拉格朗日方程-刚体动力学-振动 习题课PPT课件.ppt

拉格朗日方程刚体动力学振动 习题课 1 2 第二类拉格朗日方程的总结 对于具有完整理想约束的质点系 若系统的自由度为k 则系统的动力学方程为 为对应于广义坐标的非有势力的广义力 当系统为保守系统时 有 1 若系统存在循环坐标 则 2 若系统的拉格朗日函数不显含时间t 则 3 习题课 5 29 半径为r 质量为m的圆柱 沿半径为R 质量为m0的空心圆柱内表面滚动而不滑动 如图所示 空心圆柱可绕自身的水平轴O转动 圆柱对各自轴线的转动惯量为mr2 2和m0R2 试求系统的首次积分 问题 系统有几个自由度 如何选取广义坐标 系统的Lagrange函数 系统有二个自由度 取为广义坐标 4 习题课 不显含广义坐标 和时间t 存在循环积分和广义能量积分 5 习题课 例 图示机构在铅垂面内运动 滑块质量m1 均质杆质量m2 地面光滑 杆AB用光滑铰链与滑块连接 求系统的首次积分 AB L 解 系统的主动力均为有势力分析系统的动能和势能 拉格朗日函数中不显含广义坐标x和时间t 6 习题课 系统的什么广义动量守恒 研究整体 广义能量积分 保守系统 定常约束 7 习题课 例 机构在铅垂面内运动 均质圆盘质量m1在地面上纯滚动 均质杆AB质量m2用光滑铰链与圆盘连接 求系统首次积分 AB L 解 系统的主动力均为有势力分析系统的动能和势能 拉格朗日函数中不显含广义坐标x和时间t 8 习题课 系统的什么广义动量守恒 研究整体 研究圆盘 9 习题课 1 2 1 2 10 习题课 刚体定点运动的角速度和角加速度 角速度 瞬时转动轴 11 习题课 角加速度 用欧拉角表示的角速度 12 习题课 定点运动刚体上点的速度和加速度 1 速度 瞬时转动轴 instantaxisofrotation 在某瞬时 刚体上存在一根通过定点O的轴 在该轴上各点的速度均为零 该轴称为瞬时转轴 问题 在某瞬时刚体上哪些点的速度为零 问题 如何确定定点运动刚体的瞬时转动轴 13 习题课 向轴加速度 转动加速度 角速度 2 加速度 角加速度 速度 求定点运动刚体上某一点的加速度的基本步骤 14 习题课 定点运动刚体的欧拉动力学方程 其中 Ox Oy Oz 为刚体对O点的惯量主轴 随体坐标轴 15 习题课 利用陀螺的运动特性和机构特性 16 习题课 陀螺近似理论公式 其中 MO是作用于陀螺转子上的所有外力对O点之矩的矢量和 O点既可以是惯性参考系中的固定点 也可以是刚体的质心 陀螺力矩 17 习题课 6 4 具有固定顶点O的圆锥在水平面上作纯滚动 如图所示 圆锥高CO 18cm 顶角 AOB 90o 圆锥面中心C作匀速圆周运动 每秒绕行一周 试求圆锥的角速度和角加速度 并求圆锥底面直径AB两端点A和B的速度和加速度 圆锥绕O点作定点运动 绕铅垂轴的进动角速度 1 绕OC轴的自转角速度 2 圆锥的绝对角速度 18 习题课 求绕OC轴的自转角速度 2 OA为瞬轴 角速度为绝对角速度 19 习题课 6 10 正方形框架每分钟绕固定轴AB转2周 圆盘又相对于框架每分钟绕对角线上的轴BC转2周 如图所示 试求圆盘的绝对角速度和角加速度 圆盘绕定点B作定点运动 绕AB轴的进动角速度 1 绕BC轴的自转角速度 2 圆盘的绝对角速度 20 习题课 角速度 1是常量 角速度矢量 2以角速度 1绕AB轴旋转 方向垂直于纸面向里 21 习题课 6 11 图示锥齿轮的轴通过平面支座齿轮的中心 锥齿轮每分钟在支座齿轮上滚动5次 如果支座齿轮的半径是锥齿轮半径的2倍 即R 2r 试求锥齿轮绕其自身轴转动的角速度 1和绕瞬轴的角速度 2 圆锥绕O点作定点运动 绕铅垂轴的进动角速度 绕对称轴的自转角速度 圆锥的绝对角速度 22 习题课 6 12 图示陀螺以匀角速度 1绕OB轴转动 而轴OB又匀速地画出一圆锥 如果陀螺中心轴OB的转速为n BOS const 试求陀螺的角速度和角加速度 圆锥绕O点作定点运动 绕铅垂轴OS的进动角速度 绕OB轴的自转角速度 陀螺的绝对角速度 23 习题课 6 14 如图所示 汽轮机的转子可看成是均质圆盘 质量m 22 7kg 半径r 0 305m 绕自转轴的转速n 10000r min 两轴承A和B间的距离l 0 61m 汽轮机绕轴x的角速度 2rad s 试求转子的陀螺力矩以及它在轴承A和B上引起的动压力 汽轮机转子自转角速度 1 进动角速度 方向沿y轴负向 动压力 24 习题课 6 15 图示玩具陀螺对自转轴z的回转半径 0 02m 重心C到支点O的距离l 0 09m 假设陀螺在自转速n 1500r min的条件下绕铅直轴O 作规则进动 且角度 20o 试求进动角速度 玩具陀螺绕O点作定点运动 绕铅垂轴O 的进动角速度 绕OC轴的自转角速度 玩具陀螺的绝对角速度 陀螺力矩 25 习题课 6 17 图示长方形框架重180N 绕水平轴AB以角速度 2 rad s转动 在框架轴承C和D上安装重120N的飞轮M的转轴 飞轮的转速n 1800r min 当框架在铅垂平面内时 试求轴承C和D上的陀螺力 以及轴承A和B上的全压力 飞轮对自转轴CD的回转半径为10cm CD 30cm l 30cm 飞轮绕质点作定点运动 绕AB的进动角速度 绕CD轴的自转角速度 飞轮的绝对角速度 26 习题课 以框架和飞轮为研究对象求陀螺力FC FD 质心运动定理 动静法 以整体为研究对象求A B处全反力 G1为飞轮重力 G2为框架重力 质心运动定理 动静法 27 6 2欧拉动力学方程 问题 作定轴转动刚体的动量守恒 动能守恒 则对质心的动量矩 A 一定守恒 B 一定不守恒 C 不一定守恒 28 习题课 例 求下列单自由度系统振动的固有频率 光滑 29 习题课 7 25 图示半径为r的半圆柱体 在水平面上只滚动不滑动 已知该圆柱体对通过质心C且平行于半圆柱体母线的轴的回转半径为 又OC a 试求半圆柱体作微小摆动的频率 应用拉格朗日方程建立运动微分方程 30 习题课 微振动 固有频率 频率 31 习题课 例 已知 机座与定子的质量为 转子的质量为 偏心为e 每个弹簧的刚度系数为k 阻尼器的阻尼系数为c 试建