成的二面角为 所成的二面角为 S AB AF 1 23 2 2 FDFBBDAD 连结连结 FO 则 则 2 22 BOFBFOBDFO 2 1 cos 2 2 2 1 2 2 1 S S AFADSFOBDS 故故 3 所以二面角所以二面角 A DF B 的大小为的大小为 3 例例 4 08 天津 如图 在四棱锥天津 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面中 底面 ABCD 是矩是矩 形 已知形 已知 AB 3 AD 2 PA 2 60 22PABPD 1 证明 证明 AD 平面平面 PAB 2 求异面直线 求异面直线 PC 与与 AD 所成的角的大小 所成的角的大小 3 求二面角 求二面角 P BD A 的大小的大小 1 证明 22 2 PDPAAD 222 PDPAAD 即 90PADPADA 又四边形 ABCD 是正方形 ABDA 而 AB PA面 PAB APAAB AD 平面 PAB 2 AD BC 异面直线 PC 与 AD 所成的角就是 PC 与 BC 所成的角 即 PCB 在 PAB 中 AB 3 PA 2 60 22PABPD 7 72 222 PBABPAABPAPB 由 1 得 AD 平面 PAB 即 PBCB 90CBP 又BC AD 2 2 7 tan BC PB PCB 2 7 arctan PCB 所以异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小为 2 7 arctan 3 作 作于于 E 连结 连结 DE ABPE 由 由 1 知 知 而 而 PEAD AADAB 面面 ABCD PE PBD 在面在面 ABCD 内的射影是内的射影是 EBD 设 设 它们的面积分别为它们的面积分别为 S 与与 所成的二面角为 所成的二面角为 S 2 160cos 13 22 AEABBEPAAEADABBD 142 55 cos1sin 142 1 2 cos 2 222 BPDBPD PDPB BDPDPB BPD 2 2 1 2 55 sin 2 1 ADBESBPDPDPBS 55 4 cos S S 55 4 arccos D A M C B E F O P A D B C E P A D B C 4 所以二面角所以二面角 P BD A 的大小为的大小为 55 4 arccos 点评 例点评 例 1 与例与例 2 中的二面角就是无棱二面角 例中的二面角就是无棱二面角 例 3 与例与例 4 中的二面角虽然是有棱二面角 但是不中的二面角虽然是有棱二面角 但是不 容易作出二面角的平面角 用定义法解决这两类问题就显得非常繁杂 并且不知如何下手 而另辟溪径 容易作出二面角的平面角 用定义法解决这两类问题就显得非常繁杂 并且不知如何下手 而另辟溪径 用射影面积法则是化繁为简 曲径通幽 用射影面积法则是化繁为简 曲径通幽 金指点睛金指点睛 1 05 全国全国 如图 在四棱锥 如图 在四棱锥 V ABCD 中 底面中 底面 ABCD 是正方形 侧面是正方形 侧面 VAD 是正三角形 平面是正三角形 平面 VAD 底面底面 ABCD 1 证明 证明 AB 平面平面 VAD 2 求面 求面 VAD 与面与面 VDB 所成二面角的大小所成二面角的大小 2 06 全国全国 如图 在直三棱柱 如图 在直三棱柱 ABC 中 中 AB BC D E 分别为分别为 的中点的中点 111 CBA 1 BB 1 AC 1 证明 证明 ED 为异面直线为异面直线与与的公垂线 的公垂线 1 BB 1 AC 2 设 设 求二面角 求二面角的大小的大小 ABACAA2 1 11 CADA 3 07 陕西 如图 在底面为直角梯形的四棱锥陕西 如图 在底面为直角梯形的四棱锥 P ABCD 中 中 AD BC PA 平面平面 90ABC ABCD PA 4 AD 2 BC 6 32 AB 1 求证 求证 BD 平面平面 PAC 2 求二面角 求二面角 A PC D 的大小的大小 4 09 湖北 如图 四棱柱湖北 如图 四棱柱 S ABCD 的底面是正方形 的底面是正方形 SD 平面平面 ABCD SD AD a 点 点 E 是是 SD 上的点 且上的点 且 0 aDE 1 1 求证 对任意 求证 对任意 都有 都有 AC BE 1 0 2 若二面角 若二面角 C AE D 的大小为的大小为 求 求的值的值 60 金指点睛的参考答案金指点睛的参考答案 1 05 全国全国 如图 在四棱锥 如图 在四棱锥 V ABCD 中 底面中 底面 ABCD 是正方形 侧面是正方形 侧面 VAD 是正三角形 平面是正三角形 平面 VAD 底面底面 ABCD 1 证明 证明 AB 平面平面 VAD 2 求面 求面 VAD 与面与面 VDB 所成二面角的大小所成二面角的大小 1 证明 取 AD 的中点 E 连结 VE ADVEEDAEVDVA 又平面 VAD 底面 ABCD VE平面 VAD S A B D C E V D C A B 1 C C B A D E 1 A 1 B E B C A D P V D C A B 5 VE 底面 ABCD VA 在底面 ABCD 的射影是 AD AB AD AB底面 ABCD AB VA 三垂线定理 而VA AD平面 VAD AADVA 故 AB 平面 VAD 2 由 由 1 可知 可知 AB 平面平面 VAD VBD 在平面在平面 VAD 的射影是的射影是 VAD 设它们的面积分别为 设它们的面积分别为 S 与与 所成的二面角为 所成的二面角为 S 设正方形的边长为设正方形的边长为 1 则 则 2 2 22 VAABVBBD 4 7 cos1sin 4 3 2 cos 2 222 VBDVBD BVBD VDBVBD VBD 4 3 60sin 2 1 4 7 sin 2 1 VDVASVBDBVBDS 7 21 cos S S 7 21 arccos 所以面所以面 VAD 与面与面 VDB 所成二面角的大小为所成二面角的大小为 7 21 arccos 2 06 全国全国 如图 在直三棱柱 如图 在直三棱柱 ABC 中 中 AB BC D E 分别为分别为 的中点的中点 111 CBA 1 BB 1 AC 1 证明 证明 ED 为异面直线为异面直线与与的公垂线 的公垂线 1 BB 1 AC 2 设 设 求二面角 求二面角的大小的大小 ABACAA2 1 11 CADA 1 证明 取 AC 的中点 F 连结 EF BF EFECAEFCAF 1 11 2 1 CCEFCC 在直三棱柱 ABC 中 面 ABC 111 CBA 1 CC 11 BBCC 1 CC 1 BB 1 2 1 BBDB DB EF DB 面 ABC EF EF 四边形 BDEF 是矩形 从而 1 BBED 在 Rt ABD 与 Rt 中 DBC 11 DBBDDBCABDBCAB 11111 90 Rt ABD Rt DBC 11 而 DCAD 1 1 ECAE 1 ACED 所以 ED 为异面直线与的公垂线 1 BB 1 AC 2 解 连结 解 连结 1 AB 222 1 2BCABACBCABABACAA 即 即面面 90 111 CBAABC 11B C 11A ABB 在面在面内的射影是内的射影是 1 AC 11A ABB 1 AB 在面在面内的射影是内的射影是 设它们的面积分别为设它们的面积分别为 S 与与 所成的二面角为 所成的二面角为 DAC1 11A ABBDAB1 S 设设 AB BC 1 则则 2 2 2 6 2 2 2 2 2222 111 AEADDEBDABADDBACCCAC 4 2 2 1 2 2 2 1 1 1 ABDBSDEACS 3 2 1 cos S S 所以二面角所以二面角的大小为的大小为 11 CADA 3 3 07 陕西 如图 在底面为直角梯形的四棱锥陕西 如图 在底面为直角梯形的四棱锥 P ABCD 中 中 AD BC PA 平面平面 90ABC ABCD PA 4 AD 2 BC 6 32 AB 1 求证 求证 BD 平面平面 PAC 1 C C B A D E 1 A 1 B 1 C C B A D E 1 A 1 B F 1 C C B A D E 1 A 1 B 6 2 求二面角 求二面角 A PC D 的大小的大小 1 证明 在 Rt ABD 与 Rt ABC 中 90BADABC AD 2 BC 6 32 AB 3 3 tan 3 3 tan BC AB ACB AB AD ABD 而 30ACBABD 90DBCABD 即 90DBCACBACBD 又 PA 平面 ABCD 平面 ABCD BDBDPA PA AC平面 PAC AACPA 故 BD 平面 PAC 2 解 连结 解 连结 PE 由 由 1 知 知 BD 平面平面 PAC PDC 在平面在平面 PAC 内的射影是内的射影是 PEC 设它们的面积分别为 设它们的面积分别为 S 与与 所成的二面角为 所成的二面角为 S PA 平面平面 ABCD 三垂线定理 三垂线定理 ABBC PBBC 从而 72 22 ABPAPB8 22 BCPBPC 72 52 2222 ADBCABDCADPAPD 3330cos 30 90 BCECACBBEC 54 31 cos1sin 54 7 2 cos 2 222 CPDCPD PDPC CDPDPC CPD 36 2 1 312sin 2 1 PAECSCPDPDPCS 所以二面角所以二面角 A PC D 的大小的大小 31 933 arccos 31 933 cos S S 31