数学人教版九年级上册配方法解方程（两课时）.docx

21.2.1配方法教学目标：知识与技能：1.会用直接开平方法解一元二次方程.2.理解并掌握用配方法解简单的一元二次方程.过程与方法：1.体会转化、降次等数学思想在数学中的应用,培养学生基本的运算技巧和能力.2.培养学生的观察、比较、分析、综合等能力,会应用学过的知识去解决新的问题.情感态度与价值观1.鼓励学生积极主动地参与知识的形成过程,激发求知的欲望,体验成功的快乐,增强学习的兴趣和自信心.2.通过用配方法将一元二次方程变形的过程,让学生进一步体会转化的思想方法,并增强他们的数学应用意识和能力,激发学生的学习兴趣.教学重难点：【重点】运用直接开平方法解形如(x+m)2=n(n0)的方程.【难点】1.一元二次方程根的确定.2.判断一个方程是否适合用直接开平方的方法求解.第1课时整体设计教学目标：知识与技能：1.使学生理解直接开平方法的定义和基本思想.2.会用直接开平方法解一元二次方程.3.知道形如(x+n)2=p(p0)的方程可以用直接开平方法求解.过程与方法：1.体会转化、降次等数学思想在数学中的应用,培养学生基本的运算技巧和能力.2.培养学生的观察、比较、分析、综合等能力,会应用学过的知识去解决新的问题.情感态度与价值观：1.培养学生积极参与、主动探索的精神,发展学生合作意识.2.鼓励学生积极主动地参与知识的形成过程,激发求知的欲望,体验成功的快乐,增强学习的兴趣和自信心.教学重难点：【重点】运用直接开平方法解形如(x+n)2=p(p0)的方程.【难点】如何识别一个一元二次方程可以用直接开平方法求解.教学准备：【教师准备】预想学生在解方程过程中容易出现的问题. 【学生准备】复习一元二次方程根的定义.教学过程1.新课导入导入一:有这样一首诗:一群猴子分两队,高高兴兴在游戏.八分之一再平方,蹦蹦跳跳树林里;其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮.告我总数共多少,两队猴子在一起?学生列出方程,并思考怎样解这个一元二次方程,教师引出课题.导入二:(1)什么是一个数的平方根?平方根有哪些性质?(2)计算: 9的平方根是,425的平方根是.(3)如果x2=36,那么x的值是.【师生活动】共同复习平方根的概念和性质.设计意图由实际问题导入新课,让学生体会数学在实际问题中的应用,培养学生学习数学的兴趣,同时教师引导学生分析解决问题,为以后学习一元二次方程的应用打下基础.通过复习平方根的概念和性质,让学生很自然地应用旧知识解决新问题.2.新知构建过渡语我们复习了平方根的定义,根据平方根的定义可以解某些特殊的一元二次方程,让我们尝试解这些方程吧!一、例题讲解(教材问题1)一桶油漆可刷的面积为1500 dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?【师生活动】学生思考,教师引导回答下列问题.(1)设其中一个盒子的棱长为x dm,则这个盒子的表面积为dm2;(2)据题意可得等量关系为;(3)根据等量关系可列方程;(4)化简可得.【学生活动】小组交流讨论如何解这个方程,学生回答问题后,教师及时补充.解:设其中一个盒子的棱长为x dm,则这个盒子的表面积为6x2 dm2.根据题意,得106x2=1500,整理,得x2=25.根据平方根的意义,得x=5.即x1=5,x2=-5(不合题意,舍去).答:其中一个盒子的棱长为5 dm.问题思考:x=5都是方程x2=25的根,在这里为什么舍去一个根?(棱长不能为负数,所以正方体盒子的棱长为5 dm.)二、共同探究1直接开平方法1.例解方程解下列方程.(1)x2=4;(2)x2-2=0.【师生活动】学生思考回答,教师规范书写.解:(1)根据平方根的意义得x=2,x1=2,x2=-2.(2)移项得x2=2,x=2, x1=2,x2 =-2.设计意图通过简单例题,探究利用平方根的意义解一元二次方程的方法,学生做好新旧知识衔接的同时,易于理解和掌握本节课的学习重点,教师板书解答过程,达到规范学生做题习惯的目的.2.归纳概念通过直接将某一个数开平方解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.过渡语我们知道了直接开平方法解一元二次方程方程的定义,让我们比一比看谁算得快吧!3.即时巩固解下列方程.(抢答)(1)x2=9;(2)9x2-144=0.【师生活动】学生独立思考计算后,进行抢答,教师对学生的成果点评.解:(1)根据平方根的意义,得x=3,x1=3,x2=-3.(2)移项,得9x2=144,系数化为1,得x2=16,根据平方根的意义,得x=4,x1=4,x2=-4.设计意图设计比较简单的练习,巩固直接开平方法的应用,以抢答形式回答,激发学生的学习兴趣和竞争意识.4.总结归纳一般地,对于方程x2=p:(1)当p0时,方程有两个不相等的实数根x1=p,x2=-p;(2)当p=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=0;(3)当p0时,方程没有实数根.设计意图师生共同探究,得出一般结论,达到真正理解和掌握直接开平方法解方程的目的,同时培养学生归纳总结能力.三、共同探究2解形如(x+n)2=p(p0)的方程过渡语通过上边的学习,我们已经会解形如x2=p的方程,如果我们给这样的方程进行变化,同学们又该如何求出方程的解呢?解下列方程.(1)(x+3)2=5;(2)4(x+3)2=5.思路一教师引导分析方程特点,方程(1)中,把x+3看作整体,用直接开平方法,将方程化为x+3=5,即x+3=5或x+3=-5,达到降次的目的,转化为两个一元一次方程求解.方程(2)中,也把x+3看作整体,两边同时除以4,方程化为(x+3)2=54,仿照方程(1)的解法可直接开平方求解.思路二思考:方程有什么特点?是不是形如x2=p的方程?如果不是,能不能化成这种形式?教师提出问题,学生针对问题进行小组讨论交流,共同探究,教师在巡视过程中针对学生遇到的困难给予提示,即整体思想在数学中的应用.解:(1)直接开平方,得x+3=5,即x+3=5或x+3=-5,方程的根为x1=-3+5,x2=-3-5.(2)两边同时除以4,得(x+3)2=54,即x+3=52或x+3=-52,方程的根为x1=-3+52,x2=-3-52.设计意图通过给学过的方程“穿衣服”,激发学生探究数学新知识的乐趣,方程层层递进的变化,让学生在熟悉的知识中易于理解和掌握新知识,同时培养学生用整体思想思考问题的意识.归纳总结:(1)通过上面的探究,解一元二次方程的基本策略是什么?【师生活动】学生思考,教师提示:由方程(x+3)2=5,到方程x+3=5或x+3=-5,方程的次数有什么变化?将新知识化成原来学过的知识,是数学中常用的转化思想.“降次”是解一元二次方程的基本策略,直接开平方法是根据平方根的意义,把一个一元二次方程“降次”,达到转化为两个一元一次方程的目的.(2)能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点?方程的解是什么?【师生活动】学生思考,小组讨论,归纳总结.如果一个一元二次方程具有(x+n)2=p(p0)的形式,那么就可以用直接开平方法求解,方程的解为x1=-n-p,x2=-n+p.(3)用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么? 【师生活动】学生思考回答,老师指导.首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式,右边是非负数的形式,然后用平方根的概念求解.设计意图以问题的形式归纳本节课的重难点及易错点,在教师的引导下,学生独立思考或小组交流,将知识进行归纳,体会转化思想在数学中的重要应用,培养学生分析问题、解决问题的能力.知识拓展1.直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法,主要解形如(x+n)2=p(p0)的一元二次方程,解方程的理论依据是平方根的定义.2.利用直接开平方法解一元二次方程时,要注意开方的结果.3.方程(x+n)2=p中,当p0时,方程没有实数根.3.课堂小结直接开平方法解一元二次方程的基本策略是降次,依据是平方根的概念.直接开平方法适合解形如(x+n)2=p(p0)的一元二次方程.一元二次方程(x+n)2=p根的情况:当p0时,方程有实数根,当p0时,方程没有实数根.4.检测反馈1.方程3x2+27=0的解是()A.x=3B.x=-3C.无实数根D.以上都不对解析:移项,得3x2=-27,系数化为1,得x2=-9,因为-90D.k0时,(2)当p=0时,(3)当p0时,三、共同探究2解形如(x+n)2=p(p0)的方程6.布置作业一、教材作业【必做题】教材第6页练习的(1)(2)(3)题.【选做题】教材第6页练习的(5)题.二、课后作业【基础巩固】1.方程x2-3=0的根是()A.x=3B.x1=3,x2=-3C.x=3D.x1=3,x2=-32.方程(x+1)2=9的解是()A.2B.-4C.2或-4D.33.方程3x2+9=0的根为()A.3B.-3C.3D.无实数根4.已知关于x的一元二次方程mx2+n=0(m0),若方程可以用直接开平方法求解,且有两个不相等的实数根,则m,n必须满足的条件是()A.n=0B.m,n异号C.n是m的整数倍D.m,n同号5.下列解方程的过程中,正确的是()A.x2=-2,解方程得x=2B.4(x-1)2=9,直接开平方得4(x-1)=3,所以x1=74,x2=14C.(x-2)2=4,直接开平方得x-2=2,所以x=4D.(2x+3)2=25,直接开平方得2x+3=5,所以x1= 1,x2=-46.方程x2+1=2的解是.7.如果方程2(x-3)2=72,那么这个一元二次方程的两根是.8.用直接开平方法解下列方程.(1)3x2-13=0;(2)(x+5)2=25;(3)x2+2x+1=4;(4)(3x+1)2=7;(5)12(3-2x)2-3 = 0.【能力提升】 9.已知(x2+y2-1)2=4,则x2+y2的值为.10.若分式x2-4x-2的值为0,则x的值为.11.一个球的表面积是100 cm2,求这个球的半径.(球的表面积S=4R2,其中R是球的半径)【拓展探究】12.解方程(2x-1)2=(x-2)2.【答案与解析】1.D(解析:移项得x2=3,直接开平方得x=3.故选D.)2.C(解析:直接开平方得x+1=3,即x+1=3或x+1=-3,x=2或x=-4.)3.D(解析:移项,得3x2=-9,-90,nm0,m,n异号.故选B.)5.D(解析:-20,R=5.这个球的半径是5 cm.12.解析:如果把2x-1看成是(x-2)2的平方根,同样可以用直接开平方法求解.解:2x-1=(x-2)2,即2x-1=(x-2),2x-1=x-2或2x-1=-x+2,x1=-1,x2=1.教学反思成功之处本节课采用创设生活实际问题情境导入新课,综合运用探究式、启发式、活动式等方法进行教学,遵循因材施教、循序渐进原则,以问题形式呈现,学生通过思考、交流、探究、展示、归纳等活动学习新知识,发展学生分析问题、解决问题的能力,在课堂上通过展示自我,体验成功的快乐.教学中,使学生参与到整个学习过程中,激发学生的学习兴趣,提高课堂效率.初三学生已经有了一定的计算能力,所以简单问题设计成口答形式,节约时间,提高优秀生能力.不足之处本节课内容较为简单,学生易于掌握,所以设计了太多的问题引导学生思考、交流,归纳,有些烦琐的感觉,可以大胆放手,学生自学后小组内交流讨论,最后归纳总结,教师可以用质疑的形式检验各小组的交流结果,学生在课堂上才能成为真正的主人,这节课还是教师说得太多,限制了学生的发散思维.再教设计本节课重点和难点都是“探究”,在教学活动中,教师尊重并相信学生的思维能力、集体智慧,把探究的主动权交给学生,教师注重培养学生发现问题、提出问题与动手解决问题的能力.教学过程中注重采用启发式教学,让学生通过分组讨论解决问题的思路,强化本节的重点,在教学中多设计层层递进的问题,学生依据问题进行思考、探究,能够节约时间,有针对性地突破难点.第2课时整体设计教学目标知识与技能：1.理解并掌握用配方法解简单的一元二次方程.2.能利用配方法解决实际问题,增强学生的数学应用意识和能力.过程与方法：1.通过对比、转化,总结得出配方法的解题步骤,提高学生的推理能力.2.通过对一元二次方程二次项系数是否为1的分类处理,锻炼学生的抽象概括能力.3.经历探索用配方法解一元二次方程的过程,感悟转化思想在解一元二次方程中的运用.情感态度与价值：1.通过师生的共同活动,培养学生积极参与、主动探索、敢于发表见解的精神.2.通过配方法的探究活动,培养学生勇于探索的良好学习习惯,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.3.通过用配方法将一元二次方程变形的过程,让学生进一步体会转化的思想方法,并增强他们的数学应用意识和能力,激发学生的学习兴趣.教学重难点：【重点】利用配方法解简单的一元二次方程.【难点】通过配方把一元二次方程转化为(x+n)2=p(p0)的形式.教学准备：【教师准备】多媒体课件14. 【学生准备】总结解一元二次方程的基本思路降次.教学过程：1.新课导入：导入一:小明用一段长为20米的竹篱笆围成一个矩形,怎样设计才可以使得该矩形的面积为9平方米?思考:根据题意,矩形的周长是米,设矩形的长为x米,则矩形的宽为米,题目中的等量关系为,故可列出方程为.【师生活动】教师引导,学生思考回答.设该矩形的长为x米,依题意得x(10-x)=9,即x2-10x+9=0.过渡语我们发现所列的一元二次方程无法用直开平方法解,如何解这个方程,就是我们这节课要探究的问题.导入二:用直接开平方法解下列方程.(1)2x2-8=0;(2)3(x-1)2=12.【师生活动】师生共同复习直接开平方法解一元二次方程的步骤.学生独立完成练习,教师做点评.设计意图从实际问题出发,让学生感受到“生活中处处有数学”,同时为后边学习一元二次方程的应用打下基础.直接开平方法是配方法的基础,通过对旧知识的复习,做好新旧知识的衔接,为配方法的学习打下基础.2.新知构建一、共同探究1【课件1】根据完全平方公式填空.(1)x2+8x+=(x+)2(2)x2-x+=(x-)2(3)x2+mx+=()2完成填空并思考:当二次项系数为1,且二次三项式可配成完全平方式时常数项和一次项系数之间有什么关系?【师生活动】学生独立思考后,小组讨论交流,共同完成,教师及时点评.教师强调:当一次项系数为负数或分数时,要注意运算的准确性.归纳总结:当二次项系数为1且二次三项式可配成完全平方式时,常数项是一次项系数一半的平方.过渡语我们学习了二次项系数为1时的二次三项式配方,请你给同桌出两道将二次三项式配方的题目,并检验我们探究的结论是否正确.【师生活动】学生出题、独立完成同桌的题目,共同交流答案并检验结论的正确性,教师对有困难的学生单独指导.设计意图通过复习利用完全平方知识填空,学生归纳、猜想、验证二次项系数为1时,配方时常数项与一次项系数之间的关系,为后面的学习打下基础,同时培养学生归纳、猜想能力.二、共同探究2【课件2】你会解这样的方程吗?(1)x2+6x+9=0;(2)x2+6x+4=0.【师生活动】学生独立完成方程(1)的求解.教师点评:方程左边配成完全平方形式,用直接开平方法求解.共同探究方程(2)的解法:思路一教师引导分析、思考下列问题并回答.1.方程(2)与方程(1)的区别是什么?方程(1)左边可以化简成完全平方式,方程(2)左边不是完全平方式.2.把常数项移项,如何把方程(2)的左边化成与方程(1)的左边相同?移项,得x2+6x=-4,根据等式的性质,方程两边同时加9可以把方程(2)的左边化成与方程(1)的左边相同.3.试着解方程(2).解:移项,得x2+6x=-4,方程两边同时加9,得 x2+6x+9=-4+9,配方,得(x+3)2=5,x+3=5,x+3=5或x+3=-5,x1=-3+5,x2=-3-5.思路二通过学生合作交流,完成方程(1)的求解.探究中思考:我们学会了用直接开平方法解一元二次方程,方程(2)能不能化成直接开平方的方程的形式,然后降次求解?【师生活动】给学生充足的时间,进行小组合作交流,教师引导分析两个方程之间的区别和联系,对有困难的学生加以引导.解:移项,得x2+6x=-4,方程两边同时加9,得 x2+6x+9=-4+9,配方,得(x+3)2=5,x+3=5,x+3=5或x+3=-5,x1=-3+5,x2=-3-5.设计意图引导学生通过对比两个方程,发现它们之间的联系,从而找到解决问题的突破口,依据完全平方公式进行配方,体会从特殊到一般、从具体到抽象的思维过程.通过寻找解一元二次方程的新的解法(配方法),培养学生勇于探索的精神.思考问题:你能归纳出配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤吗?【师生活动】小组合作交流,共同探究,教师对学生的展示进行归纳总结.【课件3】配方法解一元二次方程的步骤:(1)移项(把常数项移到方程右边);(2)配方(方程两边都加上一次项系数一半的平方);(3)开平方;(4)解出方程的根.设计意图通过小组合作归纳结论,培养学生合作意识和归纳总结能力.三、共同探究3解下列方程.(1)2x2+1=3x;(2)3x2-6x+4=0.教师引导分析:(1)两个方程能不能按上边的方法先移项,然后直接配方?观察方程移项后,二次项系数不为1,所以不能直接配方.(2)观察两个方程和上边方程有什么区别.二次项系数不为1.(3)如何把二次项系数化为1?根据等式的基本性质,方程两边同时除以二次项系数即可.(4)根据上边的分析,尝试解方程.【师生活动】小组讨论交流,共同探究解方程的方法,教师对有困难的学生给予适当提示.小组交流后学生板书解题过程,教师指导点拨.解:(1)移项,得2x2-3x=-1,二次项系数化为1,得x2-32x=-12,配方,得x2-32x+342=-12+342,即x-342=116,x-34=14,x1=1,x2=12.(2)移项,得3x2-6x=-4,二次项系数化为1,得x2-2x=-43,配方,得x2-2x+12=-43+12,即(x-1)2=-13,实数的平方不会是负数,原方程无实数根.思考并回答:用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么?【课件4】配方法解一元二次方程的一般步骤:(1)移项(把常数项移到方程右边);(2)二次项系数化为1(方程两边同时除以二次项系数);(3)配方(方程两边都加上一次项系数一半的平方);(4)开平方;(5)解出方程的根.设计意图几个问题的设计是层层递进,化解了教学的难度,学生在探索、交流的过程掌握了知识,培养了数学思维和分析问题、解决问题的能力,同时再次培养学生的归纳总结能力.知识拓展1.配方法是对二次项和一次项配方,所以一般先把常数项移到方程右边,再利用等式的性质将方程两边都加上一次项系数一半的平方(二次项系数必须为1).2.用配方法解一元二次方程,实质就是对一元二次方程变形,转化成直接开平方法所需要的形式.配方是为了降次,利用平方根的定义把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.3.课堂小结1.配方法:把一个一元二次方程变形为(x+h)2=k(k0)的形式(其中h,k都是常数),再通过直接开平方法求出方程的解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.(提示:若k0,方程无实数根)2.解一元二次方程的基本思路是降次,把一元二次方程化为(x+h)2=k(k0)的形式后两边开平方使原方程变为两个一元一次方程,3.用配方法解一元二次方程的一般步骤:(1)移项(把常数项移到方程的右边);(2)把二次项系数化为1(方程两边同时除以二次项系数);(3)配方(方程两边都加上一次项系数一半的平方);(4)开平方(根据平方根的意义,方程两边开平方);(5)求解(解一元一次方程).4.检测反馈1.将二次三项式x2-4x+1配方后得()A.(x-2)2+3B.(x-2)2-3C.(x+2)2+3D.(x+2)2-3解析:代数式加一次项系数一半的平方4,再减去4,可得x2-4x+1=x2-4x+4+1-4=(x-2)2-3.故选B.2.已知x2-8x+15=0,要将方程左边化成含有x的完全平方形式,下列做法正确的是()A.x2-8x+(-4)2=31B.x2-8x+(-4)2=1C.x2+8x+42=1D.x2-4x+4=-11解析:移项,得x2-8x=-15,两边同时加一次项系数一半的平方,得x2-8x+(-4)2=1.故选B.3.方程x2+4x-5=0的解是.解析:移项,得x2+4x=5,两边同时加4,得x2+4x+4=9,配方得(x+2)2=9,x+2=3或x+2=-3,x1=1,x2=-5.故填x1=1,x2=-5.4.x2+6x+=(x+)2,a2+14=(a)2.解析:二次项系数为1时,完全平方式展开式中常数项是一次项系数一半的平方.答案:93a125.用配方法解方程.(1)x2+ 2x - 3=0;(2)9y2-18y-4=0.解:(1)移项,得x2+2x=3,两边同时加1,得x2+2x+1=4,配方得(x+1)2=4,x+1=2或x+1=-2,x1=1,x2=-3.(2)移项,得9y2-18y=4,两边同时除以9,得y2-2y=49,两边同时加1,得y2-2y+1=49+1,配方,得(y-1)2=139,y-1=133或y-1=-133,y1=1+133,y2=1-133.5.板书设计第2课时一、共同探究1二、共同探究2(1)x2+6x+9=0(2)x2+6x+4=0三、共同探究3(1)2x2+1=3x(2)3x2-6x+4=06.布置作业一、教材作业【必做题】教材第9页练习的1,2(1)(2)题.【选做题】教材第9页练习的2(5)(6)题.二、课后作业【基础巩固】1.用配方法将二次三项式a2+4a+5变形,结果是()A.(a-2)2+1B.(a+2)2+1C.(a+2)2-1D.(a-2)2-12.用配方法解方程2x2-43x-2=0,应把它先变形为()A.x-232=89B.x-232=0C.x-132=89D.x-232=1093.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,则x+y+z的值是()A.1B.2C.-1D.-24.将x2+2x-5=0配方后的方程为.5.方程x2-4x-12=0的解是x1=,x2=.6.代数式x2-x-2x2-1的值为0,则x的值为.7.如果16(x-y)2+40(x-y)+25=0,那么x与y的关系是.8.解下列方程.(1)x2+ 6x-5=0;(2)x2+3=23x;(3)3x2+2x-1 =0.【能力提升】9.已知(x+y)(x+y+2)-8=0,求x+y的值,若设x+y=z,则原方程可变为,所以求出z的值即为x+y的值,所以x+y的值为.10.用配方法证明代数式x2+8x+17的值恒大于零.11.求代数式2x2-7x-2的最小值.12.解方程x(x+8)=16.【拓展探究】13.已知实数x满足x2+1x2+2x+1x=0,求x+1x的值.【答案与解析】1.B(解析:a2+4a+5= a2+4a+4+1=(a+2)2+1.故选B.)2.D(解析:移项,得2x2-43x=2,二次项系数化为1,得x2-23x=1,两边同时加19,得x2-23x+19=1+19,配方得x-132=109.故选D.)3.B(解析:由x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,得x2-2x+1+y2+4y+4+z2-6z+9=0,即(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2=0,所以x-1=0,y+2=0,z-3=0,所以x=1,y=-2,z=3,所以x+y+z=2.故选B.)4.(x+1)2=6(解析:移项,得x2+2x=5,两边同时加1,得x2+2x+1=6,配方得(x+1)2=6.故填(x+1)2=6.)5.6-2(解析:移项,得x2-4x=12,两边同时加4,得x2-4x+4=16,配方得(x-2)2=16,x-2=4或x-2=-4,x1=6,x2=-2.)6.2(解析:由题意得x2-x-2=0,解方程得x1=-1,x2=2,又x2-10,x=2.故填2.)7.x-y=-54(解析:配方得4(x-y)+52=0,4(x-y)+5=0,x-y=-54.)8.解:(1)原方程化为x2+6x=5,x2+6x+9=5+9,(x+3)2=14,x+3=14,x1=14-3,x2=-14-3.(2)原方程化为x2-