小学数学中遇到的典型的应用题.doc

一些不等式应用题关于不等式应用题的一些解法，往往这类题目会包含2个变量，但是2个变量之间有一定的联系，我们可以根据自己目前学习的情况，列一元一次不等式或者二元一次不等式组，解出关于变量的范围，然后根据隐含条件确定未知数的值。比如人、物不能为小数、分数，需要取正整数，这样就求出未知数的值了。在实际意义是一样的，例如下题，可以设A型为a间，B型为80-a间，或者A型a间，B型b间，根据a+b=80把两个变量联系一起来，我个人认为要根据自己在实际学习中和个人的能力实际情况而有所区别。一、某水产品市场管理部门规划建造面积为2400平方米的大棚，大棚内设A种类型和B种类型的店面共80间，每间A种类型的店面的平均面积为28平方米，月租费为400元，每间B种类型的店面的平均面积为20平方米，月租费为360元，全部店面的建造面积不低于大棚总面积的85%。 （1）试确定A种类型店面的数量？ （2）该大棚管理部门通过了解，A种类型店面的出租率为75%，B种类型店面的出租率为90%，为使店面的月租费最高，应建造A种类型的店面多少间？解：设A种类型店面为a间，B种为80-a间根据题意28a+20（80-a）240085%28a+1600-20a20408a440a55A型店面至少55间设月租费为y元y=75%a400+90%（80-a）360=300a+25920-324a=25920-24a很明显，a55，所以当a=55时，可以获得最大月租费为25920-24x55=24600元二、水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾的混合养殖，他了解到情况：1、每亩地水面组建为500元，。2、每亩水面可在年初混合投放4公斤蟹苗和20公斤虾苗； 3、每公斤蟹苗的价格为75元，其饲养费用为525元，当年可或1400元收益； 4、每公斤虾苗的价格为15元，其饲养费用为85元，当年可获160元收益； 问题： 1、水产养殖的成本包括水面年租金，苗种费用和饲养费用，求每亩水面虾蟹混合养殖的年利润（利润=收益成本）； 2、李大爷现有资金25000元，他准备再向银行贷款不超过25000元，用于蟹虾混合养殖，已知银行贷款的年利率为10，试问李大爷应租多少亩水面，并向银行贷款多少元，可使年利润达到36600元？解：1、水面年租金=500元苗种费用=75x4+15x20=300+300=600元饲养费=525x4+85x20=2100+1700=3800元成本=500+600+3800=4900元收益1400x4+160x20=5600+3200=8800元利润（每亩的年利润）=8800-4900=3900元2、设租a亩水面，贷款为4900a-25000元那么收益为8800a成本=4900a25000+250004900a50000a50000/490010.20亩利润=3900a-（4900a-25000）10%3900a-（4900a-25000）10%=366003900a-490a+2500=366003410a=34100所以a=10亩贷款（4900x10-25000）=49000-25000=24000元三、某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的车可供调用，已知A型车每辆可装20吨，B型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资装运完，问：在已确定调用5辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆? 解：设还需要B型车a辆，由题意得205+15a30015a200a40/3解得a13又1/3 由于a是车的数量，应为正整数，所以x的最小值为14答：至少需要14台B型车四、某城市平均每天产生生活垃圾700吨，全部由甲，乙两个垃圾厂处理，已知甲厂每小时处理垃圾55吨，需费用550元；乙厂每小时处理垃圾45吨，需费用495元。如果规定该城市处理垃圾的费用每天不超过7370元，甲厂每天至少需要处理垃圾多少小时? 解：设甲场应至少处理垃圾a小时 550a+（700-55a）454957370550a+（700-55a）117370550a+7700-605a737033055aa6 甲场应至少处理垃圾6小时五、学校将若干间宿舍分配给七年级一班的女生住宿，已知该班女生少于35人，若每个房间住5人，则剩下5人没处可住；若每个房间住8人，则空出一间房，并且还有一间房也不满。有多少间宿舍，多少名女生？ 解：设有宿舍a间，则女生人数为5a+5人根据题意a0(1)05a+535（2）05a+5-8（a-2）8(3)由（2）得-55a30-1a6由（3）05a+5-8a+168-21-3a-1313/3a7由此我们确定a的取值范围4又1/3a6a为正整数，所以a=5那么就是有5间宿舍，女生有55+5=30人 六、某手机生产厂家根据其产品在市场上的销售情况，决定对原来以每部2000元出售的一款彩屏手机进行调价，并按新单价的八折优惠出售，结果每部手机仍可获得实际销售价的20%的利润（利润=销售价成本价）.已知该款手机每部成本价是原销售单价的60%。（1）求调整后这款彩屏手机的新单价是每部多少元？让利后的实际销售价是每部多少元？解：手机原来的售价=2000元/部每部手机的成本=200060%=1200元设每部手机的新单价为a元a80%-1200=a80%20%0.8a-1200=0.16a0.64a=1200a=1875元让利后的实际销售价是每部187580%=1500元（2）为使今年按新单价让利销售的利润不低于20万元，今年至少应销售这款彩屏手机多少部？20万元=200000元设至少销售b部利润=150020%=300元根据题意300b200000b2000/3667部至少生产这种手机667部。七、我市某村计划建造A,B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题.两种型号的沼气池的占地面积，使用农户数以及造价如下表：型号 占地面积（平方米/个） 使用农户数（户/个） 造价（万元/个）A 15 18 2B 20 30 3已知可供建造的沼气池占地面积不超过365平方米，该村共有492户.（1）.满足条件的方法有几种？写出解答过程.（2）.通过计算判断哪种建造方案最省钱？解: (1) 设建造A型沼气池 x 个，则建造B 型沼气池(20x )个18x+30(20-x) 49218x+600-30x49212x108x915x+20(20-x)365 15x+400-20x3655x35x7解得：7 x 9 x为整数 x = 7，8 ，9 ，满足条件的方案有三种(2)设建造A型沼气池 x 个时，总费用为y万元，则：y = 2x + 3( 20x) = x+ 60 1 0，y 随x 增大而减小，当x=9 时，y的值最小，此时y= 51( 万元 ) 此时方案为：建造A型沼气池9个，建造B型沼气池11个解法:由(1)知共有三种方案，其费用分别为：方案一: 建造A型沼气池7个， 建造B型沼气池13个，总费用为:72 + 133 = 53( 万元 ) 方案二: 建造A型沼气池8个， 建造B型沼气池12个，总费用为:82 + 123 = 52( 万元 ) 方案三: 建造A型沼气池9个， 建造B型沼气池11个，总费用为:92 + 113 = 51( 万元 ) 方案三最省钱.八、把一些书分给几个学生,如果每人分3本,那么余8本;如果前面的每个学生分5本,那么最后一人就分不到3本.这些书有多少本?学生有多少个? 解：设学生有a人根据题意3a+8-5(a-1)0(2)由（1）3a+8-5a+510a5由（2）3a+8-5a+502a13a6.5那么a的取值范围为5a6.5那么a=6有6个学生，书有36+8=26本九、某水产品市场管理部门规划建造面积为2400m的集贸大棚。大棚内设A种类型和B种类型的店面共80间。每间A种类型的店面的平均面积为28m月租费为400元；每间B种类型的店面的平均面积为20m月租费为360元。全部店面的建造面积不低于大棚总面积的80，又不能超过大棚总面积的85。试确定有几种建造A,B两种类型店面的方案。解：设A种类型店面为a间，B种为80-a间根据题意28a+20（80-a）240080%(1)28a+20（80-a）240085%(2)由（1）28a+1600-20a19208a320a40由（2）28a+1600-20a20408a440a5540a55方案： A B 40 40 41 39 55 25一共是55-40+1=16种方案 十、某家具店出售桌子和椅子，单价分别为300元一张和60元一把，该家具店制定了两种优惠方案：（1）买一张桌子赠送两把椅子；（2）按总价的87.5%付款。某单位需购买5张桌子和若干把椅子（不少于10把）。如果已知要购买X把椅子，讨论该单位购买同样多的椅子时，选择哪一种方案更省钱？设需要买x（x10）把椅子，需要花费的总前数为y第一种方案：y=300x5+60（x-10）=1500+60x-600=900+60x第二种方案：y=（300x5+60x）87.5%=1312.5+52.5x若两种方案花钱数相等时900+60x=1312.5+52.5x7.5x=412.5x=55当买55把椅子时，两种方案花钱数相等大于55把时，选择第二种方案小于55把时，选择第一种方案十一、某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A、B两种饮料共100瓶设生产A种饮料x瓶，解答下列问题：甲 乙A 20G 40GB 30G 20G（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；（2）如果A种饮料每瓶的成本为2.60元，B种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式，并说明x取何值会使成本总额最低？解：（1）设生产A型饮料需要x瓶，则B型饮料需要100-x瓶根据题意20x+30（100-x）2800（1）40x+20（100-x）2800（2）由（1）20x+3000-30x280010x200x20由（2）40x+2000-20x280020x800x40所以x的取值范围为20x40因此方案有生产 A B 20 80 21 79 40 60一共是40-20+1=21种方案（2）y=2.6x+2.8（100-x）=2.6x+280-2.8x=280-0.2x此时y为一次函数，因为20x40那么当x=40时，成本最低，此时成本y=272元小学中经常遇到的行程问题行程问题是小学数学中经常遇到的，解决起来往往有些困难，因为还没有学习方程，所以有些题目很不好理解，利用单位1解决问题，这里举一些例子，由浅入深，结合方程的解法，同学们自己比较一下。我们先来了解一下，关于行程问题的公式：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。 基本公式：路程速度时间；路程时间速度；路程速度时间 关键问题：确定行程过程中的位置 相遇问题：速度和相遇时间相遇路程 相遇路程速度和=相遇时间 相遇路程相遇时间= 速度和相遇问题：（直线）：甲的路程+乙的路程=总路程相遇问题：（环形）：甲的路程 +乙的路程=环形周长追及问题：追及时间路程差速度差 速度差路程差追及时间追及时间速度差路程差追及问题：（直线）：距离差=追者路程-被追者路程=速度差X追击时间追及问题：（环形）：快的路程-慢的路程=曲线的周长 流水问题：顺水行程（船速水速）顺水时间 逆水行程（船速水速）逆水时间 顺水速度=船速水速 逆水速度船速水速 静水速度=（顺水速度逆水速度）2 水速：（顺水速度逆水速度）2 流水速度流水速度2 水速：流水速度流水速度2关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。列车过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。我们由浅入深看一些题目：一、相遇问题1、一列客车从甲地开往乙地，同时一列货车从甲地开往乙地，当货车行了180千米时，客车行了全程的七分之四；当客车到达乙地时，货车行了全程的八分之七。甲乙两地相距多少千米？解：把全部路程看作单位1那么客车到达终点行了全程，也就是单位1当客车到达乙地时，货车行了全程的八分之七相同的时间，路程比就是速度比由此我们可以知道客车货车的速度比=1：7/8=8：7所以客车行的路程是货车的8/7倍所以当客车行了全程的4/7时货车行了全程的（4/7）/（8/7）=1/2那么甲乙两地相距180/（1/2）=360千米1/2就是180千米的对应分率分析：此题中运用了单位1，用到了比例问题，我们要熟练掌握比例，对于路程、速度和时间之间的关系，一定要清楚，在速度或时间一定时，路程都和另外一个量成正比例，当路程一定时，速度和时间成反比例，这个是基本常识。2、甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，2小时相遇。相遇后两车继续前行，当甲车到达B地时，乙车离A地还有60千米，一直两车速度比是3:2。求甲乙两车的速度。解：将全部路程看作单位1速度比=路程比=3：2，也就是说乙行的路程是甲的2/3那么甲到达B地时，行了全部路程，乙行了12/3=2/3此时距离终点A还有1-2/3=1/3那么全程=60/（1/3）=180千米速度和=180/2=90千米/小时甲的速度=903/（3+2）=54千米/小时乙的速度=90-54=36千米/小时3、甲、乙两车分别同时从A、B两成相对开出,甲车从A城开往B城,每小时行全程的10%,乙车从B城开往A城，每小时行8千米，当甲车距A城260千米时，乙车距B地320千米。A、B两成之间的路程有多少千米？解：这个问题可以看作相遇问题，因为是相向而行乙车还要行驶320/8=4小时4个小时甲车行驶全程的10%4=40%=2/5那么甲车还要行驶全程的2/5，也就是剩下的260千米AB距离=260/（2/5）=650千米4、一客车和一货车同时从甲乙两地相对开出,经过3小时相遇,相遇后仍以原速继续行驶，客车行驶2小时到达乙地，此时货车距离甲地150千米，求甲乙两地距离？解：解此题的关键是把甲乙看成一个整体，问题就迎刃而解了。甲乙每小时行驶全程的1/3那么2小时行驶2x1/3=2/3甲乙相距=150/（1-2/3）=450千米5、甲乙两车同时分别从两地相对开出，5小时正好行了全程的2/3，甲乙两车的速度比是5：3。余下的路程由乙车单独走完，还要多少小时？解：将全部路程看作单位1那么每小时甲乙行驶全程的（2/3）/5=2/15乙车的速度=（2/15）（3/8）=1/20乙5小时行驶1/205=1/4还剩下1-1/4=3/4没有行驶那么乙还要（3/4）/（1/20）=15个小时到达终点分析：此题和上一例题有异曲同工之处，都是把甲乙每小时行的路程看作一个整体，然后根据比例分别求出甲乙的速度（用份数表示），从而解决问题，关键之处就是把甲乙看作一个整体，这和工作问题，甲乙的工作效率和是一个道理。6、甲，乙两辆汽车同时从东站开往西站，甲车每小时比乙车多行12千米。甲车行驶4.5小时到达西站后没有停留，立即从原路返回，在距西站31.5千米和乙车相遇。甲车每小时行多少千米？解：设甲车速度为a小时/千米。则乙的速度为a-12千米/小时甲车比乙车多行31.5x2=63千米用的时间=63/12=5.25小时所以（a-12）5.25+31.5=4.5a0.75a=31.5a=42千米/小时或者a（5.25-4.5）=31.5a=42千米/小时算术法：相遇时甲比乙多行了31.52=63（千米）相遇时走了 63/12=5.25小时走31.5千米的路程用了 5.25-4.5=0.75小时甲每小时行31.5/0.75=42千米7、从甲地去乙地，如车速比原来提高1/9，就可比预定的时间提前20分钟赶到，如先按原速行驶72千米，再将车速比原来提高1/3，就比预定时间提前30分钟赶到。甲，乙两地相距多少千米？解：20分钟=1/3小时。30分钟=1/2小时因为路程一定，时间和速度成反比那么原来的车速和提高1/9后的车速之比为1：（1+1/9）=9：10那么时间比为10：9将原来的时间看作单位1，那么提速1/9后的时间为1x9/10=9/10所以原来需要的时间为（1/3）/（1-9/10）=10/3小时第二次行驶完72千米后，原来的速度和提高后的速度比为1：（1+1/3）=3：4那么时间比为4：3将行驶完72千米后的时间看作单位1，那么这一段用的时间为（1/2）/（1-3/4）=2小时那么原来行驶72千米用的时间=10/3-2=4/3小时原来的速度=72/（4/3）=54千米/小时甲乙两地相距=5410/3=180千米8、清晨4时，甲车从A地，乙车从B地同时相对开出，原计划在上午10时相遇，但在6时30分，乙车因故停在中途C地，甲车继续前行350千米在C地与乙车相遇，相遇后，乙车立即以原来每小时60千米的速度向A地开去。问：乙车几点才能到达A地？解：原来的相遇时间=10-4=6小时乙的速度=60千米/小时BC距离=602.5=150千米（从凌晨4时到6时30分是2.5小时）原来相遇时乙应该走的距离=606=360千米甲比原来夺走360-150-210千米那么甲行驶6-2.5=3.5小时应该行驶的距离=350-210=140千米所以甲的速度=140/3.5=40千米/小时那么AB距离=（40+60）6=600千米AC距离=600-150=450千米实际相遇的时间=450/40=11.25小时=11小时15分钟那么相遇时的时间是15小时15分乙到达A地需要的时间=450/60=7.5小时=7小时30分所以乙到达A地时间为15小时15分+7小时30分=22时45分9、AB两地相距60千米，甲车比乙车先行1小时从A地出发开往B地，结果乙车还比甲车早30分到达B地，甲乙两车的速度比是2:5，求乙车的速度。 如果甲不比乙车先行1小时，那么乙车要比甲车早1+30/60=1.5小时到达B地甲乙的速度比=2：5那么他们用的时间比为5：2将甲用的时间看作单位1那么乙用的时间是甲的2/5甲比乙多用1-2/5=3/5所以甲行完全程用的时间为1.5/（3/5）=2.5小时乙行完全程用的时间=2.5-1.5=1小时那么乙车的速度=60/1=60千米/小时10、小刚很小明同时从家里出发相向而行。小刚每分钟走52米，小明每分钟走70米，两人在途中A处相遇。若小刚提前4分钟出发，且速度不变，小明每分钟走90米，则两人仍在A处相遇。小刚和小明两人的家相距多少米？ 解：两次相遇小明走的路程一样，那么两次相遇小明的速度比=70：90=7：9时间比就是速度比的反比，所以两次相遇的时间比为9：7将第一次相遇的时间看做单位1那么第二次相遇小明用的时间为7/9第一次比第二次多用的时间为1-7/9=2/9那么第一次用的时间为4/（2/9）=18分钟所以小刚和小明的家相距（52+70）18=2196米方程：设第一次相遇时间为t分90（52t-52x4）/52=70at=18分钟（过程从略）所以小刚和小明的家相距（52+70）18=2196米11、客货两车分别从甲乙两地同时相对开出，5小时后相遇，相遇后两车仍按原速度前进，当他们相距196千米时客车行了全程的三分之二，货车行了全程的80%，问货车行完全程用多少小时 ？解：将全部路程看作单位1那么相距196千米时，客车行驶了全程的12/3=2/3，距离目的地还有1-2/3=1/3货车行驶了全程的180%=4/5那么全程=196/（4/5-1/3）=196/（7/15）=420千米客车和货车的速度比=2/3：4/5=5：6客车和货车的速度和=420/5=84千米/小时货车的速度=846/11=504/11千米/小时那么货车行完全程需要420/（504/11）=55/6小时=9小时10分钟客货两车分别从甲乙两地相对开出，相遇后两车继续到达对方终点后，两车立即返回，又在途中相遇，两次相遇的地点相距3000米。已知货车的速度是客车速度三分之二，求甲乙两地距离是多少米？（要算式和解题过程） 解：将全部的路程看作单位1货车和客车的速度比=2：3第一次相遇货车行了全程的2/5，客车行了全程的3/5因为是2次相遇，所以两车走的路程一共是3倍甲乙两地距离，也就是1x3=3货车行了整个过程的3x2/5=6/5因此第二次相遇是在距离甲地6/5-1=1/5处第一次相遇是在距离甲地3/5处那么两处相距3/5-1/5=2/5甲乙两地距离3000/（2/5）=7500米12、甲、乙两辆车同时分别从两个城市相对开出，经过3小时，两车距离中点18千米处相遇，这时甲车与乙车所行的路程之比是2：3.求甲乙两车的速度各是多少？设甲的速度为2a千米/小时，乙的速度为3a千米/小时总路程=（2a+3a）3=15a千米甲行的路程=15a2/5=6a15a/2-6a=1815a-12a=363a=36a=12甲的速度=12x2=24千米/小时乙的速度=12x3=36千米/小时或者将全部路程看作单位1那么相遇时甲行了2/5乙行了1-2/5=3/5全程=（1/2-2/5）=1/10全程=18/（1/10）=180千米甲乙的速度和=180/3=60千米/小时甲的速度=60x2/5=24千米/小时乙的速度=60-24=36千米/小时13、甲乙两车同时从AB两地出发，相向而行，甲与乙的速度比是4：5。两车第一次相遇后，甲的速度提高了4分之一，乙的速度提高了3分之一，两车分别到达BA两地后立即返回。这样，第二次相遇点距第一次相遇点48KM，AB两地相距多少千米？解：将全部的路程看作单位1因为时间一样，路程比就是速度比所以相遇时，甲行了全程的1x4/（5+4）=4/9乙行了1-4/9=5/9此时甲乙提速，速度比由4：5变为4（1+1/4）：5（1+1/3）=5：10/3=3:4甲乙再次相遇路程和是两倍的AB距离，也就是2此时第二次相遇，乙行了全程的2x4/（3+4）=8/7第二次相遇点的距离占全部路程的8/7-4/9=44/63距离第一次相遇点44/63-4/9=16/63 AB距离=48/（16/63）=189千米14、甲从A地往B地，乙丙从B地行往A地，三人同时出发。甲首先遇乙，15分钟后又遇丙。甲每份走70m，乙走60m丙走50m。问AB两地距离、解：乙丙的速度差=60-50=10米/分那么甲乙相遇时，距离丙的距离=（70+50）15=1800米那么甲乙相遇时用的时间=1800/10=180分钟那么AB距离=（70+60）180=23400米15、甲乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，甲乙两人下山的速度都是各自上山速度的二倍，甲到山顶时乙距离山顶还有500米，甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰，求从山脚到山顶的路程。解：下山速度是上山的2倍，那就假设一下，把下山路也看做上山路，长度为上山路的1/2速度都是上山的速度。那么，原来上山的路程，占总路程的2/3，下山路程占总路程的1/3甲返回山脚，乙一共行了全程的：2/3+1/31/2=5/6乙的速度是甲的5/6甲到达山顶，即行了全程的2/3，乙应该行了全程的：2/35/6=5/9实际上乙行了全程的2/3减去500米所以全程为：500（2/3-5/9）=4500米从山脚到山顶的距离为：45002/3=3000米16、汽车从A地到B地，如果速度比预定的每小时慢5千米，到达时间将比预定的多1/8，如果速度比预定的增加1/3，到达时间将比预定的早1小时。求A,B两地间的路程？解：将原来的时间看到单位1那么每小时慢5千米，用的时间是1（1+1/8）=9/8那么实际用的时间和原来的时间之比为9/8：1=9：8那么原来速度和实际速度之比为8：9那么实际速度是原来速度的8/9那么原来的速度=5/（1-8/9）=45千米/小时第二次速度增加1/3，实际速度与原来的速度之比为为（1+1/3）：1=4：3实际用的时间和原来的时间之比为3：4那么实际用的时间是原来的3/4原来所用的时间为1/（1-3/4）=4小时AB距离=454=180千米简析：此题反复利用路程一定，时间和速度成反比，这一点在学习中要注意。17、两辆汽车同时从东、西两站相对开出，第一次在离东站45千米的地方相遇，之后两车继续以原来的速度前进，各自到站后都立即返回，又在距离中点东侧9千米处相遇，两站相距多少千米？解：我们拿从东站出来的车考虑在整个相遇过程中，两车一共走了3个全程第一次相遇时，从东站出来的车走了45千米那么整个过程走了453=135千米此时这辆车走了1.5倍的全程还多9千米所以全程=（135-9）/（1+1/2）=84千米将全部路程看作单位1，第二次相遇时这辆车走了1又1/2还多9千米18、一只小船顺流航行56千米，逆流航行20千米用12小时；第二次顺流航行40千米，逆流航行28千米也用时12小时，求水流速度？解：顺水速度=船速+水流速度逆水速度=船速-水流速度水流速度=（顺水速度-逆水速度）/2船速=（顺水速度+逆水速度）/2 设顺流速度为a千米/小时，逆水速度=b千米/小时56/a+20/b=40/a+28/b16/a=8/ba：b=2：1a=2b那么根据题意56/2b+20/b=1256+40=24b24b=96b=4千米/小时a=42=8千米/小时水流速度=（8-4）/2=2千米/小时算术法：根据题意第一次：顺流行驶56千米，逆水20千米第二次：顺流行驶40千米，逆水28千米那么顺流行驶16千米和逆水8千米用的时间一样，及顺水速度和逆水速度之比为16：8=2：1第一次逆水20千米用的时间相当于顺水行驶202=40千米的时间那么顺水速度=（56+40）/12=8千米/小时逆水速度=8/2=4千米/小时水流速度=（8-4）/2=2千米/小时二、追及问题1、已知甲乙两船的船速分别是24千米/时和20千米/时,两船先后从汉口港开出,乙比甲早出1小时，两船同时到达目的地A，问两地距离？解：距离差=201=20千米速度差24-20=4千米/小时甲追上乙需要204=5小时两地距离=245=120千米2、某校组织学生排队去春游，步行速度为每秒1米，队尾的王老师以每秒2.5米的速度赶到排头,然后立即返回队尾,共用10秒,求队伍的长度是多少米?、解：速度差=2.5-1=1.5米/秒速度和=1+2.5=3.5米/秒设队伍长度为a米a/1.5+a/3.5=105a=3.5x1.5x10a=10.5米 或者这样做第一次追及问题，第二次相遇问题速度比=1.5：3.5=3：7我们知道，路程一样，速度比=时间的反比因此整个过程，追及用的时间=10x7/10=7秒那么队伍长度=1.5x7=10.5米3、在一个圆形跑道上,甲从A点,乙从B点同时出发反向而行,6分钟后两人相遇,再过4分钟甲到B点,又过8分钟两人再次相遇,甲、乙环形一周各需多少分钟？解：解：将全部路程看作单位1第一次相遇后，再一次相遇，行驶的路程是1那么相遇时间=4+8=12分钟甲乙的速度和=1/12也就是每分钟甲乙行驶全程的1/126分钟行驶全程的1/126=1/2也就是说AB的距离是1/2那么6+4=10分钟甲到达B，所以甲的速度（1/2）/10=1/20甲环形一周需要1/（1/20）=20分钟乙的速度=1/12-1/20=1/30乙行驶全程需要1/（1/30）=30分钟4、甲乙两人环湖同向竞走,环湖一周是400米,乙每分钟走80米,甲的速度是乙的一又四分之一倍，问甲什么时候追上乙？解：设甲用a分钟追上乙（805/4-80）a=400（100-80）a=400a=400/20a=20分算术法速度差=80（5/4-1）=20米/分追及时间=400/20=20分甲用20分钟追上乙5、猎犬发现距它8米远的地方有只奔跑的野兔，立刻追。猎犬跑6步的路程野兔要跑11步，但是兔子跑的4步的时间猎犬只能奔跑3步。猎犬至少要跑多少米才能追上野兔？解：将猎犬跑一步的距离看作单位1（或者设一步的距离为a米）那么野兔跑一步的距离为6/11根据题意兔子跑4步的距离=46/11=24/11猎犬跑3步的距离=13=3那么猎犬和野兔的速度比=3：24/11=33：24=11：8兔子在相同时间内跑的距离是猎犬的8/11所以猎犬追上野兔要多跑的距离=8/（1-8/11）=88/3米6、一只野兔跑出85步猎犬才开始追它，兔子跑8步的路程猎犬只需跑3步，猎犬跑4步的时间野兔能跑9步。问猎犬至少要跑多少步才能追上兔子？解：将猎犬一步的距离看作单位1（或者设猎犬一步距离为a）那么兔子一步的距离=3/8（3/8a）二者的速度速度比=14：3/89=4：27/8=32：27兔子在相同时间内跑的距离是猎犬的27/32那么猎犬需要跑(853/8)/（1-27/32）= 204步7、AC两站相距10千米,AB两站相距2千米,甲车从A站,乙车从B站同时向C站开去,当甲车到达C站时，乙车距C站还有0.5千米，甲车是在离C站多远的地方追上乙的？解：将全部路程看作单位1那么甲到达C站时，行驶10千米乙行驶10-2-0.5=7.5千米那么甲乙两车的速度比=10：7.5=4：3在相同时间内，乙行驶的距离是甲的3/4那么甲车行驶2/（1-3/4）=2/（1/4)=8千米那么甲是在离C站10-8=2千米的地方追上乙的。三、特殊的追及问题我们在日常做题的过程中，经常会遇到求几点几分时针和分针所称的角度，还有时针和分针所成多少度角时，是几点几分。解此类题，似乎与追及问题格格不入，但是我们恰恰可以看作是追及问题的一个变形。首先我们对钟面熟悉以后，知道钟面被分作60个小格，每个小格所对的圆心角的度数=360/60=6度，分针每分钟走1格，时针每分钟走5/60=1/12格，由此我们在解题之前就知道了这些隐含条件，就可以把钟面看作是环形跑道，时针速度慢，分针速度快，在解题之前，大致画一个图形，就知道大概角度，然后判断路程差为多少，因为速度差我们已经知道了，是1-1/12=11/12格，将来我们学会了相对运动，就可以把时针看作参照物，分针的速度变为11/12格/分，问题变得更加简单。看下面的例题：1、7点与8点之间,时针与分针成30度角的时刻?钟面一共60格，一定要对钟面熟悉每一格对应的度数360/60=5度分针每分钟走1格，时针每分钟走5/60=1/12格此时我们就把分针和时针的运动看作追及问题分针的速度快，是1格/分，时针的速度慢是1/12格/分速度差=1-1/12=11/12格/分此时如果看作相对运动，时针静止，那么分针的速度就是11/12格/分此题中，7点时，分针和时针相差35格，题目要求成30度角及相差30/6=5格时钟表的时间，那就是分针以11/12格/分的速度追赶时针，相差5格，也就是路程上追上了30格，求的就是分针以11/12格/分走30格的时间，第二次成30度就是分针超过时针5格即分针以11/12格/分的速度走的35+5=40格的时间算术式如下：第一次成30度时，时针和分针的路程差=6030/360=5格7点时时针和分针的距离是35格第一次（35-5）/（1-1/12）=30x12/11=360/11分32分44秒第二次（35+5）/（1-1/12）=40x12/11=480/11分43分38秒 方程：举一例设a分钟分针和时针第一次成30度分针a分走a格，时针a分走a/12格开始时的路程差=35格那么a/12+35=a+5a=360/11分32分44秒第二次成30度的时候分针走a格时针走a/12格，加上开始的路程差=35格那么此时时针的位置是a/12+35格分针此时超过时针5格那么a-5=a/12+35a=480/11分43分38秒也就是在7点32分44秒和7点43分38秒的时候分针和时针成30度2、张华出去办事两个多小时，出门时他看了看钟，到家时又看了看钟，发现时针和分针互相换了位置，他离家多长时间？此问题关键在于求具体多少分钟，因为肯定是超过2个小时我们把表盘看作一个环形路，那么每一格就是距离单位，一圈是60格分针每分钟走1格，时针每分钟走5/60=1/12格钟表按照顺时针转动，此题出门时时针在分针之后时针和分针的路程差不变整个过程分针走的路程是2x60+60-路程差，时针走的路程是路程差所以时针和分针走过的路程和=3x60=180格二者的速度和=1+1/12=13/12格/分那么经过的时间=180/（13/12）=2160/13分=36/13小时2小时46分离家时间为2小时46分或者列方程我们设时针和分针之间距离为a格（120+60-a）/1=a/（1/12）13a=180a=180/13格那么离家时间=（180/13）/（1/12）=2160/13分=36/13小时2小时46分小学比较典型的工程问题工程问题是我们在小学学习过程中必不可少的，这里通过实践总结出了一些工程实际问题和变形的工程问题，解此类问题的关键在于设好单位1，其次要把握住最基本的运算公式工程总量=工作效率工作时间，万变不离其宗。1、王师傅加工一批零件，计划在六月份每天都能超额完成当天任务的15%，后来因机器维修，最后的5天每天只完成当天任务的八成，就这样，六月份共超额加工660个零件，王师傅原来的任务是每天加工多少个零件？解：首先我们知道6月有30天将额定每天完成的任务看作单位1每天超额15%，一共工作30-5=25（天）每天超额完成15%，25天共超额 2515%375%每天完成八成，5天少完成 5(1-80%)=100%这个月共超额完成 375%-100%=275%660275%=240(个）2、一堆饲料,3牛和5羊可以吃15天,5牛和6羊可以吃10天,那8牛和11羊可以吃几天解：将这堆饲料的总量看作单位1那么3牛和5羊可以吃15天，吃的是单位1的量，相当于每天吃1/155牛和6羊可以吃10天，吃的是单位1的量，相当于每天吃1/10我们此时把3牛5羊看作一个整体，5牛6羊看作1个整体，每天吃饲料的1/15+1/10=1/6那么这堆饲料可以供8牛11羊吃1/（1/6）=6天分析：此题看作是和工程问题无关，可是当我们把3牛和5羊看作1个整体，5牛和6羊看作1个整体以后，就相当于把题目变为甲乙完成1项工程，甲单独做需要15天，乙单独做需要10天，甲乙合作需要多少天？是不是这个意思。如果我们把此题认为8牛和11羊吃25天吃的是2倍的饲料，然后除以2，得出12.5天，就不对了，这一点要在学习中注意。3、甲、乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比独做时提高了十分之一，乙的工作效率比独做时提高了五分之一，甲、乙两人合作4小时，完成全部工作的五分之二。第二天乙又独做了4小时，还剩下这件工作的三十分之十三没完成。这项工作甲独做需要几个小时才能完成？解：乙独做4小时完成全部工程的1-2/5-13/30=3/5-13/30=1/6乙的工作效率=（1/6）/4=1/24乙独做需要1/（1/24）=24小时乙工作效率提高1/5后为（1/24）x（1+1/5）=1/20甲乙提高后的工作效率和=（2/5）/4=1/10那么甲提高后的工作效率=1/10-1/20=1/20甲原来的工作效率=（1/20）/（1+1/10）=1/22甲单独做需要1/（1/22）=22小时4、一项工程A、B两人合作6天可以完成。如果A先做3天，B再接着做7天，可以完成，B单独完成这项工程需要多少天？AB合作，每天可以完成1/6A先做3天，B再做7天，可以看做AB合作3天，B再单独做7-3=4天AB合作3天，可以完成：1/63=1/2B单独做4天，完成了1-1/2=1/2B单独做，每天完成：1/24=1/8B单独完成，需要：11/8=8天 5、某工程，由甲乙两队承包，2.4天可以完成，需支付1800元，由乙丙两队承包，3又3/4天可以完成，需支付1500元，由甲丙两队承包，2又6/7天可以完成，需支付1600元，在保证一星期内完成的前提下，选择哪个队单独承包费用最少？甲乙工效和：1/(2又5分之2)=5/12乙丙工效和：1/(3又4分之3）=4/15甲丙工效和：1/(2又7分之6）=7/20甲乙丙工效和：(5/12+4/15+7/20)/2=31/60甲工效：31/60-4/15=1/4乙工效：31/60-7/20=1/6丙工效：31/60-5/12=1/10能在一星期内完成的为甲和乙甲乙每天工程款：1800/（2又5分之2）=750元乙丙每天工程款：1500/（3又4分之3）=400元甲丙每天工程款：1600/（2又7分之6）=560元甲乙丙每天工程款：（750+400+560）/2=855元甲每天工程款：855-400=455元乙每天工程款：855-560=295元甲总费用：4554=1820元乙总费用：2956=1770元所以应将工程承包给乙。6、甲、乙二人同时开始加工一批零件，加单独做要20小时，乙单独做30小时。现在两人合作，工作了15小时后完成任务。已知甲休息了4小时，则乙休息了几小时？总的工作量为单位1甲的工作效率=1/20乙的工作效率=1/30甲乙工作效率和=1/20+1/30=1/12甲休息4小时，那么甲工作15-4=11小时，甲完成1/2011=11/20乙完成1-11/20=9/20完成这些零件乙需要（9/20）/（1/30）=27/2小时那么乙休息15-27/2=3/2小时=1.5小时7、一间教室如果让甲打扫需要10分钟，乙打扫需要12分钟。丙打扫需要15分钟。有同样的两间教室A和B。甲在A教室，乙在B教室同时开始打扫，丙先帮助甲打扫，中途又去帮助乙打扫教室，最后两个教室同时打扫完，丙帮助甲打扫了多长时间？（中途丙去乙教室的时间不计）将工作量看作单位1甲的工作效率=1/10乙的工作效率=1/12丙的工作效率=1/15甲乙丙合干完成1间教室需要1/（1/10+1/12+1/15）=4分钟设丙帮甲a分钟a分钟甲丙完成（1/10+1/15）a=a/6那么剩下的1-a/6需要甲独自完成乙a分钟完成a/12那么剩下的1-a/12需要乙丙完成需要的时间=（1-a/12）/（1/12+1/15）=（1-a/12）/（3/20）根据题意（a/6）/（1/10）=（1-a/12）/（3/20）10a/6=20/3-5/9a30a=120-10a40a=120a=3分钟丙帮乙3分钟算术法解两间教室都是一样的工作量，那么实际就是甲乙丙三人共同完成，上面已经解出完成1间需要4分钟，那么完成2间需要42=8分钟，甲8分钟完成1/108=4/5，那么丙需要完成1-4/5=1/5所以丙帮甲（1/5）/（1/15）=3分钟那么丙帮乙8-3=5分钟8、装配自行车3个工人2小时装配车架10个，4个工人3小时装配车轮21个。现有工人244人，为使车架和车轮装配成整车出厂怎安排244名工人最合适？解：装配车架的工作效率=10/（32）=5/3个/人小时装配车轮的工作效率=21/（43）=7/4个